级数学与应用数学综合课程设计题目.docx
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级数学与应用数学综合课程设计题目
2011级数学与应用数学专业综合课程设计
综合课程设计是让学生通过动手动脑解决实际问题,让学生学完本专业的基本课程后进行的一次全面的综合训练,是一个非常重要的教学实践环节,通过综合课程设计,使学生经受一次综合运用所学知识,解决实际问题的方法的训练。
培养学生理论联系实际和独立思考的能力,并激发学生的实际开发创造的意识和能力。
使学生初步尝试把实际问题按给定目的抽象成数学形式,并得出其求解结果,体会建立数学模型过程的各个环节及其相互联系,掌握建立数学模型的基本方法,从而体会数学模型应用的广泛的适用性。
通过综合课程设计,培养学生综合运用数学知识和方法及相关的专业知识解决各种实际问题的能力。
要求:
1、由班长负责将下列的综合课程设计题目分给数学与应用数学专业的每个同学。
2、每班3人一组从下列12个题目中选1题(同一班级各组应选不同的题目)撰写小论文。
3、班长负责将论文及电子文档在第18周星期五(6月27日)下午四点前交数学系办公室。
题目1
我们经常可以从电视看到这样的景象,山区的农民过河时使用溜索。
由于设计问题,当滑到终点时速度还很快,所以我们看到人们在溜索时手中会握着一把草用于快到终点时减速。
现要求设计一个溜索,条件及要求如下。
某路政部门负责城市某条道路的路灯维护。
更换路灯时,需要专用云梯车进行线路检测和更换灯泡,向相应的管理部门提出电力使用和道路管制申请,还要向雇用的各类人员支付报酬等,这些工作需要的费用往往比灯泡本身的费用更高,灯泡坏1个换1个的办法是不可取的。
根据多年的经验,他们采取整批更换的策略,即到一定的时间,所有灯泡无论好与坏全部更换。
上级管理部门通过监察灯泡是否正常工作对路政部门进行管理,一旦出现1个灯泡不亮,管理部门就会按照折合计时对他们进行罚款。
(1)路政部门面临的问题是,多长时间进行一次灯泡的全部更换,换早了,很多灯泡还没有坏;换晚了,要承受太多的罚款。
试建立一个数学模型,求出更换周期的表达式。
(2)现抽查某品牌灯泡200个,测的其寿命见下表,每个灯泡的更换价格(包括灯泡的成本和安装时分摊到每个灯泡的费用)为80元,管理部门对每个不亮的灯泡制定的惩罚费用为0.02元/小时,应多长时间进行一次灯泡的全部更换。
(3)考虑到没有坏的灯泡还有一定的回收价值(常数),建立相应的数学模型,并求出更换周期的表达式。
如该品牌每个未坏灯泡的回收价格为5元,计算最佳更换周期。
抽查的200个某品牌灯泡寿命(单位:
小时)
3898.23981.84152.13996.24122.73930.44000.83921.7
4058.73974.94048.04066.83992.24088.94230.94052.5
3998.84091.34005.63889.34048.53999.53972.44127.6
4186.33947.74010.33919.24068.03763.54099.04021.9
4026.24121.33972.53986.73872.93833.63929.64028.1
3945.93866.64107.33928.83998.93999.93975.14039.7
3973.63833.63897.14024.33874.33965.33905.93882.5
3897.93959.84017.43988.44106.43975.53848.24001.0
4007.14031.74050.04127.83945.24026.13998.73942.0
4213.63974.23859.04177.04032.63888.14062.04127.0
3910.44013.53986.13883.74118.43998.54053.63928.4
3934.44031.44010.74184.83972.54221.34150.93805.5
3831.93942.63981.44000.94083.73927.83927.93979.9
3998.04027.94105.84062.23824.94069.74081.14063.6
4131.04032.73932.73985.13755.14047.34011.73940.9
3934.53891.93995.24037.93967.03950.03996.43982.5
3904.34129.34044.14128.13950.23888.14080.84004.1
3924.43991.13799.14108.43901.93931.24133.93909.1
3958.73949.44162.04008.13891.93887.54173.64193.7
4163.53874.43978.63980.14030.73942.83902.23955.3
4108.24237.34022.93973.34070.23951.24186.24110.7
3877.23933.04134.14038.84039.33829.34022.84068.6
3936.33899.73981.43894.63992.84027.94137.34018.0
3945.84163.44082.54023.14067.23949.24085.64026.9
4062.53895.34153.64043.43808.34047.04127.44063.9
题目2
某水厂下属
、
、
、
四个自来水子公司,其每天净化能力分别为:
450千吨、300千吨、315千吨、500千吨。
它们负责向
、
、
、
、
、
、
、
、
、
十个地区供水,其管道连接情况可用以下矩阵
表示:
注:
=1表示子公司向
地区有管道连接,
表示子公司向
地区无管道连接.
