园丁教育培训中心三角函数练习题库.docx
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园丁教育培训中心三角函数练习题库
1.1.1
一、选择题
1.(2010·广东普宁市一中高一下学期期末测试)下列各命题正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限角都是锐角
C.锐角都是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
[答案] C
[解析] 30°角与390°角终边相同,但30°≠390°,故A错;390°=360°+30°是第一象限角,但390°不是锐角,故B错;-30°<90°,而-30°不是锐角,故D错,∴选C.
2.若
是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是( )
A.90°-
B.90°+
C.360°-
D.180°+
[答案] C
[解析] 特例法,取α=30°,可知C正确.
3.(2010·济南一中高一下学期期末测试)在“①160°,②480°,③-960°,④-1600°”这四个角中,属于第二象限的是( )
A.①B.①②
C.①②③D.①②③④
[答案] C
[解析] 480°=360°+120°,-960°=-3×360°+120°,-1600°=-5×360°+200°,故①②③是第二象限的角,④是第三象限的角.
4.(2010·甘肃嘉峪关市一中高一下学期期末测试)已知
为第三象限的角,则所在的象限是( )
A.第一或第二象限B.第二或第三象限
C.第一或第三象限D.第二或第四象限
[答案] D
[解析] 解法一:
∵k·360°+180°<α ∴k·180°+90°< ∴k为偶数时,是第二象限角, k为奇数时,是第四象限角. 解法二: 如图所示: ∵α为第三象限的角, ∴由等分象限法可知,是第二或第四象限角. 5.以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的始边,终边在x轴上的角等于( ) A.{α|α=k·360°,k∈Z} B.{α|α=(2k+1)·180°,k∈Z} C.{α|α=k·180°,k∈Z} D.{α|α=k·180°+90°,k∈Z} [答案] C [解析] 终边在x轴上角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}. 6.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC=( ) A.150°B.-150° C.390°D.-390° [答案] B [解析] 各角和的旋转量等于各角旋转量的和, ∴120°+(-270°)=-150°. 7.若集合M={α|α=±30°+k·180°,k∈Z},N={α|α=(-1)k·30°+k·180°,k∈Z},则( ) A.M=NB.MN C.MND.M⃘N且N⃘M [答案] C [解析] ∵M={α|α=-30°+k·360°或α=30°+k·360°或α=150°+k·360°或α=210°+k·360°,k∈Z},N={α|α=30°+k·360°或α=150°+k·360°,k∈Z},∴MN. 8.如图所示,终边落在阴影部分的角的集合是( ) A.{α|-45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z} D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°,k∈Z} [答案] C [解析] 由如图所知,终边落在阴影部分的角的取值是k·360°-45°≤α≤k·360°+120°,k∈Z,故选C. 二、填空题 9.设-90°<α<β<90°,则α-β的范围是________. [答案] -180°<α-β<0° [解析] ∵-90°<β<90°, ∴-90°<-β<90°,∴-180°<α-β<180°, 又∵α<β,∴α-β<0°,∴-180°<α-β<0°. 10.若角α与β的终边在一条直线上,则α与β的关系是__________. [答案] α=β+k·180°,k∈Z [解析] 由于α、β在一直线上, 因此α、β角终边相同或互为反向延长线, 它们相差180°的整数倍.所以α-β=k·180°,k∈Z ∴α=β+k·180°,k∈Z. 11.将时钟拨慢5分钟,则时针转了________,分针转了________. [答案] 2.5° 30° [解析] 将时针拨慢5分钟,时针逆时针转了5×=2.5°,分针转了5×=30°. 12.自行车大链轮有48齿,小链轮有20齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度________. [答案] 864° 三、解答题 13.如图所示,写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合,并指出-950°12′是否是该集合中的角. [解析] 图中阴影部分在(0°,360°)范围内表示[120°,250°]根据终边相同角的表示法得 {α|k·360°+120°≤α≤k·360°+250°,k∈Z}. -950°12′= -3×360°+129°48′ 在(0,360°)内与-950°12′终边相同的角是129°48′,是该集合中角. 14.写出与15°终边相同的角的集合,并求该集合中适合不等式-1080°≤β<720°的元素β. [解析] 与15°终边相同的角的集合为{β|β=15°+k·360°,k∈Z}. 