高一数学集体备课计划高一数学集体备课材料0.docx
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高一数学集体备课计划高一数学集体备课材料0
【高一数学集体备课计划】高一数学集体备课材料(3月2日)
高一数学集体备课材料(3月2日)
高一数学集体备课材料(3月2日)
主备人:
刘金明
2.1数列的概念及其简单表示
课时安排:
2课时
第一课时:
第1课时
●教学目标
知识与技能:
理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法:
通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力.情感态度与价值观:
通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣
●教学重点
数列及其有关概念,通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
通案:
Ⅰ.
观察这些例子,看它们有何共同特点?
(启发学生发现数列定义)
上述例子的共同特点是:
⑴均是一列数;⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
⒈数列的定义:
按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意:
⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.
⒉数列的项:
数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,?
,第n项,?
.例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式:
a1,a2,a3,?
an,?
,或简记为?
an?
,其中an是数列的第n项
1
结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义.②中,这是一个数列,它的首项是“1”,“3”是这个数列的第“3”项,下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?
这一关系可否用一个公式表示?
(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系:
1111
345项12
↓↓↓↓↓
序号12345
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:
an?
1
n来表示其对应关系
即:
只要依次用1,2,3?
代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子,练习找其对应关系
⒋数列的通项公式:
如果数列?
an?
的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意:
⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④;
1?
(?
1)n?
1
an?
2⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:
1,0,1,0,1,0,?
它的通项公式可以是,也可以是
an?
|cosn?
1?
|2.
⑶数列通项公式的作用:
①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第项,又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项.
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集n*(或它的有限子集{1,2,3,?
,n})为定义域的函数an?
f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来,对于函数y=f(x),如果f(i)(i=1、2、3、4?
)有意义,那么我们可以得到一个数列f
(1)、f
(2)、f(3)、f(4)?
,f(n),?
6.数列的分类:
1)根据数列项数的多少分:
有穷数列:
项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6。
是有穷数列
无穷数列:
项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6?
是无穷数列
2)根据数列项的大小分:
递增数列:
从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列:
从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列:
各项相等的数列。
摆动数列:
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
[范例讲解]例1根据下面数列?
an?
的通项公式,写出前5项:
(1)an?
n;
(2)an?
(?
1)n?
nn?
1
分析:
由通项公式定义可知,只要将通项公式中n依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5解:
(1)n?
1,2,3,4,5.a1?
12345;a2?
;a3?
;a4?
;a5?
;23456
(2)n?
1,2,3,4,5.a1?
1;a2?
2;a3?
?
3;a4?
4;a5?
?
5;2
例2写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
22?
132?
142?
152?
1;,;;345
(1)1,3,5,7;
(2)2
1111
(3)-1?
2,2?
3,-3?
4,4?
5.
解:
(1)项1=2×1-13=2×2-15=2×3-17=2×4-1
↓↓↓↓
序号1234
即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1,
∴它的一个通项公式是:
an?
2n?
1;
(2)序号:
1234
↓↓↓↓
项分母:
2=1+13=2+14=3+15=4+1
↓↓↓↓
项分子:
22-132-142-152-1
(n?
1)2nan?
n?
1;即这个数列的前4项的分母都是序号加上1,分子都是分母的平方减去1,∴它的一个通项公式是:
1334
?
?
?
?
1111?
?
?
?
(3)序号1?
22?
33?
44?
5
‖‖‖‖
(?
1)1
1111(?
1)2(?
1)3(?
1)21?
(1?
1)3?
(3?
1)2?
(2?
1)2?
(2?
1)
1
n(n?
1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是:
an?
(?
1)n
Ⅲ.课堂练习
课本[练习]3、4、5
[补充练习]:
根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:
246810
(1)3,5,9,17,33,?
?
;
(2)3,15,35,63,99,?
?
;
(3)0,1,0,1,0,1,?
?
;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,?
?
;
(5)2,-6,12,-20,30,-42,?
?
.
2n1?
(?
1)n
aaa2解:
(1)n=2n+1;
(2)n=(2n?
1)(2n?
1);(3)n=;
(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,?
?
1?
(?
