届高三第三次全国大联考山东卷理数卷解析版.docx
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届高三第三次全国大联考山东卷理数卷解析版
【学易大联考】2016年第三次全国大联考【山东卷】
理科数学试卷
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:
本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,且,,则等于()
A.B.C. D.
【命题意图】本题考查集合的运算、不等式的解法、函数的定义域等基础知识,意在考查学生的基本运算能力.
【答案】C.
【解析】集合所以,集合所以,故选C.
2.已知复数满足(i是虚数单位),则在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【命题意图】本题主要考查复数的基本运算以及共轭复数的概念等基础知识,意在考查学生的基本运算能力.
【答案】D
【解析】由已知可得,所以,故选D.
3.设随机变量服从正态分布,且,则=()
A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585
【命题意图】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,本题解题的关键是确定正态曲线的对称轴,根据对称性求解.
【答案】B.
【解析】因为服从正态分布,则,所以.
4.在底面半径为1,高为2的圆柱内随机取一点,则点到圆柱下底面的圆心的距离大于1的概率为()
A.B.C.D.
【命题意图】本题主要考查旋转体的体积和几何概型的概率问题,考查学生的空间想象能力和基本计算能力.
【答案】C
【解析】由题意,得该圆柱的体积,到圆柱下底面圆心的距离为1的几何体是半球,其体积为,由几何概型的概率公式,得点到圆柱下底面的圆心的距离大于1的概率为.
5.已知关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
【命题意图】本题考查含绝对值不等式的求解方法,考查数形结合的思想和运算求解能力.
【答案】D.
【解析】因为,要使的解集为,需,解得,故选D.
6.已知,为的导函数,则的图象是()
【命题意图】本题主要考查诱导公式、基本初等函数的求导法则、函数的图象等知识.
【答案】A.
【解析】,,显然为奇函数,排除B、D,而选项A、C一个很明显的差异是当取比0小一点的数时,一个函数值为正,一个函数值为负,可取一个特殊值进行验证,比如,故选A.
7.已知一水平放置的长方体,其三条相邻的棱的长度分别为1,1,2,则该长方体的正视图的面积不可能等于( )
A.B.C.D.
【命题意图】本题主要考查空间几何体的三视图以及长方体放置方式不同时得到的不同的正视图的面积的求解,考查空间想象能力和基本运算能力等.
【答案】D.
【解析】对于水平放置的长方体来说,当长方体的侧面朝向正前方时时,正视图的面积最小,当长方体的对角面朝向正前方时时,正视图的面积最大.若长方体的长、宽、高分别为1,1,2,则正视图面积的最小值为2,最大值为;若长方体的长、宽、高分别为2,1,1,则正视图面积的最小值为1,最大值为.由于长方体放置的方式不同,得到的正视图的面积也不一样,因此它的取值范围是,故选D.
8.等腰直角三角形中,,在双曲线的同一支上,且线段通过双曲线的一个焦点,为双曲线的另一个焦点,则该双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
【命题意图】本题主要考查双曲线的定义的应用,考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力.
【答案】B
【解析】设,由等腰三角形和双曲线的定义,得,,,则,则,在中,,则,即,即,则该双曲线的离心率为,故选B.
9.已知变量满足,若目标函数的最大值为9,则的最小值为()
A.1B.2C.10D.12
【命题意图】本题主要考查简单的线性规划中的最优解与应用基本不等式求最值问题,考查数形结合的数学思想与运算求解的能力等.
【答案】B.
【解析】画出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示,即△区域,将目标函数变形得,由得,由图可知,当目标函数对应的直线经过点时,取得最大值.由,解得.所以目标函数的最大值为.则,当且仅当时取等号,即的最小值为2.故选B.
10.若函数图象上存在不同的两点A、B关于轴对称,则称点对是函数的一对“和谐点对”(注:
点对与可看作同一对“和谐点对”),已知函数,则此函数的“和谐点对”有()
A.0对B.1对C.2对D.3对
【命题意图】本题主要考查学生对新定义的理解以及函数的零点问题,考查数形结合的数学思想.
【答案】C.
【解析】根据题意得函数的“和谐点对”的个数是函数的图象与函数的图象在同一直角坐标系中的交点个数,函数的图象与函数的图象如右图所示,所以“和谐点对”有2对,故选C.
第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题(每题5分,满分25分,将答案填在答题纸上)
11.某校高三
(二)班某次数学的测试成绩(单位:
分)的频率分布直方图如图所示,据此估计该班学生数学测试成绩的中位数为.(保留两位小数)
【命题意图】本题主要考查频率分布直方图的相关知识,并综合考查学生的运算求解能力.
【答案】77.14.
【解析】在频率分布直方图中小矩形的面积和为1,所以,所以,因为,,所以设中位数为,且,解得,则该班学生数学测试成绩的中位数是.
12.运行如右图所示的程序框图,则输出的结果S为.
【命题意图】本题考查了循环结构的程序框图,根据程序框图判断程序终止运行时的值是解答本题的关键.
【答案】.
【解析】观察框图可知程序运行的功能是求,根据程序框图判断程序终止运行时的值,利用并项求和求得S.由框图可知最终取到2015,所以.
