同济大学线性代数第六版课后答案全.docx
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同济大学线性代数第六版课后答案全
同济大学线性代数第六版课后答案(全)
第一章行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1);
解
=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8
-0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1)
=-24+8+16-4=-4.
(2);
解
=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc
=3abc-a3-b3-c3.
(3);
解
=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2
=(a-b)(b-c)(c-a).
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,⋅⋅⋅,(2n-1)(2n-2)(n-1个)
(6)13⋅⋅⋅(2n-1)(2n)(2n-2)⋅⋅⋅2.
解逆序数为n(n-1):
32(1个)
52,54(2个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,⋅⋅⋅,(2n-1)(2n-2)(n-1个)
42(1个)
62,64(2个)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(2n)2,(2n)4,(2n)6,⋅⋅⋅,(2n)(2n-2)(n-1个)
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.
解含因子a11a23的项的一般形式为
(-1)ta11a23a3ra4s,
其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.
所以含因子a11a23的项分别是
(-1)ta11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,
(-1)ta11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
4.计算下列各行列式:
(1);
解
.
(2);
解
.
(3);
解
.
(4).
解
=abcd+ab+cd+ad+1.
5.证明:
(1)=(a-b)3;
证明
=(a-b)3.
(2);
证明
.
(3);
证明
(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)
(c4-c3,c3-c2得)
.
(4)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);
证明
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).
(5)=xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an.
证明用数学归纳法证明.
当n=2时,,命题成立.
假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即
Dn-1=xn-1+a1xn-2+⋅⋅⋅+an-2x+an-1,
则Dn按第一列展开,有
=xDn-1+an=xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an.
因此,对于n阶行列式命题成立.
6.设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转,依次得
,,
证明,D3=D.
证明 因为D=det(aij),所以
.
同理可证
.
.
7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):
(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;
解
(按第n行展开)
=an-an-2=an-2(a2-1).
(2);
解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得
再将各列都加到第一列上,得
=[x+(n-1)a](x-a)n-1.
(3);
解根据第6题结果,有
此行列式为范德蒙德行列式.
.
(4);
解
(按第1行展开)
.
再按最后一行展开得递推公式
D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=(andn-bncn)D2n-2.
于是.
而,
所以.
(5)D=det(aij),其中aij=|i-j|;
解aij=|i-j|,
=(-1)n-1(n-1)2n-2.
(6),其中a1a2⋅⋅⋅an≠0.
解
.
8.用克莱姆法则解下列方程组:
(1);
解因为
,
,
所以,,,.
(2).
解因为
,
,
所以
,,,.
9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组有非零解?
解系数行列式为
.
令D=0,得
μ=0或λ=1.
于是,当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10.问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解?
解系数行列式为
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ)
=(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.
令D=0,得
λ=0,λ=2或λ=3.
于是,当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1.已知线性变换:
求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.
解由已知:
故,
.
2.已知两个线性变换
,
求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.
解由已知
所以有.
3.设,,求3AB-2A及ATB.
解
.
4.计算下列乘积:
(1);
解.
(2);
解=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).
(3);
解.
(4);
解.
(5);
解
=(a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3)
.
5.设,,问:
(1)AB=BA吗?
解AB≠BA.
因为,,所以AB≠BA.
(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?
解(A+B)2≠A2+2AB+B2.
因为,
但,
所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.
(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?
解(A+B)(A-B)≠A2-B2.
因为,,
而,
故(A+B)(A-B)≠A2-B2.
6.举反列说明下列命题是错误的:
(1)若A2=0,则A=0;
解取,则A2=0,但A≠0.
(2)若A2=A,则A=0或A=E;
解取,则A2=A,但A≠0且A≠E.
(3)若AX=AY,且A≠0,则X=Y.
解取
,,
则AX=AY,且A≠0,但X≠Y.
7.设,求A2,A3,⋅⋅⋅,Ak.
解,
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
.
8.设,求Ak.
解首先观察
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,
.
用数学归纳法证明:
当k=2时,显然成立.
假设k时成立,则k+1时,
由数学归纳法原理知:
.
9.设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明BTAB也是对称矩阵.
证明因为AT=A,所以
(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,
从而BTAB是对称矩阵.
10.设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明充分性:
因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以
(AB)T=(BA)T=ATBT=AB,
即AB是对称矩阵.
必要性:
因为AT=A,BT=B,且(AB)T=AB,所以
AB=(AB)T=BTAT=BA.
11.求下列矩阵的逆矩阵:
(1);
解.|A|=1,故A-1存在.因为
故.
(2);
解.|A|=1≠0,故A-1存在.因为
所以.
(3);
解.|A|=2≠0,故A-1存在.因为
所以.
(4)(a1a2⋅⋅⋅an≠0).
解,由对角矩阵的性质知
.
12.解下列矩阵方程:
(1);
解.
(2);
解
.
(3);
解
.
(4).
解
.
13.利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1);
解方程组可表示为
故,
从而有.
(2).
解方程组可表示为
故,
故有.
14.设Ak=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为
E-Ak=(E-A)(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1),
所以(E-A)(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)=E,
由定理2推论知(E-A)可逆,且
(E-A)-1=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
证明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).
另一方面,由Ak=O,有
E=(E-A)+(A-A2)+A2-⋅⋅⋅-Ak-1+(Ak-1-Ak)
=(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)(E-A),
故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1)(E-A),
两端同时右乘(E-A)-1,就有
(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+⋅⋅⋅+Ak-1.
15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.
证明由A2-A-2E=O得
A2-A=2E,即A(A-E)=2E,
或,
由定理2推论知A可逆,且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,
或
由定理2推论知(A+2E)可逆,且.
证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得
|A2-A|=2,
即|A||A-E|=2,
故|A|≠0,
所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|2≠0,故A+2E也可逆.
由A2-A-2E=O⇒A(A-E)=2E
⇒A-1A(A-E)=2A-1E⇒,
又由A2-A-2E=O⇒(A+2E)A-3(A+2E)=-4E
⇒(A+2E)(A-3E)=-4E,
所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2E)-1,
.
16.设A为3阶矩阵,,求|(2A)-1-5A*|.
解因为,所以
=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=
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- 同济大学 线性代数 第六 课后 答案