空气动力学空气动力学作业第三章.docx
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空气动力学空气动力学作业第三章
第三章理想不可压缩流体平面位流
3-1设有直匀流
以正X轴方向流过位于原点的点源,点源的强度为
,试求半无限体表面上最大垂直分速度
的位置及速度值,并证明,在该点处合速度的大小正好等于直匀流速度
。
解:
根据叠加原理,流函数为
(1)
利用流函数表达式
(1),可以写出合速度场中的速度分量为
(2)
由
(2)式可以确定流场中驻点
(即
的点)位置为
(3)
过驻点
的流线,即为半无限体的表面,其方程为
(4)
半无限体表面上的垂直分速度为
(5)
由
(6)
可得
(7)
当
时,
,
当
时,
,即
,
,
所以,半无限体表面上最大的垂直分速度为
(8)
该点的位置为
,
(9)
在半无限体表面的水平速度分量为
(10)
在该点处的水平速度分量为
(11)
则该点处的合速度为
(12)
3-2令
是二维拉普拉斯方程的解,请证明
可以代表二维无粘不可压缩流动的位函数或流函数。
证明:
有:
;
同时满足不可压及无旋条件,所以可以代表二维无粘不可压缩流动位函数
有:
;
满足不可压平面流动条件,所以可以代表二维无粘不可压缩流动流函数。
3-3在正三角形的三个角点
,
,
处放入三个等强度的点源,试写出该流动的流函数,确定其驻点坐标,并粗略地勾画出对应的流谱。
解:
设点源的强度为
,根据叠加原理,该流动的流函数为
(1)
由
(1)可以给出流动的速度分量
(2)
由
(2)式可以确定流场中驻点
(即
的点)位置为
(3)
3-4叠加中心在原点的点涡和点源,试证其合成流动是一种螺旋形流动。
在这一种流动中,速度与极半径之间的夹角处处相等,其值等于
。
解:
根据叠加原理,合成流动的位函数为
(1)
由
(1)可以给出流动的速度分量
(2)
速度与极半径之间的夹角
为
(3)
3-5在
和
分别放入强度相等的点源和点汇,直匀流
沿
轴流来。
设点源的强度为
,试求流动的流函数、前后驻点的位置和零流线的形状。
该零流线所代表的封闭物体称之为兰金卵形,试确定该兰金卵形的短半轴值。
解:
根据叠加原理,该流动的流函数为
(1)
由
(1)可以给出流动的速度分量
(2)
前后驻点的位置为
(3)
零流线的形状为
(4)
当
时,数值求解得
,所以该兰金卵形的短半轴为1.3065a。
3-6设有直匀流
绕过两种物体,一种是兰金卵形封闭物体,另一种是半径等于兰金卵形物体短轴的圆柱体,试比较在这两种物体表面上所产生的最大速度之比,并给出适当的物理解释。
解:
由于兰金卵形和圆柱物体均为左右对称,因此最大速度位置均出现在左右的对称面上。
兰金卵形物体表面上对称面位置的坐标为
,该点处的速度为
(1)
兰金卵形物体表面上所产生的最大速度为
。
根据叠加原理,圆柱绕流的流函数为
(2)
(3)
圆柱表面上左右对称面位置的坐标为
,该点处的速度为
(4)
圆柱表面上所产生的最大速度为
。
兰金卵形物体和圆柱物体表面上所产生的最大速度之比为
(5)
3-7在
和
有等强度的点源和点汇,试证明它们对无穷远处(即
)的作用和一个位于原点的偶极子的作用完全一样。
证明:
位于原点的强度为
的偶极子的位函数为
(1)
根据叠加原理,强度为
的分别位于在
和
的点源和点汇构成的流动的位函数为
(2)
当
时,有
,固有
(3)
3-8位于
和
处有两个强度相等的旋转方向相反的点涡,当
时保持
为常数,试证其对应的流动与轴线在
轴的偶极子完全相同。
证明:
位于原点的轴线沿
轴方向的强度为
的偶极子的流函数为
(1)
根据叠加原理,位于
和
处的强度为
的旋转方向相反的点涡产生的复合流场的流函数为
(2)
对
(2)式两端取极限,有
(3)
当
时,
。
3-9在
和
处分别布置强度为
的等强度的点汇和点源,直匀流
沿
轴方向流来,试写出合成流动的流函数,并证明其包含驻点的流线方程为
设
,请画出合成流动对应的物体形状。
证明:
合成流动的流函数为
(1)
流场中各点的速度分量为
(2)
由
(2)可求得驻点的位置为
,因此包含驻点的流线方程为
(3)
流线方程(3)可以进一步改写为
(4)
(5)
所以,包含驻点的两条流线方程为
(6-1)
(6-2)
当
时,包含驻点的流线方程(6-2)简化为
(6-2)
3-10相距2a、强度为
的等强度点源和点汇,位于一条与正
轴成45度的直线上,点源和点汇相对于原点对称。
试证当
时,并保持
等于常数
时,此时形成的偶极子的流函数为
证明:
设点源位于
,点汇位于
,则点源与点汇合成流动的流函数为
(1)
对
(1)式进行变换有
(2)
(3)
对(3)式两端取极限,有
(4)
3-11试证在直匀流中,半径为
的圆柱体表面上的压强系数为
设绕圆柱体的环量为
。
证明:
绕圆柱流动的位函数为
(1)
则圆柱表面的速度分量为
(2)
圆柱表面的合速度为
(3)
则圆柱表面的压力系数分布为
(4)
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- 空气动力学 作业 第三