1)n
a2∴n=n+;
(5)将数列变形为1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,?
?
,
∴an=(-1)n?
1n(n+1)
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容:
数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项,并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本习题2.1a组的第1题
学生学案:
【课前预习】
1、在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,?
中,x的值是
a、19B、20c、21d、22
2、观察下面数列的特点,用适当的数填空
111
(1),,,;4916
351733(2,,,,,。
241632
3.已知数列?
an?
,an?
kn?
5,且a8?
11,则a17?
.
4根据下列数列的前几项的值,写出它的一个通项公式。
(1)数列0.7,0.77,0.777,0.7777,?
的一个通项公式为.
(2)数列4,0,4,0,4,0,?
的一个通项公式为.
1524354863,,,,,?
25101726(3)数列的一个通项公式为.
5.已知数列
1c2?
an?
满足a1?
?
2,an?
1?
2?
2an1?
an,则a4?
.1
(1)1,25965,
(2)8643.29
2(n?
3)2?
171?
a?
(1?
n)nn2?
15.59104.
(1)an=;
(2)an=2+2·(-1)n+1(3)
【课内探究】
1展示三角形数、正方形数,提问:
这些数有什么规律?
与它所表示的图形的序号有什么关系?
(1)概括数列的概念:
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。
(2)辩析数列的概念:
“1,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一个数列吗?
与“1,3,2,4,5”呢?
给出首项与第n项的定义及数列的记法:
{an}
(3)数列的分类:
有穷数列与无穷数列;递增数列与递减数列,常数列。
3数列的表示方法
(1)函数y=7x+9与y=3x,当依次取1,2,3,?
时,其函数值构成的数列各有什么特点?
(2)定义数列{an}的通项公式
(3)数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式,利用一个数列的通项公式,你能确定这个数列的哪些方面的性质?
(4)用列表和图象等方法表示数列,数列的图象是一系列孤立的点。
4、例1写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,-1/2,1/3,-1/4;
(2)2,0,2,0.
【课后提高】
1.数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,?
的第100项是.
2.数列{an}中,a1=1,对于所有的n≥2,n∈n*都有a1·a2·a3·?
·an=n2,则a3+a5=.
81524
3.数列-1,5,-7,9,?
的一个通项公式是.
4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖块.(用含n的代数式表示)
1
5.若数列{an}的通项公式an=(n?
1),记f(n)=2(1-a1)(1-a2)?
(1-an),试通过计算f
(1),f
(2),f(3)的值,推测出f(n)=(用含n的代数式表示).
6.根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
246810
(1)3,15,35,63,99,?
1925
(2)2,2,2,8,2,?
2
(3)5,55,555,5555,55555,?
(4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,?
()(5)1,3,7,15,31,?
n个?
?
?
(3)联想99?
9=10n-1,
n个n个?
?
?
?
5?
?
?
5?
则an=55?
5=9(99?
9)=9(10n-1),
5
即an=9(10n-1).
(4)数列的各项都具有周期性,联想基本数列1,0,-1,0,?
,
n?
则an=5sin2.
(5)∵1=2-1,3=22-1,7=23-1,?
∴an=2n-1
故所求数列的通项公式为an=2n-1.
第2课时
●教学目标
知识与技能:
了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项;理解数列的前n项和与an的关系
过程与方法:
经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观:
通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
●通案:
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
通项公式法
如果数列
如数列
?
an?
的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
的通项公式为
的通项公式为
;;
的通项公式为
;
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图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数
为横坐标,相应的项
为纵坐标,即以
为坐
标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列
孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在
为例,做出一个数列的图象),所得的数列的图形是一群
轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到
数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
递推公式法
观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型.模型一:
自上而下:
第1层钢管数为4;即:
1?
4=1+3第2层钢管数为5;即:
2?
5=2+3第3层钢管数为6;即:
3?
6=3+3第4层钢管数为7;即:
4?
7=4+3第5层钢管数为8;即:
5?
8=5+3第6层钢管数为9;即:
6?
9=6+3第7层钢管数为10;即:
7?
10=7+3
若用
an表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且an?
n?
3(1≤n≤7)
们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?
