04第四节 用尺规作线段和角.docx
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04第四节用尺规作线段和角
第四节用尺规作线段和角
数学小常识
丹心一片鞠躬尽瘁
——世界最伟大的三位数学家之一阿基米德
江苏如皋师范周海荣
阿基米德(公元前287~212年),古希腊人,著名的数学家.他在发展几何上起到了决定性作用,因此被列为世界最伟大的三位数学家之一.
阿基米德十分喜欢几何.他对几何的研究大都来自画在沙盘中或涂在他身上的浴后用油中的图形.在几何研究中,他创造的用物理的力学原理来证明几何定理.
阿基米德的一生更是硕果累累的一生.1906年,数学家海伯格在土耳其首都君士坦丁堡的一个图书馆,发现了阿基米德著作的手抄本《方法论》.在书中,阿基米德用物理中的杠杆原理求出球的体积是
πR3.同时他预言:
“一旦这个方法确立之后,有些人或者我的同代人或我的后继者,就会利用这个方法又发现另外一些定理.”现在知道的阿基米德著作有:
平面几何《圆的度量》《抛物线的求积》《论螺线》;立体几何《论球和圆柱》《论劈锥曲面体和球体》
阿基米德不仅是一名数学家,他还是一名伟大的爱国者,当时罗马军队围攻他的家乡叙拉古城,阿基米德参加了保卫叙拉古城的战斗.他设计制造了弩炮、起重机、反射镜等东西,给罗马军队以重创.
罗马军队攻占叙拉古城时,阿基米德正在沙盘前专心研究几何图形.一个罗马士兵闯了进来,一脚踩在沙盘上,破坏了沙盘上的图形.阿基米德气愤地说:
“你这个混小子,给我滚开!
”罗马士兵一怒之下,用枪刺死了这个老人.阿基米德永远的离开了,但他深切的爱国情得到了世界人民的普遍称颂.
阿基米德卓越的数学成就、高尚的人格情操,就像一本读不完的书、一条走不完的路,永远激励着人们奋发、前进!
●备课资料
数学小常识
尺规作图
江苏省六合高级中学(211500)徐永忠
俗话说:
“不以规矩,不成方圆”,究竟什么是“规”,什么是“矩”?
“规”就是圆规,是用来画圆的工具,在我国古代甲骨文中就有“规”这个字.“矩”就像现在木工使用的角尺,由长短两尺相交成直角而成,两者间用木杠连接以使其牢固,其中短尺叫勾,长尺叫股.
矩的使用是我国古代的一个发明,山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩,女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角,加上刻度可以测量,还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字,这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.
《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳,右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水,……望山川之形,定高下之势,……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水,要先测量地势的高低,就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.
春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述,《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩,以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明,公输子(即鲁班,传说木匠的祖师)之巧,不以规矩,不能成方圆.”可见,在春秋战国时期,规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度,因此使用范围较广,具有较大的实用性.
古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用,而忽视规矩的实用价值.因此,在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制,提出了尺规作图问题.所谓尺规作图,就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.
古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛,被关进监狱,并被处以死刑.在监狱里,他思考改圆成方以及其他有关问题,用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具,只能用一根绳子画圆,用随便找来的破木棍作直尺,当然这些尺子上不可能有刻度.另外,对他来说,时间是不多了,因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》.由于《几何原本》的巨大影响,希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来.
由于对尺规作图的限制,使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题:
立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家,都曾着力于研究这三大问题,虽然借助于其他工具或曲线,这三大难题都可以解决,但由于尺规作图的限制,却一直未能如愿以偿.以后两千年来,无数数学家为之绞尽脑汁,都以失败而告终.直到1637年笛卡尔创立了解析几何,关于尺规作图的可能性问题才有了准则.到了1837年万芝尔首先证明立方倍积问题和三等分任意角问题都属于尺规作图不可能问题.1882年林德曼证明了π是无理数,化圆为方问题不可能用尺规作图解决,这才结束了历时两千年的数学难题公案.
第五课时
●课题
§2.4.1用尺规作线段和角
●教学目标
(一)教学知识点
1.会用尺规作一条线段等于已知线段.
2.利用尺规作一条线段等于已知线段的应用.
(二)能力训练要求
会用尺规作一条线段等于已知线段;并了解它在尺规作图中的简单应用.
(三)情感与价值观要求
通过教师的讲解、学生的动手实践,培养学生的动手能力及与同学交流的习惯.
●教学重点
会用尺规作一条线段等于已知线段.
●教学难点
学生理解作图步骤中的语言,并会根据画图语言画出图形.
