最优控制习题及参考答案.docx
- 文档编号:9255608
- 上传时间:2023-02-03
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:247.41KB
最优控制习题及参考答案.docx
《最优控制习题及参考答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最优控制习题及参考答案.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最优控制习题及参考答案
最优控制习题及参考答案(总12页)
最优控制习题及参考答案
习题1求通过x(0)=1,x
(1)=2,使下列性能指标为极值的曲线:
J=∫
(x+1)dt
解:
由已知条件知:
t=0,t=1
d
由欧拉方程得:
(2x)=0
dt
x=C
x=Ct+C
将x(0)=1,x
(1)=2代入,有:
C=1,C=1
得极值轨线:
x(t)=t+1
习题2求性能指标:
J=∫
(x+1)dt
在边界条件x(0)=0,x
(1)是自由情况下的极值曲线。
解:
由上题得:
x(t)=Ct+C
x(t)
由x(0)=0得:
C=0
∂L
由
∂x
=2x(t)=2C=0t
01
于是:
x(t)=0
【分析讨论】对于任意的x(0)=x,x
(1)自由。
有:
C=x,C=0,即:
x(t)=x
其几何意义:
x
(1)自由意味着终点在虚线上任意点。
习题3已知系统的状态方程为:
x(t)=x(t),x(t)=u(t)
边界条件为:
x(0)=x(0)=1,x(3)=x(3)=0,
1
试求使性能指标J=
u(t)dt2
取极小值的最优控制u(t)以及最优轨线x(t)。
⎡x⎤
解:
由已知条件知:
f=⎢⎥
⎢⎣u⎥⎦
Hamiton函数:
H=L+λf
H=1u+λx
+λu
⎧λ=0
⎩λ=−λ
由协态方程:
⎨
2
⎧λ=C①
得:
⎨
⎩λ=−Ct+C②
∂H
由控制方程:
∂u
=u+λ=0
得:
u=−λ=Ct−C③
由状态方程:
x=u=Ct−C
得:
x(t)=1Ct−Ct+C④
2
由状态方程:
x=x
得:
x(t)=1Ct−1Ct+Ct+C⑤
6
2
⎡1⎤
⎡0⎤
将x(0)=⎢⎥,x(3)=⎢0⎥代入④,⑤,
⎣1⎦⎣⎦
10
联立解得:
C=
由③、④、⑤式得:
u(t)=10t−2
9
,C=2,C=C=19
x(t)=
5t−t+t+1
27
x(t)=5t−2t+1
9
习题4已知系统状态方程及初始条件为
x=u,
x(0)=1
试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
∫
J=
解:
H=xe+ue+λu
⎪
⎧x=u
列方程:
⎨λ=−2xe
⎩
⎪2eu+λ=0
(x+u)edt
①
②
③
由③得,u
代入①得,
x
1eλ④
2
1eλ
=−
2
x1eλ
eλ
=−+
2
将②,③代入,并考虑到u=x
x
1e(−2xe)+e(−2ex)2
整理可得:
x+2x−x=0
特征方程:
s+2s−1=0
s=−1+
2,s=−1−2
于是得:
x(t)=Ce+Ce
)=u=
λ(t③−2e①−2ex
λ(t)=−2e
(Cse
+Cse)
由x(0)=1,得:
C+C=1⑤
由λ(t)=λ
(1)=0得:
Cse
+Cse=0⑥
⑤、⑥联立,可得C、C
代回原方程可得x→u
(略)
习题5求使系统:
x=x,x=u
由初始状态x(0)=x(0)=0
出发,在t
=1时转移到目标集
1
x
(1)+x
