q
⑹小数:
纯小数:
0.1;混小数:
1.1;有限小数;无限小数;
整数(Z)
宀”有理数Qm
⑺实数R分数(m)
n
无理数
有理数Q:
包括整数和分数,可以知道所有有理数均可以化为
无限循环小数均是有理数。
P的形式,这是与无理数的区别,
q
有限小数或
★无限循环小数化成P的方法:
如果循环节有k位,则此小数可表示为:
q
循环节数字
Ex
k个9
。
。
abc
0.abc=
999
例1、0.213=0.2131313…化为分数
分析:
.O00
0.213=0.2+0.013=0.2+0.1*
0.13=丄+丄*邑
51099
。
。
abc26
分析:
0abc==从而abc=26*9
999111
无理数:
无限不循环小数
常见无理数:
n、e
对数,如log23
实数(R)
无限循环小数
无理数:
无限不循环小数
考点:
有理数与无理数的组合性质。
A、有理数(+—X+)有理数,仍为有理数。
(注意,此处要保证除法的分母有意义)
B、无理数(+-X+)无理数,有可能为无理数,也有可能为有理数;无理数十非零有理数=无理数
eg.如果两个无理数相加为零,则它们一定互为相反数(X)。
如,.2和2.2。
C、有理数(+—)无理数=无理数,非零有理数(X+)无理数=无理数
(8)★连续k个整数之积可被k!
整除(k!
为k的阶乘)
(9)被k(k=2,3,4-----)整除的性质,其中被7整除运用截尾法。
★被7整除的截尾法:
截去这个整数的个位数,再用剩下的部分减去个位数的2倍,所得结果若是7的倍数,
该数就可以被7整除
同余问题
被2整除的数,个位数是偶数
被3整除的数。
各位数之和为3倍数
被4整除的数,末两位数是4的倍数
被5整除的数,个位数是0或5
被6整除的数,既能被2整除又能被3整除
被8整除的数,末三位数之和是8的倍数
被9整除的数,各位数之和为9的倍数
被10整除的数,个位数为0
被11整除的数,奇数位上数的和与偶数位上数的和之差(或反过来)能被11整除
被7、11、13整除的数,这个数的末三位与末三位以前的数之差(或反过来)能被7、
11、13整除
第二章绝对值(考试重点)
1、绝对值的定义:
其特点是互为相反数的两个数的绝对值是相等的
穿线法:
用于求解高次可分解因式不等式的解集
要求:
(1)x系数都要为正
(2)奇穿偶不穿
a所对应的点到原点的距离
2、实数a的绝对值的几何意义:
数轴上实数
【例】充分性判断f(x)=1只有一根
(1)f(x)=|x-1|
(2)f(x)=|x-1|+1
解:
由
(1)f(x)=|x-1|=1得x11
当x落入a,b之间时取到最小值
|x-a|-|x-b|表示x到a的距离与x到b的距离之差,并且有互为相反数的最小值-|a-b|
和最大值|a-b|,当x在a,b两点外侧时取到最小值与最大值
5、性质:
对称:
互为相反数的两个数的绝对值相等
等价:
(1)|a|''(升次)
讨论:
两正一负:
两负一正:
三正2
三负-2
7、绝对值不等式定理
★三角不等式:
|a||b||ab||a||b|形如三角形三边关系
左边等号成立的条件:
ab0且|a||b|
右边等号成立的条件:
ab0第二章整式和分式
一、内容提要
1、
单项式:
若干字母与数字之积多项式:
若干单项式之和
2、乘法运算
(1)单项式X单项式
23
2x•3x=6x
(2)单项式X多项式
2
x(2x-3)=2X-3x
(3)多项式X多项式(
2
2x+3)(3x-4)=6x+X-12
3、乘法公式(重点)
(1)
(a
b)2
2a
2abb2
(2)
(a
b「
c)2
2,22abc
2ab2bc2ac
(3)
(a
b)3
3a
b33a2b
3ab2
(4)
2a
b2
(a
b)(ab)
(5)
a3
b3
(a
b)(a2ab
b2)
AA
4、分式:
用A,B表示两个整式,A*B就可以表示成一的形式,如果B中还有字母,式子一就叫分式,其中A
BB
叫做分式的分子,B叫做分式的分母。
在解分式方程的时候要注意检验是否有増根
5、有理式:
整式和分式统称有理式
6、分式的基本性质:
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变
7、分式的约分:
其目的是化简,前提是分解因式
8、分式通分:
目的是化零为整,前提是找到公分母,也就是最小公倍式
9、分式的运算:
加减法:
a
ca
c
cadbc
b
b
b
dbd
乘法:
ac
?
