高二数学下 113《两条直线位置关系》教案1 沪教版.docx
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高二数学下113《两条直线位置关系》教案1沪教版
2019-2020年高二数学下11.3《两条直线位置关系》教案
(1)沪教版
一、教学内容分析
本小节的内容大致可以分为两部分:
一是两条直线的交点、位置关系;二是两条直线的夹角.预计需要三课时:
第一课时,两条直线的交点和位置关系;第二课时,两条直线的夹角;第三课时,两直线的位置关系与夹角公式的应用.
在初中平面几何中研究过两条直线的关系.在本小节的教学中,我们用代数方法,在平面直角坐标系中,研究怎样用直线的方程来判断两条直线的位置关系,体现了解析几何用方程研究曲线的基本思想.
本小节的重点是由直线方程求两条直线的交点、两条直线位置关系的判断,以及根据直线方程求两条直线夹角的方法.在认识直线与直线方程的对应关系的基础上,抓住“形与数”的对应,理解求两条直线的交点就是求它们的方程的公共解,将两条直线位置关系的问题转化为相应的二元一次方程组的解的个数问题,由此得出两条直线的三种位置关系:
相交、平行、重合,对于相应的二元一次方程组就是:
有唯一解、无解、无数多个解.
然后对两直线相交的情况作定量的研究,规定两条相交直线所交成的锐角或直角为两条相交直线的夹角,通过分析两条相交直线的图形的几何性质,联想两条直线的夹角与两条直线的方向向量的夹角的关系,推导出两条直线的夹角公式.
本小节的难点是启发学生把研究两直线的位置关系问题转化为考查它们的方程组成的方程组的解的问题,以及两条直线的夹角公式的推导.突破难点的关键是:
建立新旧知识的联系,寻找新知识的生长点,利用数形结合使学生理解“形与数”之间的联系,以及利用数量关系处理几何关系的方法.
对直线方程的系数中含有未知数的两直线的位置关系的分类讨论是本小节的一个重点问题,也是一个难点问题.
二、教学目标设计
理解两条直线的交点就是它们所对应的一次方程组的解,会求两条相交直线的交点;掌握根据方程组解的情况判断两条直线平行、相交或重合的方法;理解两条直线的位置关系在它们的方向向量及其法向量的关系上的反映,理解“形”与“数”之间的联系.通过对两直线位置关系的讨论,运用已有知识解决新问题的能力,提高运用数形结合、分类讨论等思想方法的能力.
三、教学重点及难点
求两条直线的交点,掌握判断两条直线的位置关系的方法;两条直线的位置关系与相应的方程组的解的个数之间的对应.
四、教学用具准备
多媒体设备
五、教学流程设计
六、教学过程设计
一、情境设置,导入新课
用大屏幕打出直角坐标系中的两条直线,移动两条直线,让学生观察这两条直线的位置关系.
思考并回答下列问题
1、平面上两条直线有几种位置关系?
各有什么几何特征?
解答:
两条直线有三种位置关系:
相交、平行、重合.
从几何特征上看:
相交有唯一的公共点;平行没有公共点;重合至少有两个公共点,进而有无数个公共点.
[说明]通过教具演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现两条直线的关系,由此引出新课,为进一步的研究作好铺垫.并指出,垂直是相交的一种特殊情况.
2、在直角坐标系中,这三种位置关系在直线方程上是怎样体现的呢?
[说明]通过对已有相关知识的回顾,自然地提出此问题(暂不要学生回答),给出下面的引例,引导学生来到新知识的生成场景中.让学生带着问题学习,明确了本节课的学习目标,促进学生学习的主动性.
二、学习新课
关于两直线的交点、位置关系
1、概念引入
引例:
解下列方程组:
(1);
(2)
;(3)
.
然后,请你回答:
上述方程组所表示的两条直线的交点个数?
如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系?