●教学方法
讲练相结合法
●教具准备
师:
圆规、直尺.
投影片三张
第一张:
展示图片(记作投影片§2.4.1A)
第二张:
作法(记作投影片§2.4.1B)
第三张:
做一做(记作投影片§2.4.1C)
学生:
圆规、直尺
●教学过程
Ⅰ.创设现实情景,引入新课
[师]在现实生活中,我们经常见到一些美丽的图案,如下列图案(出示投影片§2.4.1A)
图案
(1)、
(2)、(3)是我们曾经画过的.想一想,这些图案是利用哪些作图工具画出的?
[生]是利用直尺、圆规和三角尺等这些工具画出的.
[师]很好,直尺、圆规和三角尺是常用的作图工具,利用这些工具可以作出很多的几何图形.在以后的作图中,我们运用最多的作图工具是没有刻度的直尺和圆规.
我们把只用没有刻度的直尺和圆规的作图称为尺规作图.
在上册中,我们曾介绍了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段.大家回忆一下作图的过程和方法.
[生]先画一条射线AB,用圆规量出已知线段的长度(记作a),再在射线AB上以A为圆心,截取AC=a,这样所求的线段就是AC.
如下图2-51:
图2-51
[师]很好,这只是我们初步的用直尺和圆规来作图的方法.今天我们来继续深入地学习用尺规作一条线段等于已知线段.
Ⅱ.讲授新课
[师]用尺规作图具有以下四个步骤:
(1)已知,即:
已知的条件是什么.
(2)求作,即:
所要作的最终的结果是什么,满足什么条件.
(3)分析,即:
分析如何作出所要求作的图形,一般不用写出来.
(4)作法,这是作图的主要步骤,在这里要写清作图的过程.
在今后的作图中,要注意作图步骤的书写.就现在来说,只要求大家了解尺规作图的步骤.下面我们共同用尺规作一条线段等于已知线段(教师一边叙述,一边书写、画;学生只画图).
已知,线段AB.
图2-52
求作:
线段A′B′,使A′B′=AB.
作法:
(1)作射线A′C′.
(2)以点A′为圆心,以AB的长为半径画弧,交射线A′C′于点B′.
A′B′就是所求的线段.
图2-53
[师]同学们画得很好,但要注意圆规的用法.接下来大家口述表达一下作法.(教师出示投影片§2.4.1B)
作法
示范
(1)作射线A′C′
(2)以点A′为圆心,以AB的长为半径画弧,交射线A′C′于点B′.A′B′就是所作的线段.
[师]好,下面我们来做一做,以熟悉用尺规作一条线段等于已知线段.(出示投影片§2.4.1C)
如图2-54,已知线段a和两条互相垂直的直线AB、CD.
图2-54
(1)利用圆规,在射线OA、OB、OC、OD上作线段OA′、OB′、OC′、OD′,使它们分别与线段a相等.
(2)依次连接A′、C′、B′、D′、A′.
你得到了一个怎样的图形?
与同伴进行交流.
[生甲]以O为圆心,以a的长为半径画弧,分别交OA、OB、OC、OD于A′、B′、C′、D′,则OA′、OB′、OC′、OD′就是所求作的线段.如图2-55.
图2-55
[生乙]依次连接A′、C′、B′、D′、A′,这样得到的图形是正方形.
[师]很好,大家要会口头表述作法,在图形上要保留作图痕迹.
接下来,我们做练习以巩固所学内容.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P64随堂练习
1.如图2-56,已知线段a和b,直线AB与CD垂直且相交于点O.
图2-56
利用尺规,按下列要求作图:
(1)在射线OA、OB、OC上作线段OA′、OB′、OC′,使它们分别与线段a相等.
(2)在射线OD上作线段OD′,使OD′等于b.
(3)依次连接A′、C′、B′、D′、A′.
你得到了一个怎样的图形?
与同伴进行交流.
解:
(1)以O为圆心,以a的长为半径画弧,交射线OA、OB、OC于点A′、B′、C′.
则OA′、OB′、OC′就是所求作的线段.(如图2-57)
(2)以O为圆心,以b的长为半径画弧,交射线OD于点D′.则OD′就是所求作的线段.(如图2-57)
图2-57
(3)依次连接A′、C′、B′、D′、A′,这样得到的图形为筝形(如图2-57).
(二)试一试
1.如图2-58的“雏菊图案”漂亮吗?
你想自己画出它吗?
那就让我们从最初的步骤开始吧!
图2-58
步骤一:
以点O为圆心,r为半径作圆O.如图2-59.
