新苏教版六年级数学上册知识点总结.docx
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新苏教版六年级数学上册知识点总结
新苏教版六年级数学上册知识点总结
(一)长方体和正方体长方体和正方体的特征:
长方体和正方体的表面积:
概念:
长方体或正方体6个面的总面积,叫做它们的表面积计算公式:
长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2或S表=(aXb+aXc+bxc)x2正方体表面积=棱长×棱长×6或S表=axax6=6a2
注:
不足6个面的实际问题根据具体情况计算,例如鱼缸、无盖纸盒等等。
体积(容积)单位进率换算:
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米
1m3=1000dm31dm3=1000cm3
1升=1000毫升1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1L=1000mL1dm3=1L1cm3=1mL长方体和正方体的体积(容积):
概念:
物体所占空间的大小叫做它们的体积(容器所能容纳其它物体的体积叫做它的容积)。
计算公式:
长方体体积公式=长×宽×高或V=axbxh正方体体积公式=棱长×棱长×棱长或V=axaxa=a3长方体和正方体的体积=底面积×高或VS底×h
(二)分数乘法
分数与整数相乘及实际问题:
1.分数与整数相乘:
用整数与分数的分子相乘的积作为分子,分数的分母作为分母,最后约分成最简分数。
或者先将整数与分数的分母进行约分,再应用前面计算法则。
注:
【任何整数都可以看作为分母是1的分数】2.求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算。
3.解题时可以根据表示几分之几的条件,确定单位1的量,想单位1的几分之几是哪个数量,找出数量关系式,再根据数量关系式列式解答。
分数与分数相乘及连乘:
1.分数与分数相乘:
用分子相乘的积作为分子,用分母相乘的积作为分母,最后约分成最简分数。
2.分数连乘:
通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算
3.一个数与比1小的数相乘,积小于原数;一个数与比1大的数相乘,积大于原数。
(一)分数乘法的意义:
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。
都是求几个相同加数的和的简便运算。
例如:
65×5表示求5个65的和是多少?
1/3×5表示求5个1/3的和是多少?
2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。
例如:
1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。
4×3/8表示求4的3/8是多少.
(二)、分数乘法的计算法则:
1、分数与整数相乘:
分子与整数相乘的积做分子,分母不变。
(整数和分母约分)
2、分数与分数相乘:
用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。
注意:
当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。
(尽量约分,不会约分的就不约,常考的质因数有11×11=121;13×13=169;17×17=289;19×19=361)
4、小数乘分数,可以先把小数化为分数,也可以把分数化成小数再计算(建议把小数化分数再计算)
(三)、乘法中比较大小的规律
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律:
a×b=b×a
乘法结合律:
(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:
(a+b)×c=ac+bc
二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法),即求单位“1”的几分之几是多少)
1、画线段图:
(1)两个量的关系:
画两条线段图,先画单位一的量,注意两条线段的左边要对齐。
(2)部分和整体的关系:
画一条线段图。
2、找单位“1”:
单位“1”在分率句中分率的前面;
或在“占”、“是”、“比”“相当于”的后面。
3、写数量关系式的技巧:
(1)“的”相当于“×”,“占”、“相当于”“是”、“比”是“=”
(2)分率前是“的”字:
用单位“1”的量×分率=具体量
例如:
甲数是20,甲数的1/3是多少?
列式是:
20×1/3
4、看分率前有没有多或少的问题;分率前是“多或少”的关系式:
(比少):
单位“1”的量×(1-分率)=具体量;
例如:
甲数是50,乙数比甲数少1/2,乙数是多少?
列式是:
50×(1-1/2)
(比多):
单位“1”的量×(1+分率)=具体量
例如:
小红有30元钱,小明比小红多3/5,小红有多少钱?
列式是:
50×(1+3/5)
3、求一个数的几倍是多少:
用一个数×几倍;
4、求一个数的几分之几是多少:
用一个数×几分之几。
5、求几个几分之几是多少:
用几分之几×个数
6、求已知一个部分量是总量的几分之几,求另一个部分量的方法:
(1)、单位“1”的量×(1-分率)=另一个部分量(建议用)
(2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量
三、倒数
1、倒数的意义:
乘积是1的两个数互为倒数。
强调:
互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。
(要说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:
交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数:
把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数:
把带分数化为假分数,再求倒数。
(4)、求小数的倒数:
把小数化为分数,再求倒数。
3、 1的倒数是1;因为1×1=1;0没有倒数,因为0乘任何数都得0,(分母不能为0)
4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
5、运用,a×2/3=b×1/4求a和b是多少。
把a×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒数和求1/4的倒数。
1、分数除法的意义:
乘法:
因数×因数=积
除法:
积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
例如:
1/2÷3/5意义是:
已知两个因数的积是1/2与其中一个因数3/5,求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则:
除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
3、分数除法比较大小时的规律:
(1)当除数大于1,商小于被除数;
(2)当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
(3)当除数等于1,商等于被除数。
“[]”叫做中括号。
一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
1,解法:
(1)方程:
根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
解:
设未知量为X(一定要解设),再列方程 用X×分率=具体量
例如:
公鸡有20只,是母鸡只数的1/3,母鸡有多少只。
(单位一是母鸡只数,单位一未知.)解:
设母鸡有X只。
列方程为:
X×1/3=20
(2)算术(用除法):
单位“1”的量未知用除法:
即已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。
分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
例如:
公鸡有20只,是母鸡只数的1/3,母鸡有多少只。
(单位一是母鸡只数,单位一未知,)用除法,列式是:
20÷1/3
2、看分率前有没有比多或比少的问题;
分率前是“多或少”的关系式:
(比少):
具体量÷(1-分率)=单位“1”的量;
例如:
桃树有50棵,比苹果树少1/6,苹果树有多少棵。
列式是:
50÷(1-1/6)
(比多):
具体量 ÷(1+分率)=单位“1”的量
例如:
一种商品现在是80元,比原价增加了1/7,原价多少?
