版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学理专题强化训练27 统计与统计案例正态分布.docx
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版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学理专题强化训练27统计与统计案例正态分布
专题强化训练(二十七)
一、选择题
1.(2019·长春市第一次质量监测)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图所示,则其中位数和众数分别为( )
A.95,94B.92,86
C.99,86D.95,91
[解析] 由题中茎叶图可知,此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114,共17个,故中位数为92,出现次数最多的为众数,故众数为86,故选B.
[答案] B
2.(2019·福建龙岩质检)某科技开发公司甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为108,72,72,现采用分层抽样的方法从这三个部门中抽取7人外出学习,并从这7人中随机抽取2人向全体员工作汇报,则这2人来自不同部门的概率为( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 由题意知应从甲、乙、丙三个部门分别抽取3人,2人,2人.故所求事件的概率为1-
=
.
[答案] D
3.(2019·河南濮阳一模)根据下表中的数据,得到的回归方程为
=
x+9,则
=( )
x
4
5
6
7
8
y
5
4
3
2
1
A.2B.1C.0D.-1
[解析] 由题意可得
=
×(4+5+6+7+8)=6,
=
×(5+4+3+2+1)=3,∵回归方程为
=
x+9且回归直线过点(6,3),∴3=6
+9,解得
=-1,故选D.
[答案] D
4.(2019·郑州一中摸底测试)给出下列命题:
①对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说,k越小,判断“X与Y有关系”的把握越大;
②若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数,则样本的方差不变;
③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越窄,其模拟拟合的精度越高;
④设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)=
-p.
其中,正确命题的个数是( )
A.4B.3
C.2D.1
[解析] ①中,对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说,k越大,判断“X与Y有关系”的把握越大,故①错误;②中,若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数,数据的离散程度不变,则样本的方差不变,故②正确;③中,根据残差的定义可知,在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越窄,预测值与实际值越接近,其模型拟合的精度越高,故③正确;④中,设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,则P(ξ<-1)=p,则P(-1<ξ<1)=1-2p,所以P(-1<ξ<0)=
-p,故④正确.综上所述,正确命题的个数为3,故选B.
[答案] B
5.(2019·河南洛阳一模)将某校100名学生的数学测试成绩(单位:
分)按照[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分成6组,制成的频率分布直方图如图所示,若成绩不低于a为优秀,优秀的人数为25,则a的值是( )
A.130B.140
C.133D.137
[解析] 由题意可知,成绩在[90,100)内的频率为0.005×10=0.05,频数为5,成绩在[100,110)内的频率为0.018×10=0.18,频数为18,成绩在[110,120)内的频率为0.030×10=0.3,频数为30,成绩在[120,130)内的频率为0.022×10=0.22,频数为22,成绩在[130,140)内的频率为0.015×10=0.15,频数为15,成绩在[140,150]内的频率为0.010×10=0.1,频数为10,而优秀的人数为25,成绩在[140,150]内的有10人,成绩在[130,140)内的有15人,所以成绩在[130,150]内的共25人,所以分数不低于130为优秀,故a=130,选A.
[答案] A
6.(2019·广东中山二模)调查机构对某高科技行业进行调查统计,得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图,如图所示:
给出下列三种说法:
①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上,②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%,③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生.其中正确的个数为( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
[解析] 由该行业从业者学历分布饼状图得到:
该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上,故①正确;由从事该行业岗位分布条形图得到:
该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%,故②正确;由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图,无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生,故③错误,故选C.
[答案] C
二、填空题
7.(2019·怀化二模)某校高三
(1)班共有48人,学号依次为1,2,3,…,48,现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本,已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中,则还有一个同学的学号应为________.
[解析] 根据系统抽样的规则——“等距离”抽取,则抽取的号码差相等,易知相邻两个学号之间的差为11-3=8,所以在19与35之间还有27.
[答案] 27
8.(2019·唐山摸底考试)甲、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件,已知尺寸(单位:
mm)在[223,228]内的零件为一等品,其余为二等品.甲、乙两人某天生产零件尺寸的茎叶图如图所示:
从甲、乙两位工人这天所生产的零件中各随机抽取1个零件,则抽取的2个零件等级不相同的概率为________.
[解析] 由茎叶图可知,甲这天生产了10个零件,其中4个一等品,6个二等品;乙这天生产了10个零件,其中5个一等品,5个二等品.所以抽取的2个零件等级不相同的概率P=
=
.
[答案]
9.(2019·江西南昌模拟)在某次高三联考数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115)内的概率为0.75,则任意选取一名学生,该生成绩高于115分的概率为________.
[解析] 由学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>0),且P(85<ξ<115)=0.75,得P(ξ>115)=
=
=0.125.
