高等数学下册试题及答案解析doc.docx
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高等数学下册试题及答案解析
一、填空题(每小题3分,共计24分)
1、z=
loga(x2
y2)(a
0)的定义域为D=.
ln(x2
y2)dxdy
2、二重积分|x||y|
1
的符号为
.
3、由曲线yln
x及直线x
ye1,y
1所围图形的面积用二重积分表示为
,其值
为.
x
(t)
(x
),
y
(t)
4、设曲线L的参数方程表示为
则弧长元素ds
.
5、设曲面∑为
x2
y2
9介于z
0及z
3间的部分的外侧,则
(x2
y2
1)ds
.
dy
y
y
6、微分方程dx
tan
x的通解为
.
x
7、方程y(4)
4y0的通解为
.
1
8、级数n1n(n
1)的和为
.
二、选择题(每小题
2分,共计
16分)
1、二元函数z
f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是(
)
(A)f(x,y)在(x0,y0)处连续;
(B)fx(x,y),fy(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在;
z
fx(x0,y0)xfy(x0,y0)y
当
(x)2
(C)
lim
z
fx(x0,y0)x
fy(x0,y0)y
0
x0
(x)2
(y)2
(D)y0
.
uyf(x)
xf(y),
f
2、设
y
x
其中
具有二阶连续导数,则
(A)x
y;
(B)x;
(C)y;
(D)0.
2
(y)0时,是无穷小;
2u
2u
x
2
y
2
x
y
等于(
)
:
x2
y2
z2
I
zdV
3、设
1,z
0,则三重积分
等于(
)
2d
2d
1
3sin
cosdr
(A)4
r
0
0
0
;
2d
d
1
2sin
dr
(B)0
r
0
0
;
1/18
2
2d
1
r
3sin
cos
dr
d
(C)0
0
0
;
2
d
1
r
3sin
cos
dr
d
(D)0
0
0
.
4、球面x2
y2
z2
4a2
与柱面x2
y2
2ax所围成的立体体积
V=(
)
4
2d
2acos
4a2
r
2dr
0
(A)
0
;
4
2d
2acos
4a2
r2dr
0
r
(B)
0
;
8
2d
2acos
4a2
r2dr
0
r
(C)
0
;
2d
2acos
4a2
r2dr
0
r
(D)
2
.
5、设有界闭区域
D由分段光滑曲线
L所围成,L取正向,函数
P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续
偏导数,则
Pdx
Qdy
(
)
L
(
P
Q
)dxdy
(A)D
y
x
;
(B)
(
P
Q)dxdy
(C)D
x
y
;
(D)
6、下列说法中错误的是(
)
D
D
Q
P
(
)dxdy
y
x
;
(Q
P)dxdy
x
y
.
(A)方程xy
2y
x2y0是三阶微分方程;
ydy
xdy
ysinx
(B)方程
dx
dx
是一阶微分方程;
(C)方程(x2
2xy3)dx
(y2
3x2y2)dy0是全微分方程;
dy
1
2y
(D)方程dx
x
x
2
是伯努利方程.
7、已知曲线y
y(x)经过原点,且在原点处的切线与直线
2x
y6
0平行,而y(x)满足微分方
程y
2y
5y
0,则曲线的方程为
y
(
)
(A)
exsin2x;
(B)ex(sin2x
cos2x)
;
(C)ex(cos2x
sin2x);
(D)exsin2x.
limnun
0
则n1
un
8、设n
(
)
(A)收敛;
(B)发散;
(C)不一定;
(D)绝对收敛.
三、求解下列问题(共计
15分)
1、(7分)设f,g均为连续可微函数.u
u,
u
f
(x,xy),v
g(x
xy),求x
y.
u(x,t)
x
t
u,
u
x
f(z)dz
2、(8分)设
t
,求
x
t.
2/18
四、求解下列问题(共计
15分).
2
2
y2
dy
1、计算I
dx
e
0
x
.(7
分)
I
(x2
y2)dV
是由x
2
y2
2z,z1及z
2所围成的空间闭区域(
8分).
2、计算
,其中
I
xdy
ydx
L
2
2
五、(13分)计算
x
y,其中L是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点O(0,0)
的封闭曲线的逆时针方向.
f(x)f(y)
x,y,f(x)满足方程
f(xy)
六、(9分)设对任意
1f(x)f(y),且f(0)存在,求f(x).
(1)n(x
2)2n
1
七、(8分)求级数n1
2n1
的收敛区间.
高等数学(下册)试卷
(二)
一、填空题(每小题
3分,共计
24分)
z
z
1、设
2sin(x
2y3z)
x2y3z
,则
x
y
.
3
9
xy
lim
xy
x
0
2、y
0
.
I
2
2x
f(x,y)dy
dx
x
I
3、设
0
,交换积分次序后,
.
lim
1
3
f(x2
y2)d
4、设f(u)为可微函数,且
f(0)
t
0
t
.
0,则
x2
y2t2
5、设L为取正向的圆周
x2
y2
4,则曲线积分
y(yex
1)dx
(2yex
x)dy
L
.
6、设A
(x2
yz)i
(y2
xz)j
(z2
xy)k,则divA
.
7、通解为yc1ex
c2e2x的微分方程是
.
f(x)
1,
x
0
0
x
an
8、设
1,
,则它的Fourier展开式中的
.
二、选择题(每小题
2分,共计
16分).
3/18
f(x,y)
xy2
x2
y2
0
x2
y4
1、设函数
0,
x2
y2
0
)
则在点(0,0)处(
(A)连续且偏导数存在;
(C)不连续但偏导数存在;
2、设u(x,y)在平面有界区域
2u
2u
xy
0
及x2
则(
)
(B)连续但偏导数不存在;
(D)不连续且偏导数不存在.