—
ac
bd
bd
除法:
ac
a小
d
ad
?
bd
b
c
bc
乘方:
(即
na
b
bn
10、余式的定义(重点):
被除式=除式X商+余式
F(x)=f(x)g(x)+r(x)
当r(x)=0时,称为整除
11、f(x)含有(xa)因式f(x)能被(xa)整除
12、二次三项式:
十字相乘可以因式分解
形如
13.因式定理
f(x)含有(ax-b)因式
f(x)含有(x-a)因式
14、余式定理:
f(a)=0
Cl
f(b)=0
a
f(x)除以ax-b的余式为f(—)
a
二、因式分解常用的因式分解的方法
1、提公因式法
【例】
2、公式法
3、十字相乘因式分解,适用于
2
axbxc,见上面第12小点
4、分组分解法
2
(1)axbxc十字相乘
3
(2)axbxc了解内容
方法:
ax3bxc=ax3t^xb2xc=x(ax2bjd(x—)或
b2
ax3bxc=ax3bxc1c2=ax3c1bxc2
(3)ax4bx2c设tx2将原式化为at2btc
(4)ax3bx2c
方法一、拆中间项
方法二
立方公式平方差
ex:
2x313x232x3x212x23
5
(5)axbxc
方法一、ax5dx3dx3bxc
方法二、ax5dx2dx2bxc
(6)待定系数法(见讲义24页)
多项式anXnaniXn1••…aiXa。
0的根为a°的约数除以a.的约数
应用:
ax2
by2
exydx
ey
f
xy
常数
=(aix
dy
f»a2X
b2y
f2)
其中a1a2
a,bib2b,£f
2f
a〔b2
a2bi
c,aif2
a2f
d,bj2
b2f1
e
经典例题:
1.实数范围内分解
(x1)(x6)(x2
5x
16)(x
1)(x
2)(x3)(x4)120有(B)
(7)双十字相乘法
A.
(x
1)(x
6)(x2
5x
16)
B.
(x
1)(x
6)(x2
5x
16)
C.
(x
1)(x
6)(x2
5x
16)
D.
(x
1)(x
6)(x2
5x
16)
E.以上都不对
解答:
用特殊值代入得B
111111
2.已知abc0且abc0,贝Ua()b()c()(A)
beacab
A.-3
B.
-2
C
.2
D
.3E.
.以上全不对
1
1
11
1
1
a(-
-)
b(—-)
c(—
)
b
c
ac
a
b
a
a、
.b
b、
c
c、
(
)
(
)
(
)
b
c
a
c
a
b
za
c、
/b
a、
zc
b、
解答:
J
J
(
)
(
)
b
b
c
c
a
a
a
c、
a
b
b
c、
(匚
-)
(
)(
)
b
c
a
c、
za、
()
(-
)
()
3
b
c
a
第三章比和比例
一、基本定义
1.比a:
b—
b
2.关系
(1)原值为a,增长了P%现值为a(1+P%)
原值为a,下降了P%现值为a(1-P%)
如果原值先增加P%减少多少可以恢复原值
P%
a(1+P%)(1-x)=a
1P%
P%
如果原值先减少P%增加多少可以恢复原值
a(1-P%)(1+x)=a
P%“
xP%
入厂/0
1P%
(2)
比较大小
甲比乙大P%,
甲乙
P%甲二乙(1+P%)
乙比甲小
p%
乙
p%1
甲比乙少P%,
乙甲
P%甲二乙(1-P%)
乙比甲大
p%
乙
1p%
(3)
甲是乙的P%,
甲
P%
乙
甲二乙P%
3.比例:
a:
b=b:
cb为a、c比例中项
4.正比
y=kx(k可正可负)
、
性质
a:
bc:
d
ad
bc
内项积=外向积
三、
重要定理
1.
更比定理
a
c
a
b
b
d
c
d
2.
反比定理
a
c
b
d
(两边取倒数)
b
d
a
c
3.
合比定理
a
c
a
b
c
d
(两边加
1,
通分)
b
d
b
d
4.
分比定理
a
c
a
b
c
d
(两边减
1,
通分)
b
d
b
d
*5.
合分比定理
a
c
a
mc
a
c
b
d
b
md
b
d
*6.
等比定理
a
c
e
a
c
e
a
b
d
f
b
d
f
b
【例】
a,b,c为非0实数,且
a
c3bab3c亠
m,求m
a
bc
(1)
当abc0时
由等比定理,分子分母同加减,得
m=-1
(2)
当a+b+c=0时a+b=-c代入原式,
得
m=-4
陷阱在分母的取值,要分开讨论
7.增减性(比较大小)a,b,m均大于0
若a
1
则
a
m
a(
(m
0)
b
b
m
b
若0
a
1
则
a
m
a
(m>0)
b
bm
b
四、平均值
1、算术平均值:
2、几何平均值
五、平均值定理
1、
Xi
Xn
当且仅当
X2
Xn时,两者相等
2、n=2时,-一bab
2
1i
3、当a,a2
ba
六、比较大小的方法:
1、整式作减法,与0比较大小2、分式作除法,与1比较
技巧方法:
1、特值法2、极端法(趋于0或无穷大)
111111
【例】—:
—:
:
:
,且a+b+c=27,求a-2b-2c
abc234
abc2349
由题意可知,a:
b:
c=2:
3:
4,,可得a=6,b=9,c=12
a22
算出a-2b-2c=-36
第四章方程不等式
一、基本定义:
1、元:
方程中未知数的个数次:
方程中未知数的最高次方数
2、一元一次方程
Ax=b得x—
a
3、一元二次方程
2
ax+bx+c=0(a丰0)
2
兀二次方程ax+bx+c=0,因为一兀二次方程就意味着
2
当=b-4ac>0时,方程有两个不等实根,为
X1,2
2a
2
当=b-4ac=0时,方程有两个相等的实根。
2
当=b-4ac<0时,方程无实根。
元n次方程根的情况:
一元二次方程中带根号的根是成对出现的,一元三次方程至少有
个有理根,或
者说奇数次方程至少有一个有理根.、重要公式及定理
1、一元二次方程ax2+bx+c=0的解法
(1)因式分解:
十字相乘(为完全平方数)
(2)
求根公式
X1,2=
2a
2、抛物线y=ax2+bx+c图像的特点及性质
2
y=ax+bx+c(抛物线),则①开口方向由a决定:
a>0时,开口向上,a<0时,开口向下②c决定与y轴的
时,无实根⑧恒正:
a>0,<0;恒负:
a<0,<0
三、根与系数关系(韦达定理)
bc
xx2XiX2—,XiX2-
如果Xl、x2是ax2bxc0的两个根,则aa,注意:
韦达定理不仅对实根是适用
的,对虚根也适用
韦达定理的扩展应用:
(1)丄-
X
1
X2
x1x2b
与a无关
x1x2
c
(2)
1
1
(X1
X?
