考研数学三模拟346.docx
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考研数学三模拟346
考研数学三模拟346
一、选择题
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的
1、设f(x)在x=1的某邻域内连续,且则x=1是f(x)的______.
A.不可导点 B.可导点但不是驻点
C.驻点且是极大值点 D.驻点且是极小值点
2、设在区间[a,b]上,f(x)>0,f'(x)<0,f"(x)>0,令则______.
A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3
C.S3<S1<S2 D.S2<S3<S1
3、设函数z=z(x,y)由方程确定,其中F为可微函数,且F'z≠0,则______.
A.x B.y C.z D.0
4、设D是由直线x=-1,y=1与曲线y=x3所围成的平面区域,D1是D在第一象限的部分,则I==______.
A. B.
C. D.0
5、设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量,A=(α1,α2,α3,α4),AT为A的伴随矩阵,又知方程组Ax=0的基础解系为(1,0,2,0)T,则方程组A*x=0基础解系为______.
A.α1,α2,α3 B.α1+α2,α2+α3,α3+α1
C.α2,α3,α4或α1,α2,α4 D.α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1
6、设A,B为n阶矩阵,下列命题成立的是______.
A.A与B均不可逆的充要条件是AB不可逆
B.r(A)<n与r(B)<n均成立的充要条件是r(AB)<n
C.Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A与B等价
D.A与B相似的充要条件是E-A与E-B相似
7、设随机变量X~N(μ,42),Y=N(μ,52),记p1=P{X≤μ-4},p2=P{Y≥μ+5},则______.
A.对任意实数μ,有p1=p2 B.对任意实数μ,有p1<p2
C.对任意实数μ,有p1>p2 D.对μ的个别值,有p1=p2
8、设随机变量X的概率密度为Y表示对X的3次独立重复观测中事件发生的次数,则P{Y≤2}=______.
A. B. C. D.
二、填空题
1、=______.
2、设,为连续函数,则a=______,b=______.
3、函数展开成x的幂级数为______.
4、设某商品需求量Q是价格P的单减函数Q=Q(P),其需求弹性,则总收益R对价格P的弹性函数为______.
5、设n阶方阵A与B相似,A2=2E,则|AB+A-B-E|=______.
6、设X1,X2,…,X5是取自正态总体N(0,σ2)的一个简单随机样本,若服从t分布,则a=______.
三、解答题
1、已知,且f(0)=g(0)=0,试求
2、计算不定积分
3、设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,f(0)=0,0<f'(x)<1,x∈(0,1).
证明:
4、设二阶连续可导,又因为,且,当x>0,求f(x).
5、求幂级数的收敛域及和函数.
6、设α1,α2,α3,α4,β为4维列向量,A=(α1,α2,α3,α4),若Ax=β的通解为(-1,1,0,2)T+k(1,-1,2,0)T,
则(Ⅰ)β能否由α1,α2,α3线性表示?
为什么?
(Ⅱ)求α1,α2,α3,α4,β的一个极大无关组.
7、设二次型的正负惯性指数都是1.
(Ⅰ)计算a的值;
(Ⅱ)用正交变换将二次型化为标准形;
(Ⅲ)当x满足xTx=2时,求f的最大值与最小值.
8、设箱中有5件产品,其中3件是优质品.从该箱中任取2件,以X表示所取的2件产品中的优质品件数,Y表示箱中3件剩余产品中的优质品件数.
(Ⅰ)求(X,Y)的概率分布;
(Ⅱ)求Cov(X,Y).
9、设某商品一周的需求量是X,其概率密度为若各周对该商品的需要相互独立.
(Ⅰ)以Uk表示k周的需求量,求U2和U3的概率密度f2(u)和f3(u);
(Ⅱ)以Y表示三周中各周需求量的最大值,求Y的概率密度fY(y).
答案:
一、选择题
1、C
[考点]导数、驻点、极值的定义与未定式的极限.
[解析]先利用等价无穷小代换及四则运算简化未定式极限,再利用导数、驻点及极值的定义判定得结果.