13.设,若,则
.
【命题意图】本题考查二项式定理的有关概念及定积分的计算,考查运算求解能力.
【答案】0.
【解析】由题意得,所以,由得当时,而,所以.
14.已知直线与直线都与圆C相交,且它们与圆C相交所得的弦长均为8,
则圆C的面积是
【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系,涉及两直线间的距离公式.
【答案】.
【解析】因为已知的两条直线平行且与圆C相交所得的弦长均为8,所以圆心到直线的距离d为两直线间距离的一半,即,又因为直线与圆C相交所得的弦长为8,所以由勾股定理得圆C的半径为5,所以圆C的面积是.
15.给出下列四个命题:
①若,则;
②若为锐角,,,则;
③对于命题,使得,则,均有;
④对于任意实数,有,,且时,,,则时.
其中正确的命题是.
【命题意图】本题是一个判断命题真假的题目,综合考查不等式、三角恒等变换、导数与函数的性质、双曲线的几何性质.
【答案】③④.
【解析】若,且得一定成立,故①正确;由已知条件,由为锐角且得,所以,故正确;对于命题,使得,则,均有,故正确;由对于任意实数x,有,,得函数为奇函数,函数为偶函数,根据奇函数在对称区间上单调性相同,偶函数在对称区间上单调性相反,故④正确.
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分12分)已知,且.
()将表示为的函数,若记此函数为,求的单调递增区间;
(Ⅱ)已知分别为的三个内角对应的边长,若,且,求的面积.
【命题意图】本题主要考查向量的数量积运算、三角函数的单调性以及余弦定理、三角形面积公式等,考查转化与化归的数学思想以及基本的运算能力等.
【解析】()由得,……………………(2分)
所以………(4分)
由得,
即函数的单调递增区间为.………………(6分)
(Ⅱ),即,,
又,,………………………(8分)
由余弦定理得,即,
,又,,……………(10分)
.……………………(12分)
17.如图,三棱柱中,平面,,,、分别是线段、的中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【命题意图】本题考查线面平行的判断、二面角的求法等基本知识,考查空间向量的应用,考查空间想象能力以及推理能力.
【解析】(Ⅰ)连接,交于,连接、,
四边形为平行四边形,为线段的中点.
为的中点,.……………………….(1分)
为的中点,,,.……………………(2分)
四边形为平行四边形,∥.……………………….(3分)
平面,平面,∥平面.…………………….(5分)
(Ⅱ)平面,∥,平面.
又,平面,,.
又,∴以为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.………….(6分)
则,,,,.………….(7分)
设平面的一个法向量为,则,即,,
令,得,.……………………………….(9分)
又平面的一个法向量为,……………………………….(10分)
.……………………………….(11分)
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………………………….(12分)
18.(本小题满分12分)2016年3月全国两会在北京召开,为庆祝这一盛事,某市拟开展“我与两会”涉及“十三五规划”的知识竞赛活动.某学校首先进行了选拔赛,选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率都为,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(I)求该同学被淘汰的概率;
(II)该同学在选拔中回答问题的个数记为,求随机变量的分布列与数学期望.
【命题意图】本题考查相互独立事件的概率、随机变量的分布列与数学期望等知识点,考查分析问题、解决问题的能力.
【解析】
(Ⅰ)记“该同学能正确回答第轮的问题”的事件为,
则,………………(3分)
∴该同学被淘汰的概率
.………………(6分)
(Ⅱ)的可能值为1,2,3,,,.…………………(8分)
∴的分布列为:
……………………(10分)
∴.……………………(12分)
19.(本小题满分12分)数列满足,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,为的前项和,证明:
当时,.
【命题意图】本题考查等比数列、等差数列、数列求和等基础知识,考查分类讨论思想、数学归纳法以及运算能力和推理能力.
【解析】(Ⅰ)由已知可得:
当为奇数时,为等差数列;当为偶数时,为等比数列.….1分
所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,因此.
数列是首项为2,公比为2的等比数列,因此.………….3分
故数列的通项公式为.………….4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,①,
②,………….7分
两式相减得,
,
所以.………….8分
要证明当时,成立,只需证明当时,成立.
令,则,………….10分
所以当时,.因此当时,.
于是当时,.
综上所述,当时,.………….12分
20.(本小题满分13分)已知椭圆:
的一个焦点与抛物线的焦点相同,为椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,若的面积最大值为1.
()求椭圆的方程;
(Ⅱ)设不过原点的直线:
与椭圆交于两点,
①若直线与的斜率分别为且,求证:
直线过定点,并求出该定点的坐标;
若直线的斜率是直线斜率的等比中项,求面积的取值范围.
【命题意图】本题考查椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查直线与椭圆的位置关系问题以及范围问题等,考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.
【解析】()由抛物线的方程为得其焦点坐标为,所以可得椭圆中.……….1分
当点位于椭圆的短轴顶点时,的面积最大,此时,所以.….3分
又由得,所以椭圆的方程为..………….4分
(Ⅱ)由消去y得,.………….5分
,即
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