(1)=1,并使性能指标J=∫
u(t)dt
2
为最小值的最优控制u(t)及相应的最优轨线x(t)。
解:
本题f(i),L(i)与习题3同,故H(i)相同→方程同→通解同
⎧λ=C,λ=−Ct+C
⎪
⎪x=1Ct−1Ct+Ct+C
⎨
有:
⎪
62
⎪x=1Ct−Ct+C
⎪2
⎪
⎩u=Ct−C
⎡0⎤
x(0)=⎢⎥
⎣0⎦
由,有:
C=C=0①
由x
(1)+x
(1)=1,有:
1C
–1C
+1C−C=1
62
2
2C−3C=1②
32
∂ϕ∂ψ
由λ
(1)=+⋅γ=0,ψ=x+x−1
∂x∂x
⎡1⎤
有:
λ
(1)=⎢⎥γ=0⇒λ
(1)=λ
(1)
⎢⎣1⎥⎦
于是:
C=−C+C
2C=C③
36
②、③联立,得:
C=-、C=-
77
于是:
u=−3t+6
77
x=−1t+3t
147
x=−3t+6t
147
习题6已知一阶系统:
x(t)=−x(t)+u(t),x(0)=3
(1)试确定最优控制u(t),使系统在t=2时转移到x
(2)=0,并使性
能泛函
∫
J=(1+u)dt=min
(2)如果使系统转移到x(t)=0的终端时间t自由,问u(t)应如何确定
解:
H=1+u+λu−λx
⎪
⎧x=−x+u
列方程:
⎨λ=λ
⎩
⎪2u+λ=0
由协态方程得:
λ=Ce①
1
由控制方程:
u
=−Ce②
2
①t
1
代入状态方程:
x=−x−Ce
2
=2,x
(2)=0
⇒x(t)=Ce
–
1Ce
4
⎧−1C=3
⎪4
⎨
⎪Ce−1Ce=0
⎩⎪4
12
解得:
C=,
e−1
3e
C=
e−1
代入②得:
u(t)=−
②x(t)=2,t自由
6e
e−1
⎧−1C=3
⎪4
⎪
⎪
Ce
–
1Ce=0
⎨
⎪
⎪H(t)=0
⎪
⎩
解得:
C=
40−6=
u(t)=−
习题7设系统状态方程及初始条件为
x(t)=u(t),x(0)=1
试确定最优控制u(t),使性能指标
1
∫
J=t+
2
udt
为极小,其中终端时间t未定,
x(t)=0。
解:
H=1u+λu
2
由协态方程得:
λ=0
→λ=C①
由控制方程:
u+λ=0
→u=−C②
由状态方程:
x=u=−C
⇒x(t)=−Ct+C③
由始端:
x(0)=1
→C=1
由末端:
x(t)=0
→−Ct+1=0④
∂ϕ
考虑到:
H(t)=−
t
–
∂ψ
t
⋅γ=−1
∂∂
1
有:
u+λu=−1
2
1C−C=−1⇒C=2
2
C=±2⑤
当C=
2时,代入④
有:
t
=1=1
C2
当C=−
2时,代入④
有:
t
=1=−1,不合题意,故有C=2
C2
最优控制
u=−2
习题8设系统状态方程及初始条件为
x(t)=x(t),x(0)=2
性能指标为
x(t)=u(t),
J=1∫udt
x(0)=1
2
要求达到x(t)=0,试求:
(1)t
=5时的最优控制u(t);
(2)t自由时的最优控制u(t);解:
本题f(i),L(i),H(i)与前同,故有
⎧
⎪λ=C
⎪
⎪λ=−Ct+C
⎪x=1Ct−1Ct+Ct+C
⎨
⎪
2
⎪x=1Ct−Ct+C
⎪2
⎪
⎪⎩u=Ct−C
⎡2⎤
⎡0⎤
⎪
⎧C=2
⎪C=1
⎪12525
①由x(0)=⎢⎥
x(5)=⎢0⎥,得:
⎨
C−
C+5C+C=0
⎣1⎦
⎣⎦⎪62
⎪25
C
−5C+C=0
⎪
⎩2
联立得:
C=,C=,
⇒u
=−
②t自由
⎧
⎪C=1
⎪
⎪C=2
⎪
1Ct−1Ct+Ct
+C=0
⎨
⎪
2
⎪1Ct−Ct
+C=0
⎪2
⎪
⎪⎩H(t)=0
联立有:
Ct−2Ct
+2=0,无论C为何值,t均无实解。