D上具有二阶连续偏导数,且满足
2u
0
y2
,
(A)最大值点和最小值点必定都在
D的内部;
(B)最大值点和最小值点必定都在
D的边界上;
(C)最大值点在
D的内部,最小值点在
D的边界上;
(D)最小值点在
D的内部,最大值点在
D的边界上.
D:
(x2)2
(y
1)2
1,若
I1
(xy)2d
I2
(xy)3d
3、设平面区域
D
,
D
则有(
)
(A)I1
I
2;(B)I1
I2;
(C)I1
I2;
(D)不能比较.
是由曲面z
xy,y
x,x
1及z
0所围成的空间区域,则
xy2z3dxdydz
4、设
=(
)
1
1
1
1
(A)361;
(B)362;
(C)363;
(D)364.
x
(t)
5、设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,
L的参数方程为
y
(t)(
t),其中
(t),
(t)在[
]上具有一阶连续导数,且
2
(t)
2
(t)
0,则曲线积分
f(x,y)ds
L
(
)
f(
(t),
(t))dt
(B)
f(
(t),(t))
2(t)
2(t)dt
(A)
;
;
(C)
f(
(t),
(t))
2(t)
2(t)dt
;(D)
f(
(t),
(t))dt
.
6、设
是取外侧的单位球面
x2
y2
z2
1,则曲面积分
xdydz
ydzdx
zdxdy
=(
)
(A)0;
(B)
2
;(C)
;(D)4.
7、下列方程中,设y1,y2是它的解,可以推知
(A)
y
p(x)y
q(x)0;
(B)y
(C)
y
p(x)y
q(x)y
f(x);(D)
an
y1
y2也是它的解的方程是(
)
p(x)yq(x)y0;
y
p(x)yq(x)0.
8、设级数n1
为一交错级数,则(
)
(A)该级数必收敛;
(B)该级数必发散;
(C)该级数可能收敛也可能发散;
(D)若an
0(n0),则必收敛.
4/18
三、求解下列问题(共计
15分)
1、(8分)求函数u
ln(xy2
z2)在点A(0,1,0)沿A指向点B(3,-2,2)
的方向的方向导数.
2、(7分)求函数f(x,y)
x2y(4xy)在由直线xy
6,y0,x0所围成的闭区域
D上的最
大值和最小值.
四、求解下列问题(共计
15分)
dv
I
3
1、(7分)计算
(1xyz)
,其中
是由x
0,y0,z0及x
yz1所围成的立体
域.
2、(8分)设f(x)为连续函数,定义
F(t)
[z2
f(x2
y2)]dv
,
(x,y,z)|0zh,x2
y2
t2
dF
其中
,求dt.
五、求解下列问题(15分)
1、(8分)求
I(exsinymy)dx(excosym)dy
,其中L是从A(a,0)经y
axx
2
L
到
O(0,0)的弧.
I
x2dydzy2dzdxz2dxdy
是x2
y2
z2(0za)的外侧.
2、(7分)计算
,其中
六、(15分)设函数
(x)具有连续的二阶导数,并使曲线积分
[3(x)2
(x)xe2x]ydx(x)dy
L
与路径无关,求函数(x).
高等数学(下册)试卷(三)
一、填空题(每小题3分,共计24分)
5/18
u
yz
t2
dt
u
e
1、设
xz
,则z
.
2、函数f(x,y)
xy
sin(x2y)在点(0,0)处沿l
(1,2)的方向导数
f
(0,0)
l
=.
x2
y2,z
I
f(x,y,z)dv
3、设
为曲面z
1
0所围成的立体,如果将三重积分
化为先对z
再对y最后对x三次积分,则I=
.
lim
1
f(x,y)d
2
22
2
4、设f(x,y)为连续函数,则
I
t0
t
D
,其中D:
x
y
t.
(x2
y2)ds
L:
x
2
y
2
a
2
5、L
,其中
.
6、设
是一空间有界区域,其边界曲面
是由有限块分片光滑的曲面所组成,如果函数
P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在
上具有一阶连续偏导数,则三重积分与第二型曲面积分之
间有关系式:
,该关系式称为
公式.
7、微分方程y
6y
9y
x2
6x
9的特解可设为y*
.
(
1)n1
8、若级数n1
np
发散,则p
.
二、选择题(每小题
2分,共计
16分)
f(xa,b)
f(ax,b)
lim
1、设fx(a,b)存在,则x0
x
=(
)
1
(A)fx(a,b);(B)0;(C)2fx(a,b);(D)2
fx(a,b).
2、设z
xy2
,结论正确的是(
)
2z
2z
0
2z
2z
0
(A)xy
yx
;(B)xy
yx
;
2z
2z
(C)xy
0
yx;(D)
3、若f(x,y)为关于x的奇函数,积分域
2z
2z
0
xy
yx
.
D关于y轴对称,对称部分记为
D1,D2,f(x,y)在D上连
f(x,y)d
续,则D()
f(x,y)d
f(x,y)d
f(x,y)d
(A)0;(B)2D1
;(C)4D1
;(D)2D2
.
:
x2
y2
z2
R2,则
(x2
y2)dxdydz
4、设
=(
)
8
R5
4
R5
8
R5
16
R5
(A)3
;(B)3
;(C)15
;
(D)15
.
5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线
L,在点(x,y)处的线密度为
(x,y),则曲线弧L的重心的x
坐标x为(
)
6/18
1
x
(x,y)ds
1
x(x,y)dx
(A)x=M
;(B)x=M
L
L
;
x
(x,y)ds
1
xds
(C)x=L
;
(D)x
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