图2-59图2-60
步骤二:
以圆O上任意一点为圆心,r为半径作圆,与圆O交于两点.如图2-60.
步骤三:
分别以两个交点为圆心,r为半径作圆.如图2-61.
图2-61
继续做下去,在适当的区域涂上颜色,你作出美丽的“雏菊图案”了吗?
(学生按步骤,基本都能画出来.)
Ⅳ.课时小结
本节课我们主要学习了用尺规作一条线段等于已知线段.正式呈现了尺规作图的步骤,写出了“已知”“求作”,且按照程序化的方式写出了“作法”.大家在今后的作图中,要按这些步骤进行.
要特别注意的是:
作图时一定要保留作图痕迹.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P64习题2.51、2.
(二)1.预习内容:
P65~66
2.预习提纲:
如何用尺规作一个角等于已知角.
Ⅵ.活动与探究
1.已知线段a、b,且a>
b,用圆规和直尺求作一条线段x,使x=2a-3b.
图2-62
[过程]让学生在熟悉掌握用尺规作一条线段等于已知线段的基础上,作线段的和差倍分.
[结果]
作法:
1.作射线AG.
2.用圆规在射线AG上顺次截取AB=BC=a.
3.用圆规在线段AC上以C为端点顺次截取CD=DE=EF=b.
线段AF就是所要求作的线段.(如图2-63)
图2-63
●板书设计
§2.4.1用尺规作线段和角
一、尺规作图
已知
求作
作法
二、用尺规作一条线段等于已知线段.
已知:
线段AB
求作:
线段A′B′使A′B′=AB
作法:
1.作射线A′C′.
2.以点A′为圆心,以AB的长为半径画弧,交射线A′C′于点B′.
A′B′就是所求作的线段.
三、做一做
四、课堂练习
五、课时小结
六、课后作业
第六课时
●课题
§2.4.2用尺规作线段和角
●教学目标
(一)教学知识点
1.会用尺规作一个角等于已知角.
2.利用尺规作一个角等于已知角的应用.
(二)能力训练要求
会用尺规作一个角等于已知角,并了解它在尺规作图中的简单应用.
(三)情感与价值观要求
通过作图,进一步激发学生的学习兴趣,体验数学在生活中的应用.
●教学重点
用尺规作一个角等于已知角.
●教学难点
理解画图的语言,能根据几何语言画出图形.
●教学方法
讲练结合法
●教具准备
师:
直尺、圆规.
投影片一张
第一张:
引例(记作投影片§2.4.2A)
生:
直尺、圆规、量角器
●教学过程
Ⅰ.创设现实情景,引入新课
[师]在上节课我们学习了用直尺和圆规作图,并且引入了规范的尺规作图语言.从而能够用几何语言描述作一条线段等于已知线段.那么如何用尺规作一条线段等于已知线段呢?
[生]已知线段a,求作:
线段AB,使AB=a.
作法:
(1)作射线AC.
(2)以点A为圆心,以a的长为半径画弧,交AC于点B.则,AB就是所求的线段.
图2-64
[师]很好.同学们已掌握了一些尺规作图的语言.下面大家看一实例,你能解决它吗?
(出示投影片§2.4.2A)
如图2-65,要在长方形木板上截一个平行四边形,使它的一组对边在长方形木板的边缘上,另一组对边中的一条边为AB.
(1)请过C点画出与AB平行的另一条边.
(2)如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺,你能解决这个问题吗?
图2-65
[师]大家讨论讨论.
[生甲]要在长方形木板上截一个平行四边形,按上图的方式(平行四边形的一组对边在长方形木板的边缘上).只要保证过点C作出与AB平行的另一条线段即可.所以我用一个三角板的一边与AB重合,用直尺紧靠三角板的另一边,然后移动三角板,使与AB重合的那边过点C,这样过C点画线段CD,则CD就是所求的与AB平行的另一边.如图2-66.
图2-66
[生乙]只有一个圆规和一把没有刻度的直尺,现在还不能解决这个问题.
[生丙]过直线外一点作这条直线的平行线的原理是:
同位角相等,两直线平行.所以,能不能过点C作一个角等于∠BAC,且使这两个角是同位角呢?
[师]同学们讨论得很好,尤其是丙同学提出的问题:
作一个角等于已知角.这节课,我们就来利用尺规作一个角等于已知角.
Ⅱ.讲授新课
[师]用尺规作图,它的步骤有哪些呢?
[生]已知、求作、分析、作法.
[师]好,那我们现在先来写已知、求作.
