高中数学角及三角函数.docx
- 文档编号:925639
- 上传时间:2022-10-14
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:37.30KB
高中数学角及三角函数.docx
《高中数学角及三角函数.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学角及三角函数.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学角及三角函数
1.角的概念的推广
(1)角的概念、正角、负角、零角的概念。
在这些概念中要注意旋转的方向。
(2)象限角的概念,这个概念的前提是这个角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴非负半轴重合。
在这个前提下,才能由终边所在象限来判定某角为第几象限角。
在上述前提下,如果某角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任一象限。
①会表示象限角、区间角、终边相同的角及其它特殊角。
(3)终边相同角的统一记法,与角α终边相同的角的一般形式为α+k·360°。
要注意:
①k∈Z;②α是任意角;③终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍。
2.弧度制
(1)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角。
这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制。
(2)弧度制的意义:
首先是定义三角函数及绘制三角函数图象的需要,其次弧度数是实数,它把角集合与实数集合之间建立了一一对应关系,再次可简化弧长公式与扇形面积公式。
(3)角度制与弧度制的换算:
180°=πrad是角度与弧度换算公式的基础,这里π是圆周率,应注意π≠3.14,π≠1rad。
3.任意角的三角函数
(1)三角函数的概念:
设α是一个任意角,α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离为r,三个量的六种比值是:
这六种比值分别叫做α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。
这种以角为自变量,以比值为函数值的函数,统称为三角函数。
由于角α终边确定,由几何知识知,这六个比值与P点在α终边上的位置无关。
(2)三角函数线
借助三角函数定义,可用单位圆中的有向线段MP,OM,AT等分别表示α角的正弦,余弦,正切。
可见三角函数线是三角函数定义的形象表示。
(注意课本上字母的确定位置。
)
(3)三角函数值以及符号
由于用角α终边上点的坐标来定义三角函数,因此,由点的坐标的符号,就可以决定α的六个三角函数值符号。
(4)终边相同的三角函数值
由三角函数的定义知:
终边相同的角的同一三角函数值相同。
即:
它可以把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°之间角的三角函数值。
4.同角三角函数基本关系式
(1)根据一个角的某一三角函数值求其它的三角函数值。
需注意先用平方关系,后用商数关系,最后用倒数关系,关键注意符号问题。
(2)三角函数式的化简,注意化简的结果做到“五个尽量”,即①项数尽量少,②次数尽量低,③尽量不含分母,④尽量不带根号,⑤尽量化为数值。
(3)三角恒等式的证明,掌握常规的化弦法(即:
切割化弦)以及由繁到简法等。
5.诱导公式
同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
此外,我们还证明了诱导公式
对于α为任意角都能成立。
(1)[0°,360°]间的角用[0°,90°]间的角表示。
若0°≤α≤90°,则[90°,180°]间的角可表示为180°-α。
[180°,270°]间的角可表示为180°+α,
[270°,360°]间的角可表示为360°-α。
6.两角和与差的正弦、余弦、正切
(2)变换α与β的取值及运用公式与同角三角函数关系式得:
说明:
(1)对于公式(*)初中要求α、β为锐角,事实上可以取任意角。
倍角公式:
它们的内在联系及其推导线索如下:
7.三角函数的图象和性质
[要点1]用“五点法”作图。
五个特殊点。
[要点2]正弦函数、余弦函数性质。
研究函数性质通常从五个方面研究:
定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。
(1)五点法画图
(2)变换
9.已知三角函数值求角
(1)反正弦概念
反正弦的定义
理解反正弦概念须注意以下几点:
arcsina无意义。
(2)反余弦概念
反余弦的定义
理解反余弦定义须注意:
(3)反正切概念
(二)第五章
1.向量既有大小又有方向,可用有向线段表示。
2.零向量、单位向量、平行向量、共线向量。
3.向量相等,相反向量。
向量减法:
5.运算律(交换律)(加法)
7.向量基本定理:
8.向量坐标运算:
10.平面向量数量积及运算律
运算律:
11.数量积的坐标表示
12.平移:
13.正弦定理:
余弦定理:
【典型例题】
例1.试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值。
解:
说明:
本题主要通过换元将三角问题转化为代数问题。
例2.
解:
说明:
本题关键是将sinαcosβ与cosαsinβ看成一个整体,通过解方程组而求解。
例3.
解:
说明:
然后再求值。
例4.
(1)求f(x)的最小正周期。
(2)求f(x)取得最值时x的值。
(3)求f(x)单调递增区间。
解:
例5.
解:
例6.
解:
例7.如图在地面上有一旗杆OP,为了测得它的高h,在地面上选一基线AB,AB=20m,在A点测得P点仰角∠OAP=30°,在B点测得P点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求旗杆的高度。
解:
在△AOB中,运用余弦定理:
答:
旗杆的高度为20m。
【模拟试题】
一.选择题。
1.()
A.B.C.D.
2.已知:
,则D点坐标为()
A.(10,4)B.(10,-4)
C.(-10,4)D.(-10,-4)
3.已知,并且,则y值为()
A.B.C.D.
4.函数和的定义域为R,“都是奇函数”是与的积是偶函数的()
A.必要非充分条件B.充分非必要条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
5.在边长为4的等边三角形中,的值是()
A.16B.-16C.8D.-8
6.已知点,点P在的延长线上,且,则P点坐标是()
A.(13,-1)B.(13,1)
C.(-13,1)D.(-13,-13)
7.点A(-3,4),B(2,7)的对称中心是()
A.B.
C.D.
8.已知且,则()
A.B.C.D.1
9.△ABC中,,则()
A.B.
C.D.不能确定
10设,则的值为()
A.B.C.D.
11.△ABC中内角∠B=45°,角C的对边,则角A=()
A.15°B.75°C.105°D.15°或75°
12.已知函数在同一周期内,当时,最大值为2;当时,最小值是,那么函数的解析式是()
A.B.
C.D.
二.填空题:
(每小题3分,共18分)
13.设是两个不共线向量,,则与共线的充要条件是_____________。
14.若都是锐角,且,则____________。
15.设,且,则__________。
16.在△ABC中,,求__________。
17.已知,则两两夹角是____________。
18.函数的最大值为___________,最小值为___________。
三.解答题。
19.已知点及,求C、D两点坐标。
20.已知△ABC的三内角A,B,C成等差数列,且,求的值。
【试题答案】
一.选择题。
1.C2.B3.D4.B5.C6.C
7.A8.A9.C10.A11.D12.D
二.填空题。
13.14.
15.16.或
17.120°18.3,
三.解答题。
19.解:
即C(0,4)
又
即
20.解:
由已知可得:
设,则
故
由题设,得:
整理得:
即
【励志故事】
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 三角函数