四升五暑期数学思维拓展班资料.docx
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四升五暑期数学思维拓展班资料
说明
中小学学科奥林匹克竞赛(简称学科奥赛)是我国覆盖面最广、参加人数最多、影响最大的一项中小学生学科竞赛活动。
学科奥林匹是由体育奥林匹克借鉴、引申而来。
国际数学奥林匹克(简称IMO)、国际物理奥林匹克(简称IPHO)、国际化学奥林匹克(简称ICHO)等是国际上影响较大的中学生学科竞赛活动,每年都受到千百万青少年的向往与关注。
本教材的编写宗旨是:
第一:
高。
来源于教材,又高于教材。
第二:
准。
科学准确,结构合理。
第三:
新。
书中所选用的题型新颖独特,趣味性强。
第四:
精。
精选例题,难而不怪,灵活性强,高而可攀。
本教材各个年级分暑假和寒假两册,暑假12讲,寒假8讲。
以讲授为辅,引导为主的原则,让学生从分析中找到解题方法和技巧,层层引导,使得学生养成独立思考的习惯。
由于人力有限,在编排过程中难免出现一些疏漏之处,敬请家长朋友和每位学子批评指正。
最后祝每一位同学学习进步!
精诚培优小学组
第1讲植树问题……………………………………………1
第2讲速算与巧算…………………………………………5
第3讲乘法原理和加法原理………………………………9
第4讲还原法解题…………………………………………13
第5讲周期问题……………………………………………17
第6讲行程问题……………………………………………23
第7讲盈亏问题……………………………………………27
第8讲平均数………………………………………………30
第9讲用假设法解题………………………………………34
第10讲和倍与差倍问题……………………………………38
第11讲数字与页码…………………………………………42
第12讲定义新运算…………………………………………46
综合巩固训练……………………………………………………51
第一部分四年级课本知识复习与提高
第1讲植树问题
知识方法
在生活中经常会碰到植树类的问题,我们可以把这些生活中的植树问题转化成数学上的植树问题。
植树问题主要会有以下几种情形:
一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。
1、如果植树线路的两端都要植树,那么植树的棵数应比要分的段数多1,即:
棵数=段数+1。
2、如果植树线路只有一端都要植树,那么植树的棵数和要分的段数相等,即:
棵数=段数。
3、如果植树线路的两端都不植树,那么植树的棵数应比要分的段数少1,即:
棵数=段数-1。
二、在封闭线路上植树,棵数与段数相等,即:
棵数=段数。
三、在方形线路上植树,如果每个顶点都要植树,则棵数=(每边的棵数-1)×边数
重点点拨
【例1】在一条长600米的道路上植树,从头到尾每隔5米栽一棵树,一共可以栽多少棵树?
分析:
根据“从头到尾”可以知道是两端都要植树,再根据这一类型算出棵数。
【例2】一条马路边,从头开始每隔40米有一根电线杆,一辆汽车在一根电线杆旁开始行使,5分钟后刚好经过第60根电线杆(起点的那根电线杆不计在内)。
汽车每分钟行驶多少米?
分析:
要求汽车每分钟行驶多少米,需要先根据条件求出从第1根电线杆到第60根电线杆共有多少米。
【例3】从甲地到乙地原来有电线杆51根,每相邻两根之间的距离为12米。
现在要减少到41根,相邻两根之间的距离应是多少米?
分析:
先根据51根求出间隔数,再求出两地的距离,再根据距离和41根电线杆的间隔数求问题。
【例4】学校两栋楼之间相距50米,每隔5米栽一棵松树,两栋楼之间能栽多少棵松树?
分析:
可以把两棵树之间的距离看作一段,两栋楼之间的距离可以分成若干段。
【例5】一所小学的操场是长方形,在其周围共植树70棵,每两棵树之间的距离是5米,已知这个操场的长是100米,宽是多少米?