[师生共析]已知:
∠AOB,求作:
∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
图2-67
[师]这个∠A′O′B′如何就能作出呢?
它的道理是什么呢?
这将在第五章中谈到.现在我们只需按下列作法步骤去画即可.
下面老师在黑板上画、叙述,同学们在下面用尺规作∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法:
(1)作射线O′A′.
(2)以点O为圆心,以任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D.
(3)以点O′为圆心,以OC长为半径画弧,交O′A′于点C′.
(4)以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前面的弧于点D′.
(5)过点D′作射线O′B′.
∠A′O′B′就是所求作的角.
图2-68
[师]同学们作好了没有?
[生齐声]好了.
[师]那你所作的角一定等于已知角吗?
……
[师]大家来比较一下.
[生甲]我用量角器量了量所作的角与已知角,可以知道这两个角相等.
[生乙]我把所作的角与已知角重叠,看到这两个角的终边与始边重合,说明所作的角与已知角相等.
[师]很好.这样我们就会用尺规作一个角等于已知角.
下面我们两人一组,再作一个角等于已知角,一人叙述作法,一人根据作图.
……
[师]大家基本掌握了用尺规作一个角等于已知角.接下来我们通过练习进一步熟悉掌握这内容.
Ⅲ.课堂练习
(一)课本P67随堂练习
1.已知∠AOB,利用尺规作∠A′O′B′,使∠A′O′B′=2∠AOB.
图2-69图2-70
作法:
(1)以O为圆心,以任意长为半径画弧,与OA交于点A′,与OB交于点C.
(2)以点C为圆心,以A′C长为半径画弧,交前弧于点B′.
(3)过点B′作射线OB′,则∠A′OB′就是所求作的角.
或者:
作法:
(1)作射线O′A′.
(2)以O点为圆心,以任意长为半径画弧交OA于点C,交OB于点D.
图2-71图2-72
(3)以点O′为圆心,以OC长为半径画弧,交O′A′于C′点.
(4)以点C′为圆心,以CD长为半径画弧,交前弧于E点.
(5)以点E为圆心,以CD长为半径画弧,交于点B′.
(6)过点B′作射线OB′.
则∠A′O′B′就是所求作的角.
2.利用尺规完成本节课开始时提出的问题.
作法:
(略),图如下
图2-73
(二)看书P67“读一读”.
(三)看课本P65~66.
Ⅳ.课时小结
本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角.要会用自己的语言来书写作法,并要了解作一个角等于已知角在尺规作图中的简单应用.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P68习题2.61.
(二)复习本章的全部内容,并作一小结.
Ⅵ.活动与探究
1.利用尺规设计一些美丽的图案.
[过程]通过这个活动,一方面使学生进一步掌握尺规作图的方法,另一方面也可培养学生的动手、动脑能力,激发他们的创造力,增进其对数学的理解.
[结果]结果是许多学生设计出好多的美丽图案.
●板书设计
§2.4.2用尺规作线段和角
一、做一做:
作一个角等于已知角
已知
求作
作法
二、课堂练习
三、读一读
四、课时小结
五、课后作业
4.用尺规作线段和角(5分钟练习)
规和矩发明于中国,是古人用来测量,画圆规和方形的两种工具,“规”就是画图的圆规;“矩”就是折成直角的曲尺,尺上有刻度,古人说:
“没有规矩,不成方圆”就是这个意思.古希腊人研究几何问题时,一般用直尺和圆规这两种工具,这种直尺没有刻度,只能画直线,希腊人作图只能从最基本的工具——直尺和圆规开始,完成尽可能多的几何图形,其中最基本的几何图形是线段和角.你能用直尺和圆规(以后简称尺规)作出一条线段等于已知线段吗?
已知线段a,
求作线段AB使得线段AB=a,在下列空格内作出图来.
作法:
1.作射线AM.
2.在射线AM上截取线段AB=a.
与同伴互相交换画成的线段,观察有什么不同,指出有什么错误.再谈一谈什么是尺规作图.
思考:
如何用尺规作一个角等于已知角.
4.用尺规作线段和角
略
4.用尺规作线段和角(15分钟练习)
一、判断题
1.尺规作图是指用刻度尺和圆规作图.()
2.尺规中的尺是指没有刻度的直尺.()
3.用直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线是尺规作图.()
4.最基本的尺规作图是作线段和角.()
二、填空题
1.已知线段AB,求作:
线段A′B′,使A′B′=AB.
作法:
(1)作射线A′C′.
(2)以点A′为圆心,以____________交A′C′于点B′,_________就是所作的线段.
2.已知:
∠AOB.