解:
因为f(x)在x=1连续,所以,由知,即f
(1)=0.
则当x→0,ln[f(x+1)+1+3sin2x]~f(x+1)+3sin2x,
推得
于是
所以x=0是f(x)的驻点.
又由,以及极限的保号性知
当时,,即f(x)<0,也就是f(x)<f
(1).
所以f
(1)是极大值.x=1是极大值点.
故应选C.
2、B
[考点]定积分的不等式性质及几何意义,曲线单调性及凹凸性的判定.
[解析]首先判定函数的单调性及凹凸性,然后用定积分的不等式性质或几何意义即得结果.
解法一:
由f'(x)<0,f"(x)>0知曲线y=f(x)在[a,b]上单调减少且是凹的,于是有
于是
而
所以,S2<S1<S3.
故应选B.
解法二:
利用定积分的几何意义.
因曲线y=f(x)在[a,b]单调减少且是凹的,如下图所示,由定积分的几何意义知
曲线梯形ABCD的面积,
S2f(b)(b-a)=矩形ABCE的面积,
S3=[f(a)+f(b)](b-a)=直边梯形ABCD的面积,
又因矩形ABCE曲边梯形ABCD直边梯形ABCD,所以S2<S1<S3.
故应选B.
3、C
[考点]隐函数的偏导数.
[解析]利用隐函数求偏导数的方法即可求得.
解:
方程两边关于x求偏导数,注意z是x,y的函数,得
解得.方程两边关于y求偏导数,得
解得.于是,
故应选C.
4、B
[考点]二重积分的对称性质.
[解析]根据二重积分的可加性和对称性结论可得.
解:
积分区域D如下图所示,被分割成D1,D2,D3,D4四个小区域,其中D1,D2关于y轴对称,D3,D4关于x轴对称,从而
由于xy关于x或y都是奇函数,则
而ex2siny关于x是偶函数,关于y是奇函数,则
所以
故应选B.
5、C
[考点]方程组的基础解系理论.
[解析]首先确定A秩,进而确定A*的秩;利用A与A*的关系及已知条件即可判别.
解:
由Ax=0的基础解系仅含有一个解向量知,r(A)=3,从而r(A*)=1,于是方程组A*x=0的基础解系中含有3个解向量.
又A*A=A*(α1,α2,α3,α4)=|A|E=0,
所以向量α1,α2,α3,α4是方程组A*x=0的解.
因为(1,0,2,0)T是Ax=0的解,故有α1+2α3=0,即α1,α3线性相关.从而,向量组α1,α2,α3与向量组α1,α2,α3,α4均线性相关,故排除A、B、D选项.
事实上,由α1+2α3=0,得α1=0x2-2α3+0α4,即α1可由α2,α3,α4线性表示,又r(α1,α2,α3,α4)=3,所以α2,α3,α4线性无关,即α2,α3,α4为A*x=0的一个基础解系.
故应选C.
6、D
[考点]矩阵可逆、同解、相似矩阵的基本结论.
[解析]通过举反例排除A、B、C.
解:
A与B类似,故均错误,而C仅是必要而非充分条件,故应选D.
事实上,若A~B,则由相似矩阵的性质知E-A~E-B;
反之,若E-A~E-B,则E-(E-A)~E-(E-B),即A~B.
对于选项A,若A与B均不可逆,则|A|=|B|=0,从而|AB|=|A||B|=0,即AB不可逆,但若AB不可逆,推出A与B均不可逆,如A=E,B=,则AB=B不可逆,但A可逆.
对于选项B,与选项A相近,由于r(AB)≤min{r(A),r(B)},故若r(A)<n与r(B)<n均成立,则r(AB)<n.但反之,若r(AB)<n,推不出r(A)<n或r(B)<n,如A=E,B=,则r(AB)=
r(B)=1<2,但r(A)=2.
对于选项C,由同型矩阵A与B等价r(A)=r(B)可知,若Ax=0与Bx=0同解,则A与B等价;但反之不然,如A=,B=,则A,B等价,但Ax=0与Bx=0显然不同解.