解答:
由直线方程的概念,我们知道
方程组
(1)有唯一的解,两条直线有且只有一个公共点为;
方程组
(2)有无数组解,两条直线有无数个公共点;
方程组(3)无解,两条直线无公共点.
[说明]①启发学生观察,并得出如下结论:
方程组
(1)~(3)的解的个数与其表示的两条直线的交点个数是相同的;方程组
(1)的解就是两条直线的交点坐标.并根据上述实例,引导学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出两条直线的位置关系与方程组的解的关系.②在探索概念阶段,让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,使得学生对概念的认识不断深入.
2、概念形成
一般地,设两条直线的方程分别为
:
(不全为零)……①
:
(不全为零)……②
两条相交直线的交点坐标
思考并回答:
如何求直线、的交点?
解答:
由直线与直线方程的对应关系,若两条直线相交,由于交点同时在两条直线上,则交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解,反之,若两个二元一次方程只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点.由此得出直线、交点的求法:
联立与的方程:
……(Ⅰ),此方程组的解,即为直线、交点.
⏹两条直线的位置关系与方程组的解的个数之间的关系
思考并回答:
由方程①②如何判断直线、的位置关系?
解答:
由引例分析、归纳出:
直线、的三种位置关系:
相交、平行、重合,对于直线、的方程联立的方程组是:
有唯一解、无解、无数多个解.因此我们可以通过讨论方程组的解的个数得出直线、的位置关系.
联立与的方程,得方程组:
…(Ⅰ),此方程组的解的个数与直线、交点的个数一致.计算由方程的系数构成的行列式:
,,.则
当时,方程组(Ⅰ)有唯一的解为
,此时、相交于一点,交点坐标是.
当且中至少有一个不为零时,方程组(Ⅰ)无解,此时、没有公共点,即直线与平行.
当时,方程组(Ⅰ)有无穷多个解,此时、有无数多个公共点,即直线与重合.
[说明]①这个问题是本节课的中心议题,应引导全班学生积极思维,让多一点学生发表意见,形成“高潮”;②指出:
在平面几何中,我们研究两直线的位置关系时,不考虑两条直线重合的情况,而在解析几何中,由于两个不同的方程可以表示同一条直线,我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.
⏹回到引例
请学生用上述结论,判断引例中三组直线的位置关系.
[说明]①与引例前后呼应.本环节的设计目的是使学生初步掌握判断直线位置关系的方法:
通过计算由直线方程的系数构成的行列式、的值,判断两直线的平行、重合、相交.②通过引例
(2)(3)指出,前提条件是直线方程为一般形式.
3、概念的辨析
⏹两条直线的位置关系与其方程的系数之间的关系:
与相交方程组(Ⅰ)有唯一解即;
与平行方程组(Ⅰ)无解且中至少有一个不为零;
与重合方程组(Ⅰ)有无穷多解.
⏹时,与平行或重合,即是与平行的必要非充分条件.换言之,∥;若两条直线不重合,则//.
[说明]引导学生得出:
①两条直线的位置关系,可以通过计算系数构成的行列式得到;②对易出错的概念进行反思.
4、例题分析
例1已知直线:
与:
,求实数的值,使直线与平行.(补充例题)
解:
先把直线的方程化为一般形式:
.
由,∴,解得或,
当两方程化为与显然平行;
当两方程化为与两直线重合.
∴不符合,∴即为所求.
[说明]①学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记忆,将学生容易忽略的环节,设置在补充的例题练习中,以便达到强化训练的目的.②强调是两直线平行的必要条件,求得的字母取值可能使两直线平行,也可能是重合,注意检验.
例2讨论直线下列各组直线之间的位置关系.(课本p17例2)
(1)与
;
(2)与.
[说明]①及时巩固重点内容,使学生在课堂上就能掌握.同时强调规范的书写和表达是否简洁.通过对例题的讲解,在解题步骤和方法上为学生起示范作用,并及时归纳总结,培养学生分析、思考,以及严谨认真的数学学习习惯;②小题
(2)是直线方程的点斜式,需要先化为直线方程的一般形式.