由于地理位置不同各个子公司向各个地区供水所付出的引水管理费也不同,其费用可用以下矩阵W表示:
注:
(单位:
元/千吨)表示子
公司向
地区引水费用.
十个地区每天的基本用水和额外用水如下表所示(单位:
千吨):
地区
基本用水
110
80
90
100
105
30
75
90
110
60
额外用水
80
50
170
140
130
40
80
130
150
75
鉴于以上数据,请建立适当的数学模型解决以下问题:
1)该水厂如何规划所属子公司向十个地区供水,使得在保证这十个地区的基本水情况下收益最大?
2)若这四个子公司净水能力均提高一倍,该水厂又该如何调整供水方案?
题目3
某公司在一块方形100×100土地上露天采矿。
由于是滑坡,坑边的坡度不能小于45°。
现公司决定将问题作为长方体块处理,每个长方形块水平尺寸为25×25,铅直尺寸为12.5,在一个深层上挖四块,则在下一层可以挖一块,其俯视图如下:
图
(1)
所有可挖的块,按已得的估计值,将各块含纯金属的百分数作为块的值,各块的值如下:
第一层第二层
1.6
1.6
1.6
0.85
1.6
2.5
2.0
0.85
1.0
1.0
0.85
0.5
0.85
0.85
0.7
0.35
5.0
5.0
3.0
4.0
4.0
2.0
3.0
3.0
0.8
第三层第四层
14.0
7.0
6.0
5.0
8.0
各层的块挖取费用为
层
一
二
三
四
块费用
3200
6500
9000
11000
挖取一块的收入同该块的值成正比;从一个值为100的块可得收入为230000。
试建立一模型以帮助决定挖取哪些块,使收入减去挖取费用之差为最大。
题目4
某地区共有19个村庄,各村庄之间的距离(单位为km)如图所示,图中每条连线表示有公路相连.现要沿公路铺设天燃气管道.铺设管道的人工和其他动力费用为1万元/km,材料费用为2万元/km.
(1):
如果每个村庄均通天燃气,应如何铺设管道,才使总的铺设费用最少?
(2):
天燃气公司决定在铺设管道前,派人先查看所有公路的状况,以便决定该公路是否可用.他们从村庄1出发,最后又回到村庄1.问他们应如何走,才使走的总路程最少?
(3):
某检修员从村庄1出发,到每个村庄检查天燃气状况,最后又回到村庄1.他应如何走,才使走的总路程最少?
题目5
某中学现有30套福利房欲分配给该校老师,该校有50位教师。
学校经过全体老师讨论决定,分房只考虑下列因素:
职称,工龄,学历,教学情况。
具体情况如下表1,请设计一个数学模型,合理分配这30套住房。
人员
职称
工龄
学历
教学
人员
职称
工龄
学历
教学
P1
1
30
3
1
P26
3
8
2
1
P2
1
25
2
2
P27
3
5
2
2
P3
1
21
2
2
P28
3
9
2
2
P4
1
20
3
1
P29
3
5
2
3
P5
1
19
2
2
P30
3
6
1
2
P6
1
15
1
3
P31
3
4
2
1
P7
2
14
1
2
P32
3
3
2
2
P8
2
16
2
2
P33
3
2
3
2
P9
2
13
2
2
P34
3
5
2
1
P10
2
8
2
1
P35
3
4
2
2
P11
2
10
3
3
P36
3
6
3
3
P12
2
9
3
1
P37
3
8
1
2
P13
2
8
2
3
P38
3
5
1
1
P14
2
12
2
2
P39
3
3
2
2
P15
2
13
3
1
P40
3
4
2
1
P16
2
11
2
2
P41
3
1
2
2
P17
2
10
3
3
P24
3
5
2
1
P18
2
7
2
2
P43
3
2
2
2
P19
2
8
3
1
P44
3
3
3
3
P20
2
9
3
2
P45
3
6
1
1
P21
2
10
2
2
P46
3
4
2
2
P22
2
11
2
2
P47
3
2
2
1
P23
2
13
2
2
P48
3
6
1
1
P24
2
10
2
2
P49
3
3
2
2
P25
2
8
3
3
P50
3
1
2
2
说明:
1、职称中的1,2,3分别表示高级、中级、初级;
2、学历中的1,2,3分别表示研究生、本科、专科;
3、教学中的1,2,3分别表示好,一般,差。