求作:
∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法:
(1)作射线O′A′
(2)以点O为圆心,以_________长为半径画弧交OA于点C,交OB于点D.
(3)以点O′为圆心,以_________长为半径画弧,交O′A′于点C′.
(4)以点C′为圆心,以_________长为半径画弧,交前面的弧于点D′.
(5)过点D′作射线O′B′,∠A′O′B′就是所求作的角.
三、作图
用尺规完成下列作图.
1.已知线段a、b(a>b),利用尺规作线段c,使c=a-b.
2.已知∠α、∠β(∠α>∠β),求作一个角,使它等于∠α-∠β.
答略。
二、平行线的特征与用尺规作线段和角
班级:
姓名:
作业导航
1.平行线的特征;
2.用尺规作线段和角.
一、填空题
1.两直线平行,同位角_____,内错角_____,同旁内角_____.
2.如图1,AB∥CD,∠1=120°,则∠2=_____,∠3=_____,∠4=_____.
3.如图2,AB∥CD,且∠2是∠1的2倍,那么∠2的度数为_____.
图1图2图3
4.如图3,由AB∥CD,可知相等的角有_____,理由是_____,由AD∥BC,可知这些角的和等于180°的有_____,理由是_____,由∠4=∠8可知,_____∥_____,理由是_____,若已知∠2+∠3+∠4+∠5=180°,可知_____∥_____,因为_____.
5.如图4,OP∥QR∥ST,若∠2=100°,∠3=110°,则∠1=_____.
6.如图5,DH∥EG∥BC,DC∥EF,那么与∠BFE相等的角(不包括∠BFE本身)的个数为_____个.
图4图5图6
7.如图6,AB∥EF,CG⊥CF,∠ABC=60°,∠EFC=45°,则∠BCG=_____.
8.如图7,AD∥BC,∠BAC=50°,则∠B+∠C=_____.
图7图8图9
9.如图8,AB∥CD,∠B=120°,∠C=25°,则∠E=_____.
二、选择题
10.如图9,AB∥CD,∠ACE=∠ECD,∠A=110°,则∠ECD的度数为()
A.110°B.70°
C.55°D.35°
11.如图10,AB∥CD,AC∥BD,下面推理不正确的是()
图10
A.∵AB∥CD(已知)∴∠5=∠A(两直线平行,同位角相等)
B.∵AB∥CD(已知)∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等)
C.∵AB∥CD(已知)∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
D.∵AC∥BD(已知)∴∠3=∠4(两直线平行,内错角相等)
12.若两个角的一边在同一条直线上,另一边互相平行,那么这两个角()
A.相等B.互补
C.相等且互补D.相等或互补
13.下列作图语句中,错误的是()
A.过点A、点B作直线AB
B.在线段AB上截取AC=a
C.以点O为圆心作弧
D.以O为圆心,OA长为半径作弧
14.如图11,AB∥CD,那么∠1+∠2+∠3()
图11
A.180°B.360°
C.540°D.720°
15.一个人骑自行车前行时,两次拐弯后,仍按原方向前进,这两次拐弯的角度是()
A.向右拐30°,再向右拐30°B.向右拐30°,再向右拐60°
C.向右拐30°,再向左拐30°D.向右拐30°,再向左拐60°
三、解答题
16.已知:
AB∥CD,EF⊥AB于E,交CD于F,∠EFG=55°,求∠EGF的度数.
图12
17.已知线段a、b,利用尺规作线段c,使c=2a-b
图13
*18.下图的图案漂亮吗?
不妨你也一试.
图15
参考答案
一、1.相等相等互补2.60°60°120°3.120°
4.∠1=∠5,∠2=∠6两直线平行,内错角相等∠BAD+∠ABC=180°,∠ADC+
∠DCB=180°两直线平行,同旁内角互补ADBC内错角相等,两直线平行ABCD同旁内角互补,两直线平行5.30°6.57.15°8.130°9.85°
二、10.D11.B12.D13.C14.B15.C
三、16.35°17.略18.略
●备课资料
第二章自测题
一、选择题
1.如果一个角的补角是150°,那么这个角的余角的度数是()
A.30°B.60°C.90°D.120°
答案:
B
2.下列语句中,是对顶角的语句为()
A.有公共顶点并且相等的角
B.两条直线相交,有公共顶点的角
C.顶点相对的角
D.两条直线相交,有公共顶点没有公共边的两个角
答案:
D
3.如图2-87,下列说法错误的是()
图2-87
A
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- 关 键 词:
- 04第四节 用尺规作线段和角 04 第四 用尺规作 线段