例3求经过原点且经过直线与直线的交点的直线方程.
解:
解方程组:
得,∴与的交点是,
设经过原点的直线方程为,把点代入,得,
所以,所求的直线方程为.
[说明]例题的设计遵循了从了解到理解,从掌握到应用,由浅入深,循序渐进的不同层次要求.
例4若三条直线:
,:
,:
,当为何值时,三条直线不能构成三角形?
(补充例题)
解:
三条直线不能构成三角形三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行.
(1)若三条直线交于同一点时,
解方程组,得,即与的交点是(),把点()代入直线的方程得.
(2)若其中至少有两条直线平行时,
由//得:
;由得:
,
综上:
当或或时三条直线不能构成三角形.
[说明]①本例为直线位置关系的综合运用,涉及到求直线的交点及直线的平行或重合时,系数应满足的条件,因此,需要分类讨论的思想方法.②解决三条直线交于一点的问题时,一般先求出其中两条直线的交点,再根据此交点也在第三条直线上,列式求解.
5.问题拓展
⏹从向量的角度,两条直线的三种位置关系有怎样的体现呢?
与的一个方向向量分别是=,=;一个法向量分别是=,=.则与有如下关系:
相交不平行不垂直;
平行平行垂直;
重合平行垂直.
⏹三种位置关系可以用直线的斜率表示吗?
由于不是所有的直线都有斜率,因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论.
若至少有一条直线的斜率不存在,则设此直线方程为,通过图示观察,易知其关系.
若两直线的斜率都存在,直线方程可以化为:
,:
则有
①//且;
②和重合且;
③和相交.
[说明]判断直线位置关系的方法并不唯一,可以从行列式、向量、斜率三个不同角度考虑,使用时要注意方法上的选择.一般情况,采用计算行列式的方法比较单纯,这种方法更具一般性,便于使用,是本节课学习的重点.
三、巩固练习
练习11.3
(1)
[说明]进一步强化判断两条直线位置关系的方法,反馈学生对知识的掌握情况,评价学生对学习目标的落实程度.
四、课堂小结
本课我们主要学习了哪些知识?
应当注意什么?
运用了那些思想方法?
1知识点:
本节课主要学习了两条直线的位置关系的判定方法,求两条直线的交点坐标的方法.讨论了已知两直线的位置关系,求字母系数值的方法.
解决问题时,注意区分两条直线平行与重合满足的条件.
2数学思想方法:
类比、转化、数形结合思想,特殊到一般的方法.
[说明]引导学生从知识内容和思想方法两个方面进行小结,使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,反思、巩固所用到的数学方法,达到巩固知识,明确方法的目的.
五、作业布置
1、书面作业:
习题11.3----2,3,4,5,6,7,8,9
2、思考题:
设直线的方程为
,求证:
不论m为何值,所给的直线经过一定点.
解方法一:
取m=0,1得:
把交点坐标(3,4)代入原方程,可知对于任意m,原方程均成立,
即不论m为何值,所给的直线经过一定点(3,4).
方法二:
对于任意实数m,关于的方程
的解都相同
对于任意实数m恒成立,
得:
即不论m为何值,所给的直线经过一定点(3,4).
[说明]①作业布置1是课本习题,通过它来反馈知识掌握效果,巩固所学知识,强化基本技能的训练,培养学生良好的学习习惯和品质;②作业布置2设计成思考题,是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间,学生可以根据实际情况选用.
2019-2020年高二数学下12.5《双曲线的标准方程》教案
(1)沪教版
一、教学内容分析
本小节的重点是双曲线的定义和标准方程,通过对椭圆的定义的类比联想,很容易想到研究到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹问题.要充分注意双曲线定义中“”,“绝对值”的词汇的定性描述,正确理解概念,注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式,三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习,从而理解两种曲线的联系与区别.