(启发学生寻找规律)模型二:
上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
a?
6?
5?
1?
a2?
1
即a1?
4;a2?
5?
4?
1?
a1?
1;3
依此类推:
an?
an?
1?
1(2≤n≤7)
对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其他项,看来,这一关系也较为重要。
定义:
递推公式:
如果已知数列
?
an?
的第1项(或前几项)aa,且任一项n与它的前一项n?
1(或前n项)间的关系可以用一个公
式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列:
3,5,8,13,21,34,55,89递推公式为:
a1?
3,a2?
5,an?
an?
1?
an?
2(3?
n?
8)
数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表示法:
列表法,图象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:
用
次写出成为4、列表法
.简记为
[范例讲解]
.
表示第一项,用
表示第一项,?
?
,用
表示第
项,依
a1?
1?
?
1?
a?
1?
(n?
1).?
n
a?
?
an?
1例1设数列n满足?
写出这个数列的前五项。
解:
分析:
题中已给出
?
an?
的第1项即a1?
1,递推公式:
a
n?
1?
1
an?
1
a1?
1,a2?
1?
解:
据题意可知:
[补充例题]
112158?
2,a3?
1?
?
a4?
1?
?
a5?
a1a23,a335
a?
2an写出前5项,并猜想an.
例2已知a1?
2,n?
1
23n2
a?
2?
2?
2a?
2a?
2a?
2?
2?
23n法一:
12,观察可得
法二:
由
an?
1
an
?
2
?
2an∴an?
2an?
1即an?
1
anan?
1an?
2a?
?
?
?
?
?
2?
2n?
1aan?
2an?
3a1
∴n?
1
5.数列的前n项和:
数列
?
an?
中,a1?
a2?
a3?
?
?
an称为数列?
an?
的前n项和,记为Sn.
S1表示前1项之和:
S1=a1
S2表示前2项之和:
S2=a1?
a2
?
?
Sn?
1表示前n-1项之和:
Sn?
1=a1?
a2?
a3?
?
?
an?
1Sn表示前n项之和:
Sn=a1?
a2?
a3?
?
?
an.
∴当n≥1时3.由
Sn才有意义;当n-1≥1即n≥2时Sn?
1才有意义.
Sn与an之间的关系:
Sn的定义可知,当n=1时,S1=a1;当n≥2时,an=Sn-Sn?
1,
?
S1(n?
1)
?
S?
Sn?
1(n?
2)a即n=?
n.
说明:
数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.
三、例题讲解
例3已知数列
?
an?
的第1项是1,以后的各项由公式
an?
1?
1
an?
1给出,写出这个数列的前5分析:
题中已给出
?
an?
的第1项即a1?
1,递推公式:
a1?
1,a2?
1?
an?
1?
1an?
1
解:
据题意可知:
113?
2,a3?
1?
?
a1a22
a4?
1?
158
?
a5?
a335
例4已知数列解:
由已知得
?
an?
中,a1?
1,a2?
2,an?
3an?
1?
an?
2(n≥3)
,试写出数列的前4项
a1?
1,a2?
2,a3?
3a2?
a1?
7,a4?
3a3?
a2?
23
a?
2an写出前5项,并猜想an.
例5已知a1?
2,n?
1
23n2
a?
2?
2?
2a?
2a?
2a?
2?
2?
23n12法一:
,观察可得
法二:
由
an?
1
an
?
2
?
2an∴an?
2an?
1即an?
1
anan?
1an?
2a?
?
?
?
?
?
2?
2n?
1aan?
2an?
3a1
∴n?
1
n?
1n
a?
a?
2?
2n1∴
例6已知数列⑴
?
an?
的前n项和,求数列的通项公式:
Sn=n2+2n;⑵Sn=n2-2n-1.
解:
⑴①当n≥2时,
an=Sn-Sn?
1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1;
2
②当n=1时,a1=S1=1+2×1=3;③经检验,当n=1时,2n+1=2×1+1=3,∴
an=2n+1为所求.
an=Sn-Sn?
1=(n2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3;
2
⑵①当n≥2时,
②当n=1时,a1=S1=1-2×1-1=-2;③经检验,当n=1时,2n-3=2×1-3=-1≠-2,
?
