高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 33 复数的几何意义习题 苏教版选修22.docx
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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入33复数的几何意义习题苏教版选修22
第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义习题苏教版选修2-2
明目标、知重点 1.了解复数的几何意义,会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1.复数的几何意义
任何一个复数z=a+bi和复平面内Z(a,b)一一对应,和以原点为起点,以Z(a,b)为终点的向量一一对应.
2.复数的模
设z=a+bi,则|z|=.
3.复平面中两点的距离
两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
[情境导学]
我们知道实数的几何意义,实数与数轴上的点一一对应,实数可用数轴上的点来表示,那么复数的几何意义是什么呢?
探究点一 复数与复平面内的点
思考1 实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?
答 任何一个复数z=a+bi,都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应.
小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
思考2 判断下列命题的真假:
①在复平面内,对应于实数的点都在实轴上;
②在复平面内,对应于纯虚数的点都在虚轴上;
③在复平面内,实轴上的点所对应的复数都是实数;
④在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数;
⑤在复平面内,对应于非纯虚数的点都分布在四个象限.
答 根据实轴的定义,x轴叫实轴,实轴上的点都表示实数,反过来,实数对应的点都在实轴上,如实轴上的点(2,0)表示实数2,因此①③是真命题;根据虚轴的定义,y轴叫虚轴,显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上,如纯虚数5i对应点(0,5),但虚轴上的点却不都是纯虚数,这是因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示的是实数,故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,所以②是真命题,④是假命题;对于非纯虚数z=a+bi,由于a≠0,所以它对应的点Z(a,b)不会落在虚轴上,但当b=0时,z所对应的点在实轴上,故⑤是假命题.
例1在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应的点
(1)在虚轴上;
(2)在第二象限;(3)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围.
解 复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.
(1)由题意得m2-m-2=0.
解得m=2或m=-1.
(2)由题意得,
∴,
∴-1 (3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2, 故m=2. 反思与感悟 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系,每一个复数都对应着一个有序实数对,只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值. 跟踪训练1 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i (1)对应的点在x轴上方; (2)对应的点在直线x+y+4=0上. 解 (1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5, 所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方. (2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0, 得m=1或m=-,所以当m=1或m=-时, 复数z对应的点在直线x+y+4=0上. 探究点二 复数与向量 思考1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系? 答 当向量的起点在原点时,该向量可由终点唯一确定,从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系. 思考2 怎样定义复数z的模? 它有什么意义? 答 复数z=a+bi(a,b∈R)的模就是向量=(a,b)的模,记作|z|或|a+bi|. |z|=|a+bi|=可以表示点Z(a,b)到原点的距离. 例2已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围. 解 方法一 ∵z=3+ai(a∈R), ∴|z|=, 由已知得32+a2<42,∴a2<7,∴a∈(-,). 方法二 利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界), 由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上, 所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合. 由图可知:
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