本小节的难点是双曲线的标准方程的推导.双曲线的标准方程的推导可以在椭圆的标准方程的推导经验中类比完成.突破难点的关键是初步研究双曲线的对称性,建立恰当的直角坐标系,注重方程化简过程中的合理变形.对于“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明,有条件的还是需要的,使方程的推导更完备.
二、教学目标设计
理解双曲线的定义;能推导双曲线的标准方程,掌握焦点在轴和轴上的双曲线的标准方程,会求给定条件下的双曲线的标准方程.通过对双曲线的标准方程的推导,巩固求动点的轨迹方程的一般方法.在与椭圆的类比学习中获得双曲线的知识,培养比较、分析、归纳、推理等能力.
三、教学重点及难点
双曲线的定义和双曲线的标准方程.
双曲线的标准方程的推导.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、复习回顾
思考并回答下列问题
1、椭圆的定义是什么?
2、椭圆定义中有哪些注意点?
3、椭圆的标准方程是怎样的?
二、讲授新课
1、概念引入
问题引入:
如果把椭圆定义中的和改成差:
或,即:
,其中动点的轨迹会发生什么变化呢?
①若
,则轨迹是线段的延长线;若
,则轨迹是线段的延长线;
②若
,则无轨迹;
③在条件下轨迹是存在的,我们把这时得到的轨迹叫做双曲线.
[说明]通过对椭圆定义的类比,启发学生思考并发现与的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实验:
学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形(可以让学生在上课前做一些实验的设计准备),教师利用多媒体演示(并加以说明).通过学生的动手操作,增加学生的感性认识,提高学生学习的参与度.
2、概念形成
⏹双曲线定义
定义:
平面内到两定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫做焦距.
⏹双曲线定义中的注意点
在概念的理解中要注意:
(1)是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数,且这个常数小于.
(2)当时,动点的轨迹是与对应的双曲线的一支,时为双曲线的另一支.
3、双曲线的标准方程的推导
可以仿照求椭圆的标准方程的做法,求双曲线的标准方程.
如图8-12建系,设,取过点的直线为轴,线段的中垂线为轴,建立直角坐标系,则,设是所求轨迹上的点.
依已知条件有,,,,
移项得:
,
平方得:
(*)
再平方得:
,
即
,令
则,即
反之:
设是上的点,则,
=,,
∴当时,,,有
;
当时,,,有
综上:
焦点在轴上双曲线的标准方程是①,其中,焦点.
[说明]对于标准方程的推导可以启发学生仿照求椭圆的标准方程的做法来完成,在建立直角坐标系之前,可以让学生初步推断双曲线所具有的对称性,使建系更合理.对于证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”这一过程可以视学生的程度来定,这样可使推导过程更完整,思维更严谨,这一过程需在教师的引导下师生共同完成.
同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8-13),那么,此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢?
焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)时,a、b的意义同上,那么只要将方程①的x、y互换,就可以得到焦点在轴上双曲线的标准方程是,其中,焦点.
[说明]双曲线的标准方程是指双曲线在标准状态下的方程,这里的标准状态有两层含义:
(1)双曲线的两个焦点均在坐标轴上,
(2)这两个焦点的中心必须与原点重合.从这一方面理解,双曲线的标准方程就是在特殊的直角坐标系下的方程.
思考:
将方程推导过程中的方程(*)做变形可得
,即
,且,那么其中又蕴涵着怎样的几何意义呢?
思考其几何意义可知,双曲线上的点满足到定点的距离与到定直线的距离之比是一个大于1的常数,这是双曲线的一个几何性质.反之,如果一个点满足
,且,即点P到定点的距离与到定直线的距离之比是一个大于1的常数,则点P的轨迹是双曲线吗?
这个问题留给课后思考.
[说明]思考这个问题的目的是扩展学生的认知空间,与圆锥曲线的第二定义联系起来,使知识体系更系统化一些.这一问题是作为课后思考题让学生完成.
4、例题解析
例1课本P55例1.