分析:
这道题可以看作封闭路线问题来解决。
【例6】为美化环境,市政府要修建一个周长为2400米的圆形花坛。
如果沿着这一圈每隔6米栽1株月季花,再在每相邻的2株月季花之间等距离地栽2株丁香花,可栽月季花多少株?
可栽丁香花多少株?
分析:
这道题同例5类似,也是可以看作封闭路线问题来解决。
培优高手
1、一条小路全长800米,要在路的一旁植树,从头到尾共植树51棵,每两棵树之间相距多少米?
2、一个人在马路上散步,从第一根电线杆走到第六根电线杆用了10分钟.这根人走了30分钟,他走过了多少电线杆?
3、在一个圆形鱼池的周围每隔9米种1棵柳树,一共种了40棵。
这个鱼池的周长是多少米?
4、车站停有10辆小公共汽车,每隔5分钟发一辆车,第一辆车开出后,再过多少分钟最后一辆车才能出发?
5、一条马路边,原来每隔30米有一根电线杆,共有112根,现在改成每隔37米有一根电线杆,这样可以节约多少根电线杆?
6、要把一根木头锯成5小段,每锯一小段要用15分。
李叔叔从上午8时10分开始锯,中间不休息,锯完时是几时几分?
7、一座桥全长168米,计划在桥的两侧栏杆上各安装16块广告牌,每块广告牌的横长为3米,靠近桥两头的广告牌距离桥端都是15米。
相邻两块广告牌之间相隔几米?
8、有一根180厘米长的绳子,从一端开始每隔3厘米作一记号,每隔4厘米也作一记号,然后将标有记号的地方剪断,绳子共被剪成了多少段?
9、在一个湖泊周围筑成周长是3060米的大堤,堤上每隔6米栽柳树1棵,然后在相邻的两棵柳树之间栽桃树2棵,大堤上栽柳树和桃树各多少棵?
10、一座挂钟,走到几点就敲几下,4点的时候,敲完4下,用了6秒,10点的时候敲完10下,要用多少秒?
11、在窗户框里装铁栏杆,如果每隔12厘米装一根,恰好能装11根,如果等距离地装8根,应相隔多少米?
12、有4根木料,每根都锯成6段,每锯开一处需付锯板费2元,全部锯完需付锯板费多少钱?
13、小红家所在的那座楼房,每上一层楼要走21个台阶,到小红空要走126个台阶,小红家住几楼?
14一个人到一幢十层大楼的第八层办事,不巧停电,电梯停开。
如果这个人从第一层走到第四层要48秒,那么,他以同样的速度从第四层走到第八层,需要多少秒?
家长签名:
第2讲速算与巧算
知识方法
我们已经学过了加法交换律、加法结合律以及乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律等运算定律,这些运算定律在学习中经常会用到,这就需要我们首先要掌握好这几个定律,在经常练习的基础上,巧妙的运用运算定律和性质,可以把较复杂的计算转化为简单的计算,使得计算正确而迅速。
要正确的速算和巧算,要做到以下几点:
1、要认真观察算式中数的特点,算式中运算符号的特点。
2、掌握基本的运算定律:
乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。
3、掌握速算与巧算的方法:
如等差数列求知、凑整、拆数等等。
重点点拨
【例1】计算:
598-65-35
分析:
正确运用减法的性质:
a-b-c=a-(b+c)
【例2】计算:
8×42×125
分析:
可以运用乘法交换律比较简便。
【例3】计算:
7800÷25÷4
分析:
正确运用除法的性质:
a÷b÷c=a÷(b×c)
【例4】计算:
85×27+85×74-85
分析:
这道题看起来有点复杂,因为它不是典型的乘法分配律的运用,但仔细观察,85可以看成85×1,这样就可以用乘法分配律进行简算了。
【例5】计算:
321321×789-789789×321
分析:
观察这个题,感觉无从下手。
如果我们把321321进行分解,就会发现其中的规律。
【例6】计算:
1999+999×999
分析:
这道题可以把1999拆成1000与999的和进行简算。
【例7】计算:
9999×2222+3333×3334
分析:
灵活运用乘法中的积不变性质将9999×2222变形就可以进行简算了。
