中职数学基础模块下册《计数原理》word练习题.docx
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中职数学基础模块下册《计数原理》word练习题
第十编计数原理
§10.1两个基本计数原理
基础自测
1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法有
__________种.
2.从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持本班的某次主题班会,则不同的选法有种.
3.一个乒乓球队里有男队员 5 人,女队员 4 人,从中选出男、女队员各一名组成混合双打,共有种
不同的选法.
4.将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有种.
5.有一项活动需在 3 名老师,8 名男同学和 5 名女同学中选人参加,
(1)若只需一人参加,有多少种不同
的选法?
(2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同的选法?
(3)若只需老师,男同学,女同学各一人参加,有多少种不同的选法?
例 1在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
例 2已知集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a,b∈M),问:
(1)P 可表示平面上多少个不同的点?
(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点?
(3)P 可表示多少个不在直线 y=x 上的点?
例 3现有高一四个班学生 34 人,其中一、二、三、四班各 7 人、8 人、9 人、10 人,他们自愿组成数学课
外小组.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?
(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)推选二人作中心发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?
1.从 1 到 20 这 20 个整数中,任取两个相加,使其和大于 20,共有几种取法?
2.某体育彩票规定:
从 01 到 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元.某人想先选定吉利号 18,然后
从 01 至 17 中选 3 个连续的号,从 19 至 29 中选 2 个连续的号,从 30 至 36 中选 1 个号组成一注.若这个
人要把这种要求的号全买下,至少要花多少元钱?
3.某校高中部,高一有 6 个班,高二有 7 个班,高三有 8 个班,学校利用星期六组织学生到某厂进行社会
实践活动.
(1)任选 1 个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法?
(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践,有多少种不同的选法?
(3)选 2 个班的学生参加社会实践,要求这 2 个班不同年级,有多少种不同的选法?
一、填空题
1.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有种.
2.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“××××××× 0000”到“×××××
××9999”共 10 000 个号码,公司规定:
凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡,
则这组号码中“优惠卡”共有个.
3.从集合{1,,,„,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列共有__
个.
4.如图所示,用五种不同的颜色分别给 A、B、C、D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同
一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有种.
5.一植物园参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线种数共有种.
6.(2008·全国Ⅰ文)将 1,2,3 填入 3×3 的方格中,要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种
填法,则不同的填写方法共有种.
7.在 2008 年奥运选手选拔赛上,8 名男运动员参加 100 米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在 1、2、3、4、5、
6、7、8 八条跑道的奇数号跑道上,则安排这 8 名运动员比赛的方式共有种.
8.若一个 m,n 均为非负整数的有序数对(m,n),在做 m+n 的加法时各位均不会进位,则称(m,n)为“简
m
单的”有序数对, +n 称为有序数对(m,n)的值,那么值为 1 942 的“简单的”有序数对的个数是.
二、解答题
9.
(1)4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多少种报名方法?
(2)4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能的结果?
10.用 5 种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区
域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法?
11.在平面直角坐标系内,点 P(a,b)的坐标满足 a≠b,且 a,b 都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点 P
到原点的距离|OP|≥5.求这样的点 P 的个数.
12.将 3 种作物种植在如图所示的 5 块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,
不同的种植方法共有多少种?
§10.2排列与组合
基础自测
1.从 1,2,3,4,5,6 六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的
三位数共有个.
2.(2008·福建理)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至少有 1 名
女生,那么不同的选派方案共有种.
3.停车场每排恰有 10 个停车位.当有 7 辆不同型号的车已停放在同一排后,恰有 3 个空车位连在一起的排
法有种.(用式子表示)
4.在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法种数是(用式
子表示).
5.(2007·天津理)如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂色,每个格子涂一种颜色,要求最多使
用 3 种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有种(用数字作答).
例 1六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(4)甲、乙之间间隔两人;
(5)甲、乙站在两端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
例 2男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中各有多少种
选派方法?
(1)男运动员 3 名,女运动员 2 名;
(2)至少有 1 名女运动员;
(3)队长中至少有 1 人参加;
(4)既要有队长,又要有女运动员.
