届高考数学总复习教学案双曲线.docx
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届高考数学总复习教学案双曲线
双_曲_线
[知识能否忆起]
1.双曲线的定义
平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
-
=1(a>0,b>0)
-
=1(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a
y≤-a或y≥a
对称性
对称轴:
坐标轴对称中心:
原点
对称轴:
坐标轴对称中心:
原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线
y=±
x
y=±
x
离心率
e=
,e∈(1,+∞),其中c=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为
a、b、c的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选C ∵双曲线方程可化为x2-
=1,
∴a2=1,b2=
.∴c2=a2+b2=
,c=
.
∴左焦点坐标为
.
2.(教材习题改编)若双曲线
-y2=1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为( )
A.
B.
C.
D.2
解析:
选C 依题意得a2+1=4,a2=3,
故e=
=
=
.
3.设F1,F2是双曲线x2-
=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.4
B.8
C.24D.48
解析:
选C 由P是双曲线上的一点和3|PF1|=4|PF2|可知,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6.又|F1F2|=2c=10,所以△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的面积S=
×6×8=24.
4.双曲线
-y2=1(a>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为________________.
解析:
由题意知
=
=2,解得a=
,故该双曲线的渐近线方程是
x±y=0,即y=±
x.
答案:
y=±
x
5.已知F1(0,-5),F2(0,5),一曲线上任意一点M满足|MF1|-|MF2|=8,若该曲线的一条渐近线的斜率为k,该曲线的离心率为e,则|k|·e=________.
解析:
根据双曲线的定义可知,该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支,
∵c=5,a=4,∴b=3,e=
=
,|k|=
.
∴|k|·e=
×
=
.
答案:
1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.双曲线的离心率e>1;椭圆的离心率e∈(0,1).
2.渐近线与离心率:
-
=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为
=
=
=
.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.
[注意] 当a>b>0时,双曲线的离心率满足1 ; 当a=b>0时,e= (亦称为等轴双曲线); 当b>a>0时,e> . 3.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如: 当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点. 双曲线的定义及标准方程 典题导入 [例1] (1)(·湖南高考)已知双曲线C: - =1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1D. - =1 (2)(·辽宁高考)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________. [自主解答] (1)∵ - =1的焦距为10, ∴c=5= .① 又双曲线渐近线方程为y=± x,且P(2,1)在渐近线上,∴ =1,即a=2b.② 由①②解得a=2 ,b= . (2)不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF1⊥PF2, 所以(2 )2=|PF1|2+|PF2|2, 又因为|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|·|PF2|=4, 则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2 . [答案] (1)A (2)2 由题悟法 1.应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支. 2.双曲线方程的求法 (1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0). (2)与双曲线 - =1有共同渐近线的双曲线方程可设为 - =λ(λ≠0). (3)若已知渐近线方程为mx+ny=0,则双曲线方程可设为m2x2-n2y2=λ(λ≠0). 以题试法 1.(·大连模拟)设P是双曲线 - =1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=( ) A.1B.17 C.1或17D.以上答案均不对 解析: 选B 由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又∵|PF1|=9,∴|PF2|=1或17,但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17. 双曲线的几何性质 典题导入 [例2] (·浙江高考)如图,F1,F2分别是双曲线C: - =1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是( ) A. B. C. D. [自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0). ∵B(0,b),∴F1B所在的直线为- + =1.① 双曲线渐近线为y=± x, 由 得Q . 由 得P , ∴PQ的中点坐标为 . 由a2+b2=c2得,PQ的中点坐标可化为 . 直线F1B的斜率为k= , ∴PQ的垂直平分线为y- =- . 令y=0,得x= +c, ∴M ,∴|F2M|= . 由|MF2|=|F1F2|得 = =2c, 即3a2=2c2,∴e2= ,∴e= . [答案] B 若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α,且 <α< ”,求双曲线的离心率的取值范围. 解: 根据题意知1< < , 即1< < .所以 <e<2. 即离心率的取值范围为( ,2). 由题悟法 1.已知渐近线方程y=mx,求离心率时,若焦点位置不确定时,m= (m>0)或m= ,故离心率有两种可能. 2.解决与双曲线几何性质相关的问题时,要注意数形结合思想的应用. 以题试法 2. (1)(·福建高考)已知双曲线 - =1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( ) A. B. C. D. 解析: 选C 由题意知c=3,故a2+5=9,解得a=2,故该双曲线的离心率e= = . (2)(·大同模拟)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=± xB.y=± x C.y=± xD.y=± x 解析: 选B 设点P(m,n),依题意得,点F(2,0),由点P在抛物线y2=8x上,且|PF|=5得 由此解得m=3,n2=24.于是有 由此解得a2=1,b2=3,该双曲线的渐近线方程为y=± x=± x. 直线与双曲线的位置关系 典题导入 [例3] (·南昌模拟) 已知双曲线 - =1(b>a>0),O为坐标原点,离心率e=2,点M( , )在双曲线上. (1)求双曲线的方程; (2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且 · =0.求 + 的值. [自主解答] (1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2, 双曲线方程为 - =1,即3x2-y2=3a2. ∵点M( , )在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4. ∴所求双曲线的方程为 - =1. (2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),联立 - =1,得 ∴|OP|2=x2+y2= . 则OQ的方程为y=- x, 同理有|OQ|2= = , ∴ + = = = . 由题悟法 1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程.利用根与系数的关系,整体代入. 2.与中点有关的问题常用点差法. [注意] 根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系. 以题试法 3.(·长春模拟)F1,F2分别为双曲线 - =1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,满足| |=3| |,则此双曲线的渐近线方程为________________. 解析: 由双曲线的性质可得| |=b,则| |=3b.在△MF1O中,| |=a,| |=c,cos∠F1OM=- ,由余弦定理可知 =- ,又c2=a2+b2,所以a2=2b2,即 = ,故此双曲线的渐近线方程为y=± x. 答案: y=± x 1.(·唐山模拟)已知双曲线的渐近线为y=± x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( ) A. - =1 B. - =1 C. - =1D. - =1 解析: 选A 由题意可设双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),由已知条件可得 即 解得 故双曲线方程为 - =1. 2.若双曲线过点(m,n)(m>n>0),且渐近线方程为y=±x,则双曲线的焦点( ) A.在x轴上B.在y轴上 C.在x轴或y轴上D.无法判断是否在坐标轴上 解析: 选A ∵m>n>0,∴点(m,n)在第一象限且在直线y=x的下方,故焦点在x轴上. 3.(·华南师大附中模拟)已知m是两个正数2,8的等比中项,则圆锥曲线x2+ =1的离心率为( ) A. 或 B. C. D. 或 解析: 选D ∵m2=16,∴m=±4,故该曲线为椭圆或双曲线.当m=4时,e= = = .当m=-4时,e= = = . 4.(·浙江高考)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ) A.3B.2 C
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- 高考 数学 复习 教学 双曲线