列式是:
80÷(1+1/7)
3、求一个数是另一个数的几分之几是多少:
用一个数除以另一个数,结果写为分数形式。
例如:
男生有20人,女生有15人,女生人数占男生人数的几分之几。
列式是:
15÷20=15/20=3/4
4、求一个数比另一个数多几分之几的方法:
用两个数的相差量÷单位“1”的量=分数
即①求一个数比另一个数多几分之几:
用(大数–小数)÷另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为分数形式。
例如:
5比3多几分之几?
(5-3)÷3=2/3
②求一个数比另一个数少几分之几:
用(大数–小数)÷另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为分数形式。
例如:
3比5少几分之几?
(5-3)÷5=2/5
说明:
多几分之几不等于少几分之几,因为单位一不同。
5、工程问题:
把工作总量看作单位“1”,合做多长时间完成一项工程用1÷效率和,即1÷(1/时间+1/时间),(工作效率=1/时间)
例如:
一项工程甲单独做要5天完成,乙单独做要10天完成,甲单独做要3天完成,三人合做几天可以完成?
列式:
1÷(1/5+1/10+1/3)
(三)分数除法分数除法:
1.分数除法计算法则:
甲数除以乙数(不为0)等于甲数乘乙数的倒数。
2.分数连除或乘除混合计算:
可以从左向右依次计算,但一般是遇到除以一个数,把它改写成乘这个数的倒数来计算。
【转化成分数的连乘来计算】
3.除数大于1,商小于被除数;除数小于1,商大于被除数;除数等于1,商等于被除数。
4.分数除法的意义:
已知一个数的几分之几是多少,求这个数?
可以用列方程的方法来解,也可以直接用除法。
注:
在单位换算中,要弄清需要换算的单位之间的进率是多少比的认识:
1.比的意义:
比表示两个数相除的关系。
2.比与分数、除法的关系:
3.比值:
比的前项除以比的后项,所得的商就叫比值。
注:
比值是一个数,可以是整数、分数、小数,不带单位名称。
4.比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数(0除外),比值不变。
5.最简整数比:
比的前项和后项是互质数。
也就是比的前项和后项除了1意外没有其它公因数。
6.化简:
运用比的基本性质对比进行化简,方法:
先把比的前、后项变成整数,再除以它们的最大公因数。
注:
化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同,方法不同,结果不同】7.按比例分配问题:
将一个数量按照一定比例,分成几个部分,求每个部分是多少,这类问题称为按比例分配问题。
解决方法:
先求出总份数,再求各部分数占总数的几分之几,转化成分数乘法来计算。
(四)解决问题的策略
用“替换”策略解决实际问题:
问题:
小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯,正好都倒满,已知小杯的容量是大杯的1/3,小杯和大杯的容量各是多少毫升?
如果把720毫升果汁全部倒入小杯,需要(6+3)个小杯。
如果把720毫升果汁全部倒入大杯,需要(1+2)个大杯。
用“假设”策略解决实际问题:
问题:
在1个大盒和5个同样的小盒中装满球,正好是80个,每个大盒比每个小盒多装8个,大盒里装了多少个球?
小盒呢?
分析:
假设6个全是小盒?
球的总数比80小,把1个大盒换成小盒球的总数比80少8个?
小盒:
(80-8)÷6=12大盒:
12+8=20?
检验先假设?
再比较(与条件不符)?
进行调整?
得出结果?
检验
(五)分数四则混合运算分数四则混合运算的顺序:
分数四则混合运算的顺序与整数相同。
先算乘除法,后算加减法;有括号的先算括号里面的,后算括号外面的。
分数四则混合运算的运算律:
加法的交换律:
axb=bxa
加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)乘法的交换律:
a+b=b+a乘法的结合律:
(axb)xc=ax(bXc)乘法的分配律:
(a+b)xc=axc+bxc
稍复杂的分数乘法实际问题:
1.甲占(是)乙的几分之几
几分之几=甲÷乙;甲=乙×几分之几;乙=甲÷几分之几;2.甲占(是)总量的几分之几,求乙?