当-1080°≤β<720°时, k=-3时,β=-1065°; k=-2时,β=-705°; k=-1时,β=-345°; k=0时,β=15°; k=1时,β=375°. ∴该集合中满足条件的角β有-1065°,-705°,-345°,15°,375°. 15.写出终边落在坐标轴上的角的集合. [解析] 终边落在x轴上的角的集合为A={α|α=k·180°,k∈Z}={α|α=2k·90°,k∈Z}, 终边落在y轴上的角的集合为B={β|β=k·180°+90°,k∈Z} ={β|β=2k·90°+90°,k∈Z} ={β|β=(2k+1)·90°,k∈Z}, ∴终边落在坐标轴上的角的集合为 C=A∪B={β|β=n·90°,n∈Z}. 16.写出-720°~360°范围内与-1020°终边相同的角. [解析] 与-1020°终边相同的角α=k·360°-1020°(k∈Z). 令-720°≤k·360°-1020°<360°, 解得≤k<,而k∈Z,∴k=1,2,3. 当k=1时,α=-660°, 当k=2时,α=-300°, 当k=3时,α=60°. 故在-720°~360°范围内与-1020°终边相同的角有三个,分别是: -600°,-300°,60°. 1.1.2 一、选择题 1.在不等圆中,1rad的圆心角所对的( ) A.弦长相等 B.弧长相等 C.弦长等于所在的圆半径 D.弧长等于所在的圆半径 [答案] D [解析] 据弧度制的定义,1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角,所以1rad的圆心角所对弧长等于所在圆的半径. 2.与-π终边相同的角的集合是( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 与-π终边相同的角α=2kπ-π,k∈Z ∴α=(2k-6)π+6π-π =(2k-6)π+,(k∈Z). 3.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z}, B={α|-4≤α≤4},则A∩B=( ) A.∅ B.{α|0≤α≤π| C.{α|-4≤α≤4| D.{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π} [答案] D [解析] k≤-2或k≥1时A∩B=∅;k=-1时A∩B=[-4,-π];k=0时,A∩B=[0,π];故A∩B=[-4,-π]∪[0,π].故选D. 4.(2010·济南一中高一下学期期末测试)一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆心角是____弧度.( ) A.π B. C.D. [答案] C [解析] ∵圆心角所对的弦长等于半径, ∴该圆心角所在的三角形为正三角形, ∴圆心角是弧度. 5.如图中,圆的半径为5,圆内阴影部分的面积是( ) A.B. C.D.π [答案] A [解析] 40°=40×=,30°=30×=, ∴S=r2·+r2·=π. 6.在直角坐标系中,若角α与角β终边关于原点对称,则必有( ) A.α=-β B.α=-2kπ±β(k∈Z) C.α=π+β D.α=2kπ+π+β(k∈Z) [答案] D [解析] 将α旋转π的奇数倍得β. 7.圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长,则圆弧所对圆心角的弧度数为 ( ) A.B.π C.D.2 [答案] C [解析] 设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长为R,弧长等于R的圆心角的弧度数为α==,故C正确. 8.下列各组角中,终边相同的角是( ) A.(2k+1)π与(4k±1)π,k∈Z B.与kπ+,k∈Z C.kπ+与2kπ±,k∈Z D.kπ±与,k∈Z [答案] A [解析] 2k+1与4k±1都表示的是奇数,故选A. 二、填空题 9.若两个角差是1°,它们的和是1弧度,则这两个角的弧度数分别是__________. [答案] [解析] 设两角为α,β则,∴α=,β=. 10.在下列表格中填上相应的角度或弧度数: 度 0° 45° 60° 90° 135° 150° 180° 弧度 2π [答案] 22.5° 75° 270° 360°. 0; π. 11.正n边形的一个内角的弧度数等于__________. [答案] π [解析] ∵正n边形的内角和为(n-2)π, ∴一个内角的弧度数是. 12.角α、β的终边关于x+y=0对称,且α=-,则β=________. [答案] 2kπ-,k∈Z 三、解答题 13.x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动,已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π),经过2分钟到达第三象限,经过14分钟回到原来的位置,那么θ是多少弧度? [解析] 因为0<θ≤π,所以0<2θ≤2π. 又因为2θ在第三象限,所以π<2θ<. 因为14θ=2kπ,k∈Z,所以2θ=,k∈Z. 当k分别为4,5时,2θ分别为,,它们都在内. 因此θ=rad或θ=rad. 14.如果角α与角x+终边相同,角β与x-终边相同,试求α-β的表达式. [解析] 由题意知α=2nπ+x+(n∈Z), β=2mπ+x-(m∈Z), ∴α-β=2(n-m)π+,即α-β=2kπ+(k∈Z). 15.钟表的时针和分针在3点到5点40分这段时间里各转过多少度? 多少弧度? [解析] 分针在3点到5点40分这段时间里转过两周又一周的,所以用度数表示为 -(2×360°+×360°)=-960°. 用弧度表示为-×960=-rad. 