例 34 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内.
(1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法?
(2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法?
(3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法?
1.用 0、1、2、3、4、5 这六个数字,可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数:
(1)奇数;
(2)偶数;(3)大于 3 125 的数.
2.某医院有内科医生 12 名,外科医生 8 名,现选派 5 名参加赈灾医疗队,其中
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同选法?
(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?
(3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?
3.有 6 本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?
(1)分成 1 本、2 本、3 本三组;
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本;
(3)分成每组都是 2 本的三组;
(4)分给甲、乙、丙三人,每人 2 本.
一、填空题
1.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50 000 的偶数共有个.
2.将编号为 1,2,3,4,5 的五个球放入编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子里,每个盒子内放一个球,若
恰好有三个球的编号与盒子编号相同,则不同投放方法共有种.
3.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排在两端,不同的
排法共有种.
4.在图中,“构建和谐社会,创美好未来”,从上往下读(不能跳读),共有种不同的读法.
5.(2008·天津理)有 8 张卡片分别标有数字 1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,
要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5,则不同的排法共有种.
6.(2008·安徽理)12 名同学合影,站成了前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前
排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是(用式子表示).
7.平面 α 内有四个点,平面 β 内有五个点,从这九个点中任取三个,最多可确定个平面,任取
四点,最多可确定个四面体.(用数字作答)
8.(2008·浙江理,16)用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇
偶性不同,且 1 和 2 相邻.这样的六位数的个数是.(用数字作答)
二、解答题
9.某外商计划在 4 个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,求该外商不
同的投资方案有多少种?
10.课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、女各指定一名队长,现从中选 5 人主持某
种活动,依下列条件各有多少种选法?
(1)只有一名女生;
(2)两队长当选;
(3)至少有一名队长当选;
(4)至多有两名女生当选.
11.已知平面 α ∥ β ,在 α 内有 4 个点,在 β 内有 6 个点.
(1)过这 10 个点中的 3 点作一平面,最多可作多少个不同平面?
(2)以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?
(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积?
12.有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个座位不能坐,并
且这 2 人不左右相邻,共有多少种不同排法?
§10.3二项式定理
基础自测
1.在(1+x)n(n∈N*)的二项展开式中,若只有 x5 的系数最大,则 n=.
1
2.在(a2-2a 3 )n 的展开式中,则下列说法错误的有个.
①没有常数项
②当且仅当 n=2 时,展开式中有常数项
③当且仅当 n=5 时,展开式中有常数项
④当 n=5k (k∈N*)时,展开式中有常数项
nnr
3.若多项式 C0 (x+1)n-C 1 (x+1)n-1+„+(-1)rC n (x+1)n-r+„+(-1)nC n =a0xn+a1xn-1+„+an-1x+an,则 a0+a1+„
+an-1+an=.
4.(2008·山东理)(x- 1
.
5.(2008·福建理,13)若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=.(用数字作答)
例 1在二项式( x +
最大的项.
1
24 x
)n 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项和二项式系数
例 2已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+„+a7x7.
求:
(1)a1+a2+„+a7;
(2)a1+a3+a5+a7;
(3)a0+a2+a4+a6;
(4)|a0|+|a1|+|a2|+„+|a7|.
例 3
(1)已知 n∈N*,求证:
1+2+22+23+„+25n-1 能被 31 整除;
(2)求 0.9986 的近似值,使误差小于 0.001.
1.在(3x-2y)20 的展开式中,求:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数绝对值最大的项;
(3)系数最大的项.
2.求 x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3(1-3x)7 展开式中各项系数的和.
3.求证:
3n>(n+2)·2n-1 (n∈N*,n>2).
一、填空题
1.(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+„+a6x6,则|a0|+|a1|+|a2|+„+|a6|的值为.
2.(2008·安徽理)设(1+x)8=a0+a1x+„+a8x8,则 a0,a1,„,a8 中奇数的个数为.