题目6
药物进入机体后,在随血液输送到各个器官和组织的过程中,不断地被吸收、分布、代谢,最终被排除体外。
药物在血液中的浓度,即单位体积血液中药物的含量,称为血药浓度。
血药浓度的大小直接影响到药物的疗效。
因此,药物动力学研究的主要对象是血药浓度随时间变化的规律—药时曲线。
通过建立符合药时曲线的数学模型,确定模型中的参数,这些参数反映了药物在体内的药理作用。
下面是一组口服某种药物300mg,对不同患者随时间变化的血液浓度(ug/ml)分布情况:
时间
浓度
0.5
1
1.5
2
2.5
3
4
5
6
7
8
9
10
患者1
2.78
3.51
4.22
5.10
5.32
5.21
4.65
4.02
3.21
3.11
2.57
1.88
1.12
患者2
2.65
2.98
4.08
5.21
5.42
5.31
4.54
4.20
3.12
2.97
2.32
1.65
1.01
患者3
2.38
3.48
3.99
4.89
5.06
5.18
5.11
4.97
3.86
3.03
2.76
1.82
1.34
患者4
2.98
3.65
4.94
5.35
5.20
5.11
4.78
4.15
3.69
3.07
2.87
2.01
1.41
患者5
2.47
3.37
4.14
4.77
5.22
5.56
5.15
4.96
4.01
3.65
3.01
2.48
1.82
患者6
1.43
2.61
3.54
4.90
5.31
5.20
4.93
4.41
3.88
3.03
2.75
2.08
1.92
患者7
2.58
3.54
4.32
5.21
5.33
5.21
4.64
4.23
3.42
2.96
2.37
1.97
1.02
患者8
2.20
3.42
4.35
5.21
5.65
5.33
4.85
4.21
3.51
3.05
2.67
1.80
0.98
患者9
2.18
3.31
4.02
4.99
5.32
5.25
4.84
4.12
3.31
3.01
2.66
1.98
1.22
患者10
2.38
3.01
4.55
5.22
5.38
5.13
4.75
4.12
3.41
3.01
2.35
1.84
1.10
患者11
1.79
2.98
3.28
4.39
5.06
5.28
5.14
4.97
4.06
3.53
3.16
2.22
1.35
患者12
2.38
3.15
4.94
5.35
5.20
5.11
4.78
4.15
3.69
3.07
2.87
2.01
1.41
患者13
2.47
3.37
4.14
4.77
5.22
5.56
5.15
4.96
4.01
3.65
3.01
2.48
1.82
患者14
1.88
3.01
4.14
5.38
5.21
5.12
4.81
4.24
3.48
3.13
2.45
1.58
0.98
患者15
2.18
3.34
4.13
5.08
5.30
5.22
4.44
4.03
3.12
2.66
2.26
2.01
1.32
患者16
1.67
2.49
3.65
5.27
5.17
4.97
4.64
4.10
3.32
2.95
2.11
1.65
0.82
1.试建立该药物浓度随时间变化的数学模型。
2.如果两次服药的浓度符合简单的叠加原理,并且服用不同剂量的药物其浓度相应地成比例。
假设只有200mg和300mg两种剂量,要使血液中药物浓度大约维持在4—8之间,给出两次服药的合适间隔。
3.若两次服同类药物,第二次服药的浓度只有80%的效应,其它与上述条件相同。
要使血液中药物浓度一天都大约维持在4—8之间,给出一天服药合适的给药时间间隔。
题目7
运动员在高度和体重方面差别很大,为了在举重比赛中对此做出补偿,规定要从运动员举起的重量中减去其体重,以下是1996年奥林匹克运动会上优胜者的举重成绩:
级别
最大体重(千克)
抓举(千克)
挺举(千克)
总重量(千克)
1
54
132.5
155.0
287.5
2
59
137.5
170.0
307.5世界记录
3
64
147.5
187.5
335.0
4
70
162.5
195.0
357.5世界记录
5
76
167.5