?
2(n?
1)?
a2n?
3(n?
2)为所求.n∴=?
Ⅲ.课堂练习课本P36练习2Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容:
1.递推公式及其用法;
2.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.Ⅴ.课后作业
习题2。
1a组的第4、6题
学生学案:
【课前预习】
1.数列1,0,1,0,1,?
的一个通项公式是()
1?
?
?
1?
an?
2a.
2.已知
n?
1
1?
?
?
1?
an?
2B.
n?
1
c.
an
n
?
?
1?
?
1?
2
?
1?
?
?
1?
an?
2d.
n
an?
1?
an?
3?
0,则数列?
an?
是()中学学科网
a.递增数列B.递减数列c.常数列d.摆动数列
2
?
?
aa?
3n?
28n,则数列?
an?
各项中最小项是()3.数列n的通项公式为n
a.第4项B.第5项c.第6项d.第7项
2
a?
n?
8n?
15,则3()n4.已知数列的通项公式为
a.不是数列
?
an?
中的项B.只是数列?
an?
中的第2项?
an?
中的第6项d.是数列?
an?
中的第2项或第6项
c.只是数列
28,?
中,由给出的数之间的关系可知x的值是()中学学科网5.数列1,3,6,10,x,21
a.12B.15c.17d.18
6.下列说法正确的是()
1,3,5,7?
数列1,3,5,7可表示为?
数列1,0,?
1,?
2与数列?
2,?
1,0,1是相同的数列
?
n?
1?
11?
?
?
k数列?
n?
的第k项是
d.数列可以看做是一个定义域为正整数集n的函数
2
a?
7.数列{an}的前n项和Sn?
2n?
3n,则n。
*
1.B2.a3.B4.d5.B6.c7
an?
4n?
5
课内探究
1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式
aa
(1)a1=0,n?
1=n+(2n-1)(n∈n);2anaa?
2(n∈n);
(2)a1=1,n?
1=n
aa(3)a1=3,n?
1=3n-2(n∈n).
2aaa解:
(1)a1=0,a2=1,3=4,a4=9,5=16,∴n=(n-1);
1212222
?
?
aaa
(2)a1=1,a2=3,3=24,a4=5,5=36,∴n=n?
1;
012a(3)a1=3=1+2?
3,a2=7=1+2?
3,3=19=1+2?
3,
a4=55=1+2?
33,a5=163=1+2?
34,∴an=1+2·3n?
1;
2..已知下列各数列
(1)
?
an?
的前n项和Sn的公式,求?
an?
Sn=2n2-3n;
(2)Sn=3n-2.
解:
(1)a1=-1,
an=Sn-Sn?
1=2n2-3n-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,
又a1符合a1=4·1-5,∴
an=4n-5;
nn?
1n?
1aSS
(2)a1=1,n=n-n?
1=3-2-(3-2)=2·3,
?
1?
n?
1
a2?
3n?
∴=n?
1
n?
2
n?
1n
a?
a?
2?
2n1∴
课后提高
1.
则a.第六项B.第七项c.第八项d.第九项2.数列
{an}的前n项积为n2,那么当n?
2时,{an}的通项公式为
n2(n?
1)2
an?
an?
222(n?
1)a?
2n?
1a?
nnnna.B.c.d.
3、若一数列的前四项依次是2,0,2,0,则下列式子中,不能作为它的通项公式的是()。
(a)an=1-(-1)n(B)an=1+(-1)n+1
n?
(c)an=2sin22(d)an=(1-cosnπ)+(n-1)(n-2)
4.在数列
{an}中,an?
1?
an?
2?
an,a1?
2,a2?
5,则a6的值是
a.?
3B.?
11c.?
5d.19
31537,,,,,?
55.数列211717的一个通项公式是。
2{a}S?
2n?
3n,则an?
。
nn6.数列的前n项和
2{a}a?
a?
?
?
a?
2n?
3n?
1,则a4?
a5?
?
?
a10?
。
n12n7.数列满足
8.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,猜测第n个图中有___________个点.
。
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(1)
(2)(3)(4)(5)
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