全程复习方略学年高中数学人教A版选修21课时作业 112四种命题.docx

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全程复习方略学年高中数学人教A版选修21课时作业112四种命题

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课时提升作业

（二）

四种命题

（30分钟　50分）

一、选择题（每小题3分,共18分）

1.（2014·长春高二检测）命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是（　　）

A.若a∉A,则b∉B　　　　B.若a∈A,则b∉B

C.若b∈B,则a∉AD.若b∉B,则a∉A

【解析】选B.命题“若p,则q”的否命题是“若

p,则

q”,“∈”与“∉”互为否定形式.

2.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是（　　）

A.邻补角不互补

B.互补的两个角是邻补角

C.不是邻补角的两个角不互补

D.不互补的两个角不是邻补角

【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.

【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.

【变式训练】“△ABC中,若∠C=90°,则∠B,∠A全是锐角”的否命题为（　　）

A.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角

B.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角

C.△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角

D.以上均不对

【解析】选B.否命题条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B.

【误区警示】解答本题易出现选A的错误,导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”.

3.（2014·烟台高二检测）下列命题中为真命题的是（　　）

A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题

B.命题“x>1,则x2>1”的否命题

C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题

D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题

【解析】选A.对于A:

逆命题为若x>|y|,则x>y,真命题.

对于B:

否命题为若x≤1,则x2≤1,显然此命题为假,比如x=-2命题不成立.

对于C:

否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,此命题是假命题,如x=-2命题不成立.

对于D:

逆否命题为:

若x≤1,则x2≤0,显然此命题是假命题,故选A.

4.关于命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的叙述正确的是（　　）

A.命题的逆命题为真命题

B.命题的否命题为真命题

C.命题的逆否命题为真命题

D.以上都正确

【解析】选C.命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的逆命题为“若a≠b,则|a|≠|b|”,是假命题.

命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的否命题为“若|a|=|b|,则a=b”,是假命题.

命题“若|a|≠|b|,则a≠b”的逆否命题为“若a=b,则|a|=|b|”,是真命题.

5.命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题是（　　）

A.若x=y=0,则x2+y2≠0

B.若x,y都不为0,则x2+y2≠0

C.若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0

D.若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2=0

【解析】选C.将“x=y=0”否定得“x,y中至少有一个不为0”,故原命题的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0”,故选C

【误区警示】解答本题易出现选B的错误,导致出现这类错误的原因是对“x,y全为0”的否定搞不清楚所致.事实上,x,y全为0的否定为x,y中至少有一个不为0.

6.命题“若α=

则tanα=1”的逆否命题是（　　）

A.若α≠

则tanα≠1B.若α=

则tanα≠1

C.若tanα≠1,则α≠

D.若tanα≠1,则α=

【解题指南】由逆否命题的概念知,否定原命题的条件,“α≠

”作结论;否定原命题的结论,“tanα≠1”作条件.

【解析】选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠

”,故选C.

二、填空题（每小题4分,共12分）

7.（2014·九江高二检测）原命题:

“设a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个数是　　　　　　　.

【解析】逆命题:

若ac2>bc2,则a>b,真命题.

否命题:

若a≤b,则ac2≤bc2,真命题.

逆否命题:

若ac2≤bc2,则a≤b,假命题.

答案:

2

8.（2014·天津高二检测）请写出命题“若a+b=2,则a2+b2≥2”的否命题:

　　　　　　　　.

【解析】根据否命题的形式,原命题的否命题为“若a+b≠2,则a2+b2<2”.

答案:

若a+b≠2,则a2+b2<2

9.“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题是　　　命题（填真、假）.

【解析】命题“不是等差数列的数列不是常数列”的逆否命题为“常数列是等差数列”,是真命题.

答案:

真

三、解答题（每小题10分,共20分）

10.（2014·武汉高二检测）设命题p:

若m<0,则关于x的方程x2+x+m=0（m∈R）有实根.

（1）写出命题p的逆命题、否命题、逆否命题.

（2）判断命题p及其逆命题、否命题、逆否命题的真假.（直接写出结论）

【解析】

（1）p的逆命题:

若关于x的方程x2+x+m=0（m∈R）有实根,则m<0.

p的否命题:

若m≥0,则关于x的方程x2+x+m=0（m∈R）无实根.

p的逆否命题:

若关于x的方程x2+x+m=0（m∈R）无实根,则m≥0.

（2）命题p及其逆否命题是真命题,命题p的逆命题和否命题是假命题.

11.判断下列命题的真假:

（1）“若x∈A∪B,则x∈B”的逆命题与逆否命题.

（2）“若自然数能被6整除,则自然数能被2整除”的逆命题.

【解析】

（1）逆命题:

若x∈B,则x∈A∪B.根据集合“并”的定义,逆命题为真.逆否命题:

若x∉B,则x∉A∪B.逆否命题为假.如2∉{1,5}=B,A={2,3},但2∈A∪B.

（2）逆命题:

若自然数能被2整除,则自然数能被6整除.逆命题为假.反例:

2,4,14,22等都不能被6整除.