)22x1x2
b22ac
2
X1
2
X2
(X1X2)2
2c
|a|
(3)
|X1
X2|
(^
X2)24x1x2
(4)
2
Xi
2
X2
(X1
X2)22x1X2
(5)
3
(X1
X23(N
X2)[(X1
%2)(好NX:
x2)23%x2]
X22)
考试题型
1、题型一
2ax
bx
c0的根的分布情况
(1)
有两个正根
x1x2
b
0,x1x2
c
0,
0
a
a
(2)
有两个负根
X1x2
b
0,x1x2
c
0,
0
a
a
(3)
一正一负根
c
x1x2
0
即a和c
异号
即卩可;
a
如果再要求|正根|>|负根|,则再加上条件a,b异号;如果再要求|正根|<|负根|,则再加上a,b同号
(4)一根比k大,一个根比k小af(k)<0
2、对数方程,不等式的应用
方程:
loga(x)logg(x)f(x)g(x)0
n
指数相关知识:
anaaa(n个a相乘)anam归"
a
1
对于an,若n为正偶数,则a0;若n为正奇数,则a无限制;若n为负偶数,贝Ua>0;若n为负奇数,则
a0。
若a0,贝U、、弓为a的平方根,负数没有平方根。
指数基本公式:
amanamnamnanmamn其他公式查看手册
题型三、韦达定理的应用
不等式
不等式的性质:
1、同向皆正相乘性
2、皆正倒数性
_ab0ab
3、—一
cd0de
4、ab0a2b2
不等式解集的特色:
解集端点的值代入不等式时,不等式左边等」右边。
元一次不等式
①ax
b
若,a>0时
x
b
a
a<0
时x
b
a
②ax
b
若,a>0时x
b
a
a<0
时x
b
a
2x
1
A弦白斗耳.
2x
1
A
3
x0
1移向通分得:
1
0
3x
2
3x
2
3x
2
二、含绝对值的不等式
三、
元
次不等式组
2x
3
0
x
2
求交集得
3
3x
2
7
x
3
3
2x
3
0
x
2
3x
2
7
解得x
3
一
x
4
2
5
5x
4
0
4
x
5
3
临界点为-1,一
2
x<-1时,解得
解得-1
3z3
③x>时,—22
合并①②③得,8x4
3
性质:
1.a>b>0,a2b2
22
2.a
四、一元二次不等式
注:
将系数调整为正数后在求解
2
1axbxc0时,a>0时,xx2,x捲
2axbxc0时,a>0时,为xX2
解高次不等式:
方法:
穿针引线法(由右上开始往下穿)
注:
偶次方先穿时,不考虑,穿后考虑特殊点;
奇次方不考虑全看为一次。
x<1且xm-1,或2▲类似于|ax+b||cx+d|>e的不等式,可以分段讨论,但计算量大,这时使用折线法,限于一次方程,步骤如
下:
①根据ax+b=0,cx+d=0求出折点
0,向上折
0,水平
一些图像的画法
y=|ax+b|,下翻上,把原下方图像上翻后去掉原下方
y=|ax|+b,右翻左,把右边翻到左边,去掉原来左边的
|y|=ax+b,上翻下,原来下方去掉
五、超级不等式:
指数、对数问题
(1)对数的图像要掌握
方程:
loga(x)logg(x)f(x)g(x)0
不等式:
a>1时log;(x)loga(x)f(x)g(x)0单调递增
0对于an,若n为正偶数,则a0;若n为正奇数,则a无限制;
若n为负偶数,则a>0;若n为负奇数,贝Ua0。
若a0,则.3为a的平方根,负数没有平方根。
第五章应用题
「、比、百分比、比例
(1)知识点
禾叶润=售价-进价禾U润=出厂价-成本
利润E心变化量
利润率=变化