3.(2008·全国Ⅱ理)(1-x )6(1+x )4 的展开式中 x 的系数是.
4.已知(x-
a
x
)8 展开式中常数项为 1 120,其中实数 a 为常数,则展开式中各项系数的和为 .
5.若(1+5x2)n 的展开式中各项系数之和是 an(2x3+5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为 bn,则
an
值为.
6.设 m∈N*,n∈N*,若 f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n 的展开式中 x 的系数为 13,则 x2 的系数为.
7.(1+x)6(1-x)4 展开式中 x3 的系数是.
⎛
8.(2008·天津理,11) çç x -
⎝
二、解答题
x ⎭
5
2
.(用数字作答)
9.已知( x +
是第几项?
2
10.已知( 3 x 2 +3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992.求展开式中系数最大的项.
11.
(1)求(x2-
1
2x
)9 的展开式中的常数项;
(2)已知(
a
x
-
x
2
9
4
(3)求(x2+3x+2)5 的展开式中含 x 的项.
12.在(2x-3y)10 的展开式中,求:
(1)二项式系数的和;
(2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
(5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和.
单元检测十
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1.不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁不能排在一起,则不同的排
法共有种.
2.直角坐标 xOy 平面上,平行直线 x=n(n=0,1,2,„,5)与平行直线 y=n (n=0,1,2,„,5)组成的图形中,矩
形共有个.
3.二项式(a+2b)n 中的第二项系数是 8,则它的第三项的二项式系数为.
4.已知(x+1)15=a0+a1x+a2x2+„+a15x15,则 a0+a1+a2+„+a7=.
5.(2008·四川理)从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,
则不同的挑选方法共有种.
6.(2009·常州模拟)在(1-x3)(1+x)10 的展开式中,x5 的系数为.
7.(1+ 3 x )6(1+
1
.
8.(2008·辽宁理)一生产过程有 4 道工序,每道工序需要安排一人照看,现从甲、乙、丙等 6 名工人中
安排 4 人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 1 人,第四道工序只能从甲、丙两
工人中安排 1 人,则不同的安排方案共有种.
9.甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六值班工作,每天一人值班,每人值班两
天,如果甲同学不值周一的班,乙同学不值周六的班,则可以排出不同的值班表有种.
10.若(1+x)n+1 的展开式中含 xn-1 的系数为 an,则
+ +„+ 的值为 .
a1 a2 an
11.在(x- 1
2x
)9 的展开式中,x3 的系数为 (用数字作答).
12.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+„+(1+x)8=a0+a1x+„+a8x8,则 a1+a2+a3+„+a8=.
13.(2008·陕西理,16)某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段,传递活动分别由 6 名火炬手完成,如果第一
棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案
共有种.(用数字作答)
14.(ax- 1
.
二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分)
15.(14 分)二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取 3 个不同
的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条?
16.(14 分)五位老师和五名学生站成一排:
(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法?
(2)五名学生不能相邻共有多少种排法?
(3)老师和学生相间隔共有多少种排法?
⎛
17.(14 分)已知在 çç 3 x -
⎝
1
23 x
⎫ n
⎪ 的展开式中,第 6 项为常数项.
⎪
⎭
(1)求 n;
(2)求含 x2 的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
18.(16 分)4 个不同的红球和 6 个不同的白球放入同一个袋中,现从中取出 4 个球.
(1)若取出的红球的个数不少于白球的个数,则有多少种不同的取法?
(2)取出一个红球记 2 分,取出一个白球记 1 分,若取出 4 个球总分不少于 5 分,则有多少种不同的取
法?
19.(16 分)已知(a2+1)n 展开式中的各项系数之和等于(
的展开式的系数最大的项等于 54,求 a 的值(a∈R).
16 1
5 x
20.(16 分)设(2- 3 x)100=a0+a1x+a2x2+„+a100x100,求下列各式的值:
(1)a0;
(2)a1+a2+„+a100;
(3)a1+a3+a5+„+a99;
(4)(a0+a2+„+a100)2-(a1+a3+„+a99)2.
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