200.0
367.5
6
83
180.0
212.5
392.5世界记录
7
91
187.5
213.0
402.5
8
99
185.0
235.0
420.0世界记录
9
108
195.0
235.0
430.0
10
超过108
197.5
260.0
457.5
1. 这个规定暗示了什么关系,结合上表说明这种关系。
2. 已经提出的生理学论证建议肌肉的强度和其横截面的面积成比例,利用这个强度子模型,建立一个表示举重能力和体重之间关系的模型,列出所有的假设,用所提供的数据来检验你的模型。
3. 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关的,提出一个把这种改进融合进去的模型,并讨论两个模型各自的优缺点,然后提出一种经验法则,对不同体重的举重运动员设定障碍,使得比赛受体重因素的影响较小,从而更加公平。
题目8
全民健身计划是1995年在国务院领导下,由国家体委会同有关部门、各群众组织和社会团体共同推行的一项依托社会、全民参与的体育健身计划,是与实现社会主义现代化目标相配套的社会系统工程和跨世纪的发展战略规划。
现在,以全民健身为主要内容的群众性体育活动蓬勃开展,举国上下形成了全民健身的热潮,人民群众健康水平不断提高,同时也扩大了竞技体育的社会影响,提高了竞技体育水平。
现在各级、各类、各种运动比赛比比皆是,这不但提高了全民的身体素质,而且使一批运动员脱颖而出,成为运动健将,为国家争得了荣誉。
在各种运动比赛中,为了使比赛公平、公正、合理的举行,一个基本要求是:
在比赛项目排序过程中,尽可能使每个运动员不连续参加两项比赛,以便运动员恢复体力,发挥正常水平。
问题.表1是某个小型运动会的比赛报名表。
有14个比赛项目,40名运动员参加比赛。
表中第1行表示14个比赛项目,第1列表示40名运动员,表中“#”号位置表示运动员参加此项比赛。
建立此问题的数学模型,并且合理安排比赛项目顺序,使连续参加两项比赛的运动员人次尽可能的少;
表1某小型运动会的比赛报名表
项目
运动员
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
#
#
#
#
2
#
#
#
3
#
#
#
4
#
#
#
5
#
#
#
6
#
#
7
#
#
8
#
#
9
#
#
#
#
10
#
#
#
#
11
#
#
#
#
12
#
#
13
#
#
#
14
#
#
#
15
#
#
#
16
#
#
#
17
#
#
18
#
#
19
#
#
20
#
#
21
#
#
22
#
#
23
#
#
24
#
#
#
#
25
#
#
#
26
#
#
27
#
#
28
#
#
29
#
#
#
30
#
#
31
#
#
#
32
#
#
33
#
#
34
#
#
#
#
35
#
#
#
36
#
#
37
#
#
#
38
#
#
#
#
39
#
#
#
#
40
#
#
#
#
题目9
某货运公司拥有3辆卡车,每辆载重量均为8000kg,可载体积为9.084m3,该公司为客户从甲地托运货物到乙地,收取一定费用。
托运货物可分为四类:
A、鲜活类 B、禽苗类 C、服装类 D、其他类,公司有技术实现四类货物任意混装。
平均每类每kg所占体积和相应托运单价如下表:
类别
A、鲜活类
B、禽苗类
C、服装类
D、其他类
体积(m3/kg)
0.0012
0.0015
0.003
0.0008
托运单价(元/kg)
1.7
2.25
4.5
1.12
托运手续是客户首先向公司提出托运申请,公司给予批复,客户根据批复量交货给公司托运。
申请量与批复量均以公斤为单位,例如客户申请量为1000kg,批复量可以为0~1000kg内的任意整数,若取0则表示拒绝客户的申请。
问题1、如果某天客户申请量为:
A类6500kg,B类5000kg,C类4000kg,D类3000kg,如果要求C类货物占用的体积不能超过B、D两类体积之和的三倍(注意:
仅在问题1中作此要求)。
问公司应如何批复,才能使得公司获利最大?
问题2、每天各类货物的申请总量是随机量,为
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