而时针转过分针所转角度的,故时针转过的度数为-960°×=-80°, 弧度数为-×80=-rad. 16.设集合A=, B=,求与A∩B的角终边相同的角的集合. [解析] 设α0∈A∩B,则α0∈A且α0∈B, 所以α0=k1π,α0=k2π,所以k1π=k2π, 即k1=k2. 因为|k2|≤10,k2∈Z,且k1∈Z,所以k1=0,±10. 因此A∩B={0,-15π,15π},故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ=2kπ或γ=(2k+1)π,k∈Z}={γ|γ=nπ,n∈Z}. 17.已知α1=-570°,α2=750°,β1=π,β2=-π. (1)将α1,α2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在象限; (2)将β1,β2用角度制表示出来,并在-720°~0°范围内找出与β1,β2有相同终边的角. [解析] (1)∵-570°=-π=-π =-4π+π, ∴-570°与π终边相同,π在第二象限, ∴α1在第二象限. ∵750°=π=π=4π+, ∴750°与终边相同,在第一象限, ∴α2在第一象限. (2)∵β1=π=(×180)°=108°,与其终边相同的角为108°+k·360°,k∈Z, ∴在-720°~0°范围内与β1有相同终边的角是-612°和-252°. 同理,β2=-420°且在-720°~0°范围内与β2有相同终边的角是-60°. 18.在半径为6的圆中,求长度为6的弦和它所对的劣弧围成的弓形面积. [解析] 如图所示,∵AB=6,OA=OB=6,∴∠AOB =. ∴扇形AOB的面积S扇形AOB=l·r=α·r2=××62=6π. 又∵△AOB是等边三角形,∴S△AOB=×62=9. ∴弓形面积S=6π-9. 1.2.1 一、选择题 1.角α满足条件sinαcosα>0,sinα+cosα<0,则α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 [答案] C [解析] ∵sinαcosα>0,sinα+cosα<0 ∴sinα<0,cosα<0,∴α是第三象限角. 2.已知角α的终边经过点P(-b,4),且sinα=,则b等于( ) A.3B.-3 C.±3D.5 [答案] C [解析] r=|OP|=,sinα==, ∴b=±3. 3.若α为第一象限角,那么sin2α,cos2α,sin,cos中必定取正值的有( ) A.0个B.1个 C.2个D.3个 [答案] B [解析] ∵α是第一象限角. ∴是第一、三象限角,∴sin,cos可正可负, 又4kπ<2α<4kπ+π,k∈Z, ∴sin2α>0,cos2α可为负值.∴只有sin2α>0. 4.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是( ) A.sinα+cosα<0B.tanα-sinα<0 C.cosα-cotα<0D.cotαcscα<0 [答案] B [解析] ∵α是第三象限角,∴tanα>0,sinα<0 ∴tanα-sinα>0.故选B. 5.(2010·济南一中高一下学期期末测试)已知P(-,y)为角β的终边上的一点,且sinβ=,则y的值为( ) A.±B. C.-D.2 [答案] B [解析] 由题意,得r=|OP|=, sinβ===,解得y=±, 又∵sinβ=>0,点P的横坐标为-<0,∴y=. 6.下面说法正确的是( ) A.正角的三角函数值是正的,负角的三角函数值是负的,零角的三角函数值是0 B.角α终边上一点为P(x,y),则sinα的值随y的增大而增大 C.对任意角α,若α终边上一点坐标为(x,y),都有tanα= D.对任意角α(α≠,k∈Z),都有|tanα+cotα|=|tanα|+|cotα| [答案] D [解析] ∵tanα、cotα的符号相同, ∴|tanα+cotα|=|tanα|+|cotα|. 7.已知|cosθ|=cosθ,|tanθ|=-tanθ,则的终边在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第一、三象限或x轴上 D.第二、四象限或x轴上 [答案] D [解析] ∵|cosθ|=cosθ,∴cosθ≥0, 又|tanθ|=-tanθ,∴tanθ≤0,∴2kπ+<θ≤2kπ+2π, ∴kπ+<≤kπ+π,k∈Z.∴应选D. 8.若角α的终边在直线y=3x上且sinα<0,又P(m,n)是α终边上一点,且|OP|=,则m-n=( ) A.2B.-2 C.4D.-4 [答案] A [解析] ∵P(m,n)在直线y=3x上,且sinα<0, ∴P位于第三象限,∴m<0,n<0. |OP|=== ∴m2=1,∴m=-1,n=-3 ∴m-n=2. 二、填空题 9.若三角形两内角α、β满足sinα·cosβ<0,则此三角形为________. [答案] 钝角三角形 [解析] 在(0,π)上,sinα>0,sinα·cosβ<0,必有cosβ<0.∴β为钝角. 10.使得lg(cosθ·tanθ)有意义的角θ是第__________象限角. [答案] 一或二 [解析] 要使原式有意义,必须cosθ·tanθ>0,即需cosθ、tanθ同号, ∴θ是第一或第二象限角. 11.函数y=tanx+lgsinx的定义域为________. [答案] (2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+π)(k∈Z) [解析] 要使函数有意义,应满足 , ∴,
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