习题9给定二阶系统
x(t)=x(t)+1,x(0)=−1
44
1
x(t)=u(t),
1
x(0)=−
4
控制约束为u(t)≤,要求最优控制u(t),使系统在t=t
2
并使
时转移到x(t)=0,
其中t自由。
∫
J=u(t)dt=min
解:
H=u+λx
+1λ
+λu
4
⎧−1λλ≤1
⎪2
⎪
本题属最小能量问题,因此:
u(t)=⎪−1
λ>1
⎨
⎪
⎪1λ
<−1
⎪
⎩
⎧⎪λ=0→λ=C
由协态方程:
⎨
⎪⎩λ=−λ→λ=−Ct+C
λ是t的直线函数。
当u(t)=−1λ
=1Ct−1C
时(试取)
222
x(t)=1Ct−1Ct+C
4
2
x(t)=
1Ct−1Ct+1t+Ct+C
12
44
1
由始端条件→C=C=
4
由末端条件→
1Ct−1Ct
+1t
+1=0
12
4
24
1Ct−1Ct
+1=0
4
24
另:
H(t)=0
1
联立解得:
C=,C=0,t=3
9
于是,λ
1t⎧λ=1时,t<0
=−⎨
9⎩λ
=−1时,t=9
在t从0→3段,λ
≤1满足条件。
故,u
1λ=1t
218
1
01234t
习题10设二阶系统
x(t)=−x(t)+u(t),x(0)=1
x(t)=x(t),
x(0)=0
控制约束为u(t)≤1,当系统终端自由时,求最优控制u(t),使性能指标
J=2x
(1)+x
(1)
取极小值,并求最优轨线x(t)。
解:
由题意,f
⎡−x+u⎤
=,
ϕ=x
+x,
L=0,⇒
H=λu−λx
+λx
⎢⎥
⎣x⎦
⎨−1
由控制方程可得:
u=⎧+1
⎩
λ<0
λ>0
⎧λ
=λ−λ
⇒λ=Ce+C
由协态方程可得:
⎨
⎩λ=0
∂ϕ⎡2⎤
⇒λ=C
由λ(t
)==⎢⎥
⇒C=1,C
=e
∂x(t)
⎣1⎦
⎧λ=e+1→在t>0的围λ>1
⇒⎨
故:
u=−1
t∈[0,1]
⎩λ=1
若需计算最优轨线,只需把u=−1代入状态方程,可得:
⎧x(t)=2e−1
⎪
⎨
x(t)=−2e−t+2
⎩⎪
习题11设系统状态方程为
x(t)=x(t),x(0)=x
性能指标为J=1
2
x(t)=u(t),
(4x+u)dt
x(0)=x
试用调节器方法确定最优控制u(t)。
⎡01⎤
解:
由已知条件得:
A=⎢⎥
⎣00⎦
⎡0⎤
,B=⎢⎥,
⎣1⎦
⎡40⎤
Q=⎢⎥
⎣00⎦
,R=1
⎢10⎥
∵[BAB]=⎡01⎤
⎣⎦
∴可控——最优解存在
考虑到
Q=⎡40⎤=⎡2⎤[20]=DD,故
⎢00⎥⎢0⎥
⎣⎦⎣⎦
D=[20]
⎡D⎤⎡20⎤
∵⎢⎥=⎢⎥
⎣DA⎦⎣02⎦
∴闭环系统渐近稳定
由Riccati方程AP+PA−PBRBP+Q=0,有
⎡00⎤⎡P
P⎤+⎡P
P⎤⎡01⎤−⎡P
P⎤⎡0⎤[01]⎡P
P⎤+⎡40⎤=0
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣10⎦⎣P
P⎦⎣P
P⎦⎣00⎦
⎣P
P⎦⎣1⎦
⎣P
P⎦
⎣00⎦
⎧−P+4=0→P
=±2(取+2舍−2)
⎪
展开得:
⎨P−PP=0→P=±4(由正定舍−4)
⎪2P−P=0→P=2P
→P=±2
⎩
⎡42⎤
故P=⎢⎥
⎣22⎦
于是,u=−RBPx=−2x
–
2x
即:
u(t)=−2x(t)−2x(t)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最优 控制 习题 参考答案
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)