培优高手
1、
(1)995-166-34
(2)698-(98+74)
2、4×9×25
3、
(1)360÷8÷5
(2)630÷35
4、
(1)125×103-375
(2)75×53+41×24
5、456×123123123-123×4564564566、19999+9999×9999
7、125×5×32×58、63630÷9÷7
9、7200÷25÷410、123×456÷789÷456×789÷123
11、9999×1111+3333×666712、999999×8÷111111
13、7777×3333÷111114、132×288÷(24×11)
家长签名:
第3讲乘法原理和加法原理
知识方法
在现实生活中,经常要将两种或两种以上的事物进行搭配。
如果完成一件工作有几种不同的方法,每种方法又有很多种不同的方法,而且这些方法彼此互斥,那么完成这件工作的方法总数就是等于各类完成这件工作的综合。
这种方法我们称之为加法原理,也叫分类计数原理。
如果完成一件工作有很多步骤,每个步骤中又有很多种不同的方法,那么完成这件工作的方法,就是把每一个步骤中的不同方法连乘起来。
这种方法我们称之为乘法原理,也叫分步计数原理。
重点点拨
【例1】某人到食堂去买饭,主食有三种,副食有五种,他主食和副食各买一种,共有多少种不同的买法?
分析:
买主食有3种不同的方法,买副食有5种不同的方法。
故可以由乘法原理解决。
【例2】书架上有6本不同的外语书,4本不同的语文书,5本不同的故事书。
从中任取外语书、语文书和故事书各一本,有多少种不同的取法?
分析:
要做的事情是从外语书、语文书和故事书中各取一本。
完成它要分三步:
即先取一本外语书(有6种取法),再取一本语文书(有4种取法),最后取一本故事书(有5种取法)(顺序不限制)所以,用乘法原理解决。
【例3】一个盒子里装有5个小球,另一个盒子里装有9个小球,所有这些小球的颜色各不相同。
(1)从两个盒子任取一个小球,有多少种不同的取法?
(2)从两个盒子里各取一个球,有多少种不同的取法?
分析:
(1)从两个盒子任取一个小球,是两大类不同的方法,所以用加法原理。
(2)从两个盒子里各取一个球,是分两个步骤进行,所以用乘法原理。
【例4】由数字0、1、2、3组成三位数,问:
①可组成多少个不相等的三位数?
②可组成多少个没有重复数字的三位数?
分析:
①要求组成不相等的三位数.所以,数字可以重复使用。
②要求组成的三位数中没有重复数字,百位上,不能取0,有3种不同的取法;十位上,由于百位已在1、2、3中取走一个,故只剩下0和其余两个数字,故有3种取法;个位上,由于百位和十位已各取走一个数字,故只能在剩下的两个数字中取,有2种取法,由乘法原理可求得。
【例5】右图中共有16个方格,要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里,并使每行每列只能出现一个棋子。
问:
共有多少种不同的放法?
分析:
由于四个棋子要一个一个地放入方格内。
故可看成是分四步完成这件事。
第一步放棋子A,A可以放在16个方格中的任意一个中,故有16种不同的放法;第二步放棋子B,由于A已放定,那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B,故还剩下9个方格可以放B,B有9种放法;第三步放C,再去掉B所在的行和列的方格,还剩下四个方格可以放C,C有4种放法;最后一步放D,再去掉C所在的行和列的方格,只剩下一个方格可以放D,D有1种放法。
本题要由乘法原理解决。
【例6】如右图,从甲地到乙地有4条路可走,从乙地到丙地有2条路可走,从甲地到丙地有3条路可走。
那么,从甲地到丙地共有多少种走法?
分析:
从甲地到丙地共有两大类不同的走法。
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