乙=总量-甲×几分之几
3.甲比乙多(增加、上升、提高)几分之几
几分之几=(甲-乙)÷乙;甲=乙×(1+几分之几);乙=甲÷(1+几分之几)4.乙比甲少(减少、下降、降低)几分之几
几分之几=(甲-乙)÷甲;甲=乙÷(1-几分之几);乙=甲×(1-几分之几)
(六)百分数
百分数的意义及读写:
1.百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫百分比或百分率。
2.百分数的读写:
百分数不写成分数形式,先写分子,再写百分号。
注:
百分数后面不带单位名称。
(常出现在判断题中)百分数与小数的互化:
百分数与分数的互化:
求一个数是另一个数的百分之几的实际问题:
公式:
(一个数÷另一个数)×100%生活中常见的一些百分率:
合格率=合格产品数÷产品总数×100%
出勤率=实际出勤人数÷应出勤人数×100%发芽率=发芽种子数÷试验种子总数×100%成活率=成活棵数÷种植总棵数×100%出油率=油的重量÷油料重量×100%命中率=命中次数÷总次数×100%及格率=及格人数÷参加考试人数×100%
纳税问题:
求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少,也就是把应该纳税部分的总收入乘以税率百分之几,就求出了应纳税额。
利息问题:
利息=本金×利率×存期
折扣问题:
折扣=实际售价÷原售价×100%
列方程解决稍复杂的百分数实际问题:
1.解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。
2.用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量,找出数量间的相等关系。
根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。
3.“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。
4.灵活运用本单元所学知识,解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间的联系。
一、百分数的意义和写法
(一)、百分数的意义:
表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。
(二)、百分数和分数的主要联系与区别:
联系:
都可以表示两个量的倍比关系。
区别:
①、意义不同:
百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;
分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法:
通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示,读作百分之。
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化:
1、小数化成百分数:
把小数点向右移动两位(数位不够用0补足),同时在后面添上百分号。
2.百分数化成小数:
把小数点向左移动两位(数位不够用0补足),同时去掉百分号。
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数:
先把百分数改写成分母是100的分数,能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数:
①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。
②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
(建议用这种方法)
(三)常见分数小数百分数之间的互化;
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法:
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数,结果写为百分数形式。
例如:
例如:
男生有20人,女生有15人,女生人数占男生人数的百分之几。
列式是:
15÷20=15/20=75﹪
3、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的问题,数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)百分率前是“的”:
单位“1”的量×百分率=百分率对应量
(2百分率前是“多或少”的数量关系:
单位“1”的量×(1±百分率)=百分率对应量
4、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”。
方法与分数的方法相同。
解法:
(1)方程:
根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法):
百分率对应量÷对应百分率=单位“1”的量
5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。
只是结果要写为百分数形式。
看百分率前有没有比多或比少的问题;
百分率前是“多或少”的关系式:
(比少):
具体量÷(1-百分率)=单位“1”的量;
例如:
大米有50千克,比面粉树少50﹪,面粉有多少千克。
列式是:
50÷(1-50﹪)
(比多):
具体量 ÷(1+百分率)=单位“1”的量
例如:
工人做110个零件,比原计划多做了10﹪,原计划做多少个?
列式是:
110÷(1+10﹪)
6、求一个数比另一个数多百分之几的方法:
方法与分数的方法相同。
用两个数的相差量÷单位“1”的量=百分之几
即①求一个数比另一个数多百分之几:
用(大数–小数)÷另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为百分数形式。
甲比乙多几分之几的问题,方法A,(甲-乙)÷乙(建议用)
方法B,甲÷乙-100﹪
例如:
老师计划改40本作业,实际改了50本,实际比计划多改了百分之几?
列式是:
(50-40)÷40=0.25=25﹪
②求一个数比另一个数少几分之几:
用(大数–小数)÷另一个数(比那个数就除以那个数),结果写为百分数形式。
乙比甲少几分之几的问题,方法A,(甲-乙)÷甲(建议用)
方法B,100﹪-乙÷甲
例如:
张三家用了100度电,李四家用了90度电,李四家比张三家少用百分之几?
(100-90)÷100=0.1=10﹪
说明:
多百分之几不等于少百分之几,因为单位一不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪,求乙比甲少或多百分之几,用a﹪÷(1±a﹪)
8、求价格先降a﹪又上升a﹪后的价格:
1×(1-a﹪)×(1+a﹪)(假设原来的价格为“1”。
求变化幅度(求降价后的价格是涨价后价格的百分之几)用1-降价后又上升的百分率。
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