故应选D.
7、A
[考点]考查正态分布.
[解析]化标准正态分布进行计算.
解:
由于,所以
故p1=p2,而且与μ的取值无关.
故应选A.
8、C
[考点]考查伯努利概型与二项分布.
[解析]利用f(x)求,然后利用二项分布求P{Y≤2).
解:
故P{Y≤2}=1-P{Y=3}=1-
故应选C.
二、填空题
1、
[考点]未定式的极限.
[解析]首先将“∞·0”型未定式恒等变形指数化.即化为以e为底的指数函数,再对指数上面的未定式“∞-∞”型求极限即可.
解:
而
所以,
故应填.
2、
[考点]分段函数的连续.
[解析]根据分段函数在分段点的连续性即可求得a,b.
解:
因为f(x)为分段函数,且为连续函数,则f(x)在分段点x=0,x=1均连续,即
而
则.
f
(1)=a+b,则a+b=1.解得
故应填.
3、
[考点]函数的幂级数展开.
[解析]将函数表达式分解为常用函数的代数形式,利用常用函数的幂级数展开即可.
解:
其中-1<x<1且-1<<1,解得收敛域为-1<x<1.
故应填.
4、
[考点]弹性函数.
[解析]先求出收益函数表达式,再根据弹性函数定义求收益的弹性函数.
解:
R=PQ=PQ(P),则R'(P)=Q(P)+PQ'(P),由题意知,需求弹性,则收益对价格P的弹性函数为
5、
[考点]抽象行列式的计算.
[解析]将所求矩阵进行整理,再利用条件求解.
解:
AB+A-B-E=(A-E)B+A-E=(A-E)(B+E).
又A2=2E,得(A-E)(A+E)=E.
再由A,B相似,得A+E和B+E相似,从而|A+E|=|B+E|.
于是|AB+A-B-E|=|A-E|·|B+E|=|A-E|·|A+E|=|E|=1.
故应填1.
6、
[考点]考查抽样分布.
[解析]利用χ2分布与t分布的定义得出结论.
解:
因为相互独立,由t分布定义,有
三、解答题
1、解:
由知,
又f(0)=0,代入f(x)表达式得C=0,故
由,则
又g(0)=0得C1=0,知g(x)=ln(1+x).于是
因为
故当x→0时,,所以,
[考点]“∞-∞”型未定式的极限与不定积分.
[解析]首先利用不定积分确定函数f(x)与g(x),然后求未定式的极限即可.
若没有注意到x→0时,~x,并用等价无穷小x代替时,而继续用洛必达法则,则问题将变得非常烦琐,导致不能给出正确结果.
2、解法一:
设x=tant,则
又
移项得
因此,
解法二:
移项整理得
[考点]不定积分的计算.
[解析]利用不定积分的换元积分法和分部积分法计算即可.
3、证:
令.易知F(0)=0,且F(x)在[0,1]可导,则
记,则g(x)在(0,1)可导,即g'(x)=2f(x)=2f(x)f'(x)=2f(x)[1-f'(x)],
由于0<f'(x)<1,x∈(0,1),则f(x)在[0,1]内递增.
则当0<x≤1时,f(x)>f(0)=0,
于是g'(x)>0,x∈(0,1),则g(x)在[0,1]递增,
即当0<x≤1时,g(x)>g(0)=0,
所以,当0<x≤1时,F'(x)=f(x)g(x)>0,
即F(x)在0≤x≤1时递增,故当0<x≤1时,F(x)>F(0)=0,
特别地,有F
(1)>0,即
所以
[考点]积分不等式证明.
[解析]构造辅助函数,根据单调性理论证明F(x)>0,x∈(0,1]即可.
有些同学没有想到构造变上限积分作辅助函数,只是一心想着用定积分的计算方法和不等式性质去证明,可能就陷于困局,证不出结论.
4、解:
由,f二阶连续可导,知
而
由对称性知
则
令.于是
即,C1,C2为常数.
由f
(1)=0,f'
(1)=2,知
故
[考点]二阶微分方程与偏导数计算及导数定义.