（30分钟　50分）

一、选择题（每小题4分,共16分）

1.（2014·重庆高二检测）已知直线l1:

x+ay+1=0,直线l2:

ax+y+2=0,则命题“若a=1或a=-1,则直线l1与l2平行”的否命题为（　　）

A.若a≠1且a≠-1,则直线l1与l2不平行

B.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2不平行

C.若a=1或a=-1,则直线l1与l2不平行

D.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2平行

【解析】选A.命题“若A,则B”的否命题为“若

A,则

B”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,所以选A.

【举一反三】若本题中条件不变,则原命题的逆命题是　　　　　　.

【解析】将原命题中,条件与结论交换即可.即逆命题为“若直线l1与l2平行,则a=1或a=-1”.

答案:

若直线l1与l2平行,则a=1或a=-1

2.下列四个命题:

①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;

②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;

③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;

④“同位角相等”的逆命题.

其中真命题的个数是（　　）

A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3

【解析】选B.①否命题:

若x+y≠0,则x,y不互为相反数,真命题.②逆否命题:

若a2≤b2,则a≤b,假命题.③否命题:

若x>-3,则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:

相等的两个角是同位角,假命题.

3.给出命题:

若函数y=f（x）是幂函数,则函数y=f（x）的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是（　　）

A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0

【解析】选C.逆命题与否命题错误,逆否命题正确,故选C.

4.命题“若-1

A.若x≥1或x≤-1,则x2≥1

B.若x2<1,则-1

C.若x2>1,则x>1或x<-1

D.若x2≥1,则x≥1或x≤-1

【解析】选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若

q,则

p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”.

二、填空题（每小题5分,共10分）

5.（2014·广州高二检测）下列四个命题中:

①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题;

②“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;

③“全等三角形的面积相等”的否命题;

④“若ab≠0,则a≠0”的否命题.

其中真命题的序号是　　　　　.

【解析】①逆命题为“若一个三角形的三内角均为60°,则这个三角形为等边三角形”,是真命题;②Δ=4+4k,当k>0时,Δ>0,所以原命题为真命题,其逆否命题是真命题;③不全等的两个三角形面积也有可能相等,所以③是假命题;④否命题为“若ab=0,则a=0”,是假命题.

综上可知,真命题是①②.

答案:

①②

【变式训练】有下列四个命题,其中真命题是　__________.

①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题;④“若A∪B=B,则A⊇B”的逆否命题.

【解析】①逆命题是:

“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;②逆命题是:

“若两三角形的周长相等,则它们相似”,是假命题,所以原命题的否命题也是假命题;③由b≤0得Δ=4b2-4（b2+b）≥0,所以③是真命题,其逆否命题也是真命题;④若A∪B=B,则A⊆B,所以原命题是假命题,其逆否命题也是假命题,所以④是假命题.综上可知①③为真命题.

答案:

①③

6.（2014·成都高二检测）给出下列三个命题:

①若x2-3x+2=0,则x=1或x=2;

②若-2≤x<3,则（x+2）（x-3）≤0;

③若x,y∈N+,x+y是奇数,则x,y中一个是奇数,一个是偶数,其中逆命题为真命题是　　　　.

【解析】①③逆命题为真,②逆命题为假.

答案:

①③

三、解答题（每小题12分,共24分）

7.写出命题:

若x+y=5,则x=3且y=2的逆命题、否命题与逆否命题,并判断它们的真假.

【解析】逆命题:

若x=3且y=2,则x+y=5,是真命题.

否命题:

若x+y≠5,则x≠3或y≠2,是真命题.

逆否命题:

若x≠3或y≠2,则x+y≠5,是假命题.

【变式训练】写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.

（1）实数的平方是非负数.

（2）等底等高的两个三角形是全等三角形.

（3）弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.

【解析】

（1）逆命题:

若一个数的平方是非负数,则这个数是实数,真命题.

否命题:

若一个数不是实数,则它的平方不是非负数,真命题.

逆否命题:

若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数,真命题.

（2）逆命题:

若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高,真命题.

否命题:

若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等,真命题.

逆否命题:

若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高,假命题.

（3）逆命题:

若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线,真命题.

否命题:

若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧,真命题.

逆否命题:

若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.

8.（2014·苏州高二检测）在公比为q的等比数列{an}中,前n项的和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am,am+2,am+1成等差数列.

（1）写出这个命题的逆命题.

（2）判断公比q为何值时,逆命题为真?

公比q为何值时,逆命题为假?

【解题指南】解答本题首先需根据逆命题的概念正确写出逆命题,然后根据等差数列的性质判断何时为真命题,何时为假命题.

【解析】

（1）逆命题:

在公比为q的等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am,am+2,am+1成等差数列,则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.

（2）由{an}为等比数列,所以an≠0,q≠0.

由am,am+2,am+1成等差数列,得2am+2=am+am+1,

所以2am·q2=am+am·q,所以2q2-q-1=0.

解得q=-

或q=1.

当q=1时,an=a1（n=1,2,…）,

所以Sm+2=（m+2）a1,Sm=ma1,Sm+1=（m+1）a1,

因为2（m+2）a1≠ma1+（m+1）a1,

即2Sm+2≠Sm+Sm+1,

所以Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列.

即q=1时,原命题的逆命题为假命题.

当q=-

时,2Sm+2=2·

Sm+1=

Sm=

所以2Sm+2=Sm+1+Sm,

所以Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.

即q=-

时,原命题的逆命题为真命题.

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