[答案] 0.125
三、解答题
10.(2019·昆明统一测试)为了研究高一阶段男生、女生对物理学科学习的差异性,在高一年级所有学生中随机抽取20名男生和20名女生,计算他们高一上学期期中、期末和下学期期中、期末的四次物理考试成绩的各自的平均分,并绘制成如下的茎叶图:
(1)请根据茎叶图直观判断,男生组与女生组哪组学生的物理成绩更高?
并用数据证明你的判断;
(2)以样本中40名同学物理成绩的平均分x0为分界点,将各类人数填入如下的列联表.
分数
性别
高于或等于x0
低于x0
男生
女生
(3)请根据
(2)中的列联表判断,能否有99.9%的把握认为物理学科学习能力与性别有关?
附:
K2=
,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解]
(1)男生组物理成绩比女生组物理成绩高.
理由如下:
①由茎叶图可知,男生成绩分布在80~90的较多,其他分布关于茎8具有初步对称性;女生成绩分布在70~80的较多,其他分布关于茎7具有初步对称性.因此男生组成绩比女生组成绩高.
②由茎叶图可知,男生组20人中,有15人(占75%)成绩超过80分,女生组20人中,只有5人(占25%)成绩超过80分,因此男生组成绩比女生组成绩高.
③由茎叶图可知,男生组成绩的中位数是85.5分,女生组成绩的中位数是73.5分,85.5>73.5,因此男生组成绩比女生组成绩高.
④用茎叶图数据计算可知,男生组成绩的平均分是84分,女生组成绩的平均分是74.7分,因此男生组成绩比女生组成绩高.
或者,由茎叶图直观发现,男生组平均分高于80分,女生组平均分低于80分,可以判断男生组成绩高于女生组成绩.(以上给出了4种理由,写出任意一种或其他合理理由均可)
(2)样本中40名同学物理成绩的平均分x0=79.35,以此为分界点,将各类人数填入如下的列联表:
分类
性别
高于或等于x0
低于x0
男生
15
5
女生
5
15
(3)计算得K2的观测值k0=
=10<10.828,
所以没有99.9%的把握认为物理学科学习能力与性别有关.
11.(2019·河南三市联考)某化妆品制造厂每日生产一种面膜x(x≥1)万袋,每日生产的产品当日销售完毕,日销售额为y万元,产品价格随着产量变化而有所变化,经过一段时间的产销,得到了x,y的一组统计数据如下表.
x
1
2
3
4
5
y
5
12
16
19
21
(1)请判断
=
x+
与
=
lnx+
中,哪个模型更适合刻画x,y之间的关系?
可从函数增长趋势方面给出简单的理由;
(2)根据你的判断及下面的数据和公式,求出y关于x的回归方程,并估计当x=8时,日销售额是多少?
参考数据:
ln2≈0.69,
ni≈4.8,
(lni)2≈6.2,5ln1+12ln2+16ln3+19ln4+21ln5≈86.
参考公式:
回归方程
=
x+
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
=
,
=
-
.
[解]
(1)
=
lnx+
更适合刻画x,y之间的关系,理由如下.
x的值每增加1,y的值的增加量分别为7,4,3,2,增加得越来越缓慢,符合对数型函数的增长规律,与直线型函数的均匀增长规律存在较大差异,故
=
lnx+
更适合刻画x,y之间的关系.
(2)令zi=lnxi,
=
=
=14.6,
=
ni≈
×4.8=0.96,
=
(lni)2≈6.2,
iyi=5ln1+12ln2+16ln3+19ln4+21ln5≈86,
所以
=
=
=10,
=
-
=14.6-10×0.96=5,
所以所求的回归方程为
=10lnx+5.
当x=8时,
=10ln8+5=30ln2+5≈30×0.69+5=25.7(万元).
所以,当x=8时,日销售额大约是25.7万元.
12.(2019·武汉调研)为评估M设备生产某种零件的性能,从该设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/mm
78
79
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
93
个数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
经计算,样本的平均值μ=85,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率):
①P(μ-σ 若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断M设备的性能等级. (2)将直径小于或等于μ-2σ的零件或直径大于或等于μ+2σ的零件认定为“次品”,将直径小于或等于μ-3σ的零件或直径大于或等于μ+3σ的零件认定为“突变品”,从样本的“次品”中随意抽取2个零件,求“突变品”个数ξ的数学期望. [解] (1)由题知P(μ-σ P(μ-2σ P(μ-3σ 因为M设备的数据仅满足一个不等式,所以其性能等级为丙. (2)由题意可知,样本中“次品”个数为6,“突变品”个数为2,则“突变品”个数ξ的可能值为0,1,2, P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P E(ξ)=0× +1× +2× = .
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