[解析]首先通过计算偏导数确定二阶微分方程,根据极限及导数定义确定初始条件,最后化为二阶微分方程求特解即得结果.
5、解:
,收敛半径
当x=-1时,原级数为收敛,当x=1时,原级数为收敛,故幂级数的收敛域为[-1,1].
令,则
于是
则
当x≠0时,,所以
当x=0时,S(0)=0,
当x=1时,原级数为(用收敛的定义),
当x=-1时,原级数为
故的和函数为
[考点]幂级数的收敛域与和函数.
[解析]利用公式求收敛半径,确定收敛域,利用幂级数的分析性质求和函数.
常见错误有以下情形:
①部分同学分不清“收敛域”和“收敛区间”,没有讨论端点的敛散性.
②使用幂级数的性质(逐项积分、逐项求导)时,计算不仔细,会导致结果有误.
6、解:
(Ⅰ)假设可以,即β=k1α1+k2α2+k3α3,则(k1,k2,k3,0)T是Ax=β的解.
从而(k1,k2,k3,0)T-(-1,1,0,2)T=(k1+1,k2-1,k3,-2)T就是Ax=0的解.
但是显然(k1+1,k2-1,k3,-2)T和(1,-1,2,0)T线性无关.
所以β不可以由α1,α2,α3线性表示.
(Ⅱ)因为(-1,1,0,2)T是Ax=β的解,则β=-α1+α2+2α4.
又因为(1,-1,2,0)T是Ax=0的解,则α1-α2+α3=0.
所以,β和α3都可由α1,α2,α4线性表示.
又由r(α1,α2,α3,α4,β)=r(α1,α2,α3,α4)=3,所以,α1,α2,α4是极大无关组.
[考点]方程组的解与向量组的线性关系之间的联系.
[解析](Ⅰ)利用反证法;
(Ⅱ)由条件所给方程组的解,来确定向量之间的线性关系.
7、解:
(Ⅰ)二次型的矩阵为,则二次型的正负惯性指数都是1,可知,r(A)=2,
所以a=-2,或a-1,又a=1时,显然r(A)=1,故只取a=-2.
(Ⅱ)此时|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3),所以A的特征值是3,-3,0.
当λ1=3时,解方程组(3E-A)x=0,得基础解系为α1=(1,0,1)T;
当λ2=-3时,解方程组(-3E-A)x=0,得基础解系为α2=(1,-2,-1)T;
当λ3=0时,解方程组(0E-A)x=0,得基础解系为α3=(1,1,-1)T.
将α1,α2,α3单位化得
故有正交阵
[考点]二次型的标准形.
[解析]先根据惯性指数求得a,再求特征值及单位化的特征向量,将二次型标准化,最后借助标准形求得f的最值.
8、解:
(Ⅰ)因为X的所有可能的取值为0,1,2,Y的所有可能的取值为3,2,1,且X+Y=3,所以,
P{X=0,Y=3}=P{X=0}
P{X=1,Y=2}=P{X-1}
P{X=2,Y=1}=P{X-2}
P{X=0,Y=1}=P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=1}=0,
P{X=0,Y=3}=P{X=2,Y=2}=P{X=2,Y=3}=0.
由此得(X,Y)的概率分布为
(Ⅱ)因为Y=3-X,所以Cov(X,Y)=Cov(X,3-X)=-Cov(X,X)=-D(X).
易知X的概率分布为
X
0 1 2
P
故
所以
[考点]考查离散型随机变量的概率分布.
[解析]利用古典概率求出(x,y)的概率分布,然后用公式或性质求Cov(x,y).
9、解:
设Xi表示第i周的需求量,i=1,2,3,则X1,X2,X3独立同分布.
(Ⅰ)令U2=X1+X2,
令U3=X1+X2+X3,
(Ⅱ)因为Y=max{X1,X2,X2},
所以FY(y)=[F(y)]3,其中
故
[考点]考查多维随机变量函数的分布.
[解析]利用公式或一般方法求随机变量之和的分布、随机变量最大值函数的分布.
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