[说明]本题主要是让学生正确理解双曲线的定义,熟悉双曲线的标准方程,标准方程中三个量的意义与方程的关系.
例2(补充):
求满足下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦距为26,动点到两焦点的距离之差为24;
(2)已知双曲线过定点,且,求双曲线的标准方程.
(3)已知双曲线的焦点在轴上,中心在原点,且点,在此双曲线上,求双曲线的标准方程.
[说明]本题主要帮助学生掌握根据给定条件确定双曲线的标准方程的方法,注意方程的形式与焦点位置的关系.使学生学会用方程的思想来确定双曲线的标准方程.
例3:
课本P56例2.
[说明]本题主要让学生应用双曲线定义解决有关实际应用问题,注意根据题设条件仅能得到双曲线的一支.利用两个不同的观察站测得同一爆炸点的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程,但不能确定爆炸点的准确位置,如果再增加一个观察点C,利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置了.
例4:
课本P56例3.
[说明]本题主要让学生学习利用双曲线的标准方程解决一些相关的简单几何问题.初步认识双曲线的标准方程的应用.
三、课堂小结
1.双曲线的定义是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数,且这个常数小于.注意双曲线定义中“”,“绝对值”的词汇的定性描述.
2.双曲线的标准方程的特点是平方差,一般根据项的正负来判断焦点所在的位置,即项的系数是正的,那么焦点在轴上;项的系数是正的,那么焦点在轴上.
3、比较与区分双曲线与椭圆的定义和标准方程的异同.
四、巩固练习
1.课本P57练习12.5
2.(补充)填空:
已知方程表示双曲线,则的取值范围是;若表示焦点在轴上的双曲线,则的取值范围是.
3.已知圆和圆,动圆同时与圆及圆相外切,求动圆圆心的轨迹方程.
五、课后作业
1.练习册P29习题12.5A组1、2、3
2、练习册P29习题12.5A组4,B组1、2
六、教学设计说明
1、用类比联想的方法从椭圆的定义中提出新的问题,到两个定点的距离之差为正常数的点的轨迹是什么?
再通过探究解答问题,并提出双曲线的定义,这样可以使学生正确理解双曲线的概念,并能在学习中主动加强知识间的联系.特别注意双曲线定义中“”,“绝对值”的词汇的定性描述,当没有绝对值时,通常表示为双曲线的一支.在问题的探究过程中,可以设计学生的动手实验,增加学生的感性认识,培养学习的兴趣和主动参与的精神.
2、由于前一节学生接触了椭圆的标准方程的推导,对建、设、列、化、证等步骤有所熟悉,则双曲线的标准方程的推导过程可以在教师的引导下由学生尝试完成.特别是证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的过程可以由师生共同完成,以培养思维、论证的严密性.
3、本解课可以安排两节课时,第一节主要是理解双曲线的定义和正确推导双曲线的标准方程.可以完成例1、例3,课后作业完成1.第二节课主要是学习根据已知条件确定双曲线的标准方程,以及利用双曲线的方程解决简单几何问题.完成例2、例4和巩固练习.课后作业完成2.
4、运用对比教学的方法,使学生区分椭圆与双曲线的概念、标准方程、图形、三个量的异同.教师在课堂小结中可以设计一个表格,让学生填写内容.见下表:
名称
椭圆
双曲线
图象
定义
平面内到两定点的距离的和为常数2
(2)的动点的轨迹叫椭圆.即
当2﹥2时,轨迹是椭圆,
当2=2时,轨迹是一条线段
当2﹤2时,轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数2()的动点的轨迹叫双曲线.即
当2﹤2时,轨迹是双曲线
当2=2时,轨迹是两条射线
当2﹥2时,轨迹不存在
标准方程
焦点在轴上时:
焦点在轴上时:
注:
是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时:
焦点在轴上时:
注:
是根据项的正负来判断焦点所
在的位置
常数的关系
(符合勾股定理的结构)
,
最大,可以
(符合勾股定理的结构)
最大,可以
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