江苏省南京市13校届高三数学联合调研测试试题含答案解析.docx
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江苏省南京市13校届高三数学联合调研测试试题含答案解析
江苏省南京市13校2019届高三12月联合调研测试
数学试题
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.全集,集合,,则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的基本运算,先求出A∩B,再求其补集即可.
【详解】∵全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},∴A∩B={3},
则∁U(A∩B)={1,2,4,5},
故答案为:
{1,2,4,5}.
【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算,属于基础题.
2.复数(为虚数单位)的模为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由复数代数形式的乘除运算化简,再利用模的公式计算即可.
【详解】∵∴复数的模为.
故答案为:
.
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,属于基础题.
3.在平面直角坐标系中,已知是双曲线的一条渐近线方程,则此双曲线的离心率为.
【答案】2
【解析】
试题分析:
由题意,∴.
考点:
双曲线的标准方程及其几何性质.
4.已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁饮料,从这4瓶饮料中随机取2瓶,则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出从4瓶饮料中随机抽出2瓶的所有的抽法种数,再求出取出的2瓶不是果汁类饮料的种数,利用对立事件的概率即可求得.
【详解】从4瓶饮料中随机抽出2瓶,所有的抽法种数为=6(种),
取出的2瓶不是果汁类饮料的种数为=1(种).
所以所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为P=1﹣=.
故答案为:
.
【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式,考查了对立事件的概率,解答的关键是掌握对立事件的概率和等于1,属于基础题.
5.如图程序运行的结果是.
【答案】
【解析】
试题分析:
初始条件,;运行第一次,,;运行第二次,,;运行第三次,,.满足条件,停止运行,所以输出的,所以答案应填:
.
考点:
程序框图.
6.如图是样本容量为200的频率分布直方图.根据此样本的频率分布直方图估计,样本数据落在内的频数为.
【答案】64
【解析】
试题分析:
样本数据落在内的频率为,所以样本数据落在内的频数为.
考点:
频率分布直方图.
7.设等比数列的前项积为,若,则的值是_______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由P12=32P7,得a8•a9•…•a12=32,再利用等比数列的性质,可求a10.
【详解】∵等比数列{an}的前n项积为Pn,且P12=32P7,∴a1•a2•a3•…•a12=32a1•a2•a3•…•a7,
即a8•a9•…•a12=32,由等比数列的性质,得(a10)5=32,解得a10=2.
故答案为:
2.
【点睛】本题考查等比数列{an}的前n项积,考查等比数列的性质,属于基础题.
8.已知直线、与平面、,,,则下列命题中正确的是_______(填写正确命题对应的序号).
①若,则②若,则
③若,则④若,则
【答案】③
【解析】
【分析】
①②列举反例,③利用面面垂直的判定定理,④利用面面垂直的性质定理,即可判断.
【详解】①如图所示,设α∩β=c,l∥c,m∥c满足条件,但是α与β不平行,故①不正确;
②假设α∥β,l′⊂β,l′∥l,l′⊥m,则满足条件,但是α与β不垂直,故②不正确;
③由面面垂直的判定定理,若l⊥β,则α⊥β,故③正确;
④若α⊥β,α∩β=n,由面面垂直的性质定理知,m⊥n时,m⊥α,故④不正确.
综上可知:
只有③正确.
故答案为:
③.
【点睛】熟练掌握线面、面面垂直与平行的判定与性质定理是解题的关键.否定一个命题,只要举出一个反例即可,属于中档题.
9.已知,,则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由二倍角公式和同角三角函数基本关系可得cos2θ和sin2θ,代入sin(2θ﹣)=sin2θ﹣cos2θ,计算可得.
【详解】∵cos(θ+)=﹣,且θ∈(0,),∴θ+∈(,),sin(θ+)=,
∴sin2θ=﹣cos(2θ+)=1﹣2=,
cos2θ=sin2(θ+)=2sin(θ+)cos(θ+)=﹣,
sin(2θ﹣)=sin2θcos﹣cos2θsin=,
故答案为:
.
【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及二倍角公式和同角三角函数基本关系,属于中档题.
10.在等腰三角形中,底边,,,若,则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由,得D是AC的中点,利用已知条件求出BA的长度,求出cosB,即可的值.
【详解】因为⇒D是AC的中点⇒,
且⇒
所以,因为在等腰三角形中,底边,得AB=
所以cosB==.且
所以==
=2••﹣×5=2﹣=﹣.
故答案为:
﹣.
【点睛】本题考查了向量加减法的几何中的应用和平面向量的数量积的应用,也考查计算能力,属于基础题.
11.已知,若过轴上的一点可以作一直线与相交于,两点,且满足,则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由圆的方程,可得M(1,4)且半径为2,由PA=BA,利用圆的几何性质得动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4,由此建立关于a的不等式,解得即可.
【详解】∵圆M:
(x﹣1)2+(y﹣4)2=4,∴圆心为M(1,4),半径r=2,直径为4,故弦长BA的范围是(0,4].又∵PA=BA,∴动点P到圆M的最近的点的距离小于或等于4,
∵圆与x轴相离,可得P到圆上的点的距离恒大于0.
∴P到M的距离小于或等于6,根据两点间的距离公式有:
,
解之得1﹣2≤a≤1+2,即a的取值范围为[1﹣2,1+2]
故答案为:
[1﹣2,1+2]
【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质,两点间的距离公式和直线与圆的位置关系等知识,转化为数形结合的数学思想,属于中档题.
12.如图,在三棱锥中,、、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为________.
【答案】1
【解析】
∵PA、PB、PC两两垂直,且PA=3.PB=2,PC=1.∴=+x+y
即x+y=则2x+2y=1,又,解得a≥1
∴正实数a的最小值为1
13.已知的三边长,,成等差数列,且,则实数的取值范围是_______.
【答案】.
【解析】
【分析】
由a,b,c成等差数列,设公差为d,则有a=b﹣d,c=b+d,代入已知等式求出b的最大值,由三角形三边关系列出不等式,整理后求出b的范围,即可确定出满足题意b的范围.
【详解】设公差为d,则有a=b﹣d,c=b+d,代入a2+b2+c2=63,化简可得3b2+2d2=63,
当d=0时,b有最大值为,
由三角形任意两边之和大于第三边,得到较小的两边之和大于最大边,即a+b>c,
整理得:
b>2d,
可得:
3b2+2()2>63,解得:
b>3,则实数b的取值范围是(3,].
故答案为:
(3,].
【点睛】本题考查了余弦定理,等差数列的性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键,属于中档题.
14.已知函数,若给定非零实数,对于任意实数,总存在非零常数,使得恒成立,则称函数是上的级类周期函数,若函数是上的2级2类周期函数,且当时,,又函数.若,,使成立,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数f(x)在[0,2)上的解析式,可得函数f(x)在[0,2)上的最值,结合a级类周期函数的含义,可得f(x)在[6,8]上的最大值,对于函数g(x),对其求导分析可得g(x)在区间(0,+∞)上的最小值,将原问题转化为g(x)min≤f(x)max的问题求解.
【详解】根据题意,对于函数,当时,,可得:
当时,,有最大值,最小值,当时,,函数的图像关于直线对称,则此时有,
又由函数是定义在区间内的2级类周期函数,且;
则在上,,则有,
则,
则函数在区间上的最大值为8,最小值为0;
对于函数,有,
得在上,,函数为减函数,
在上,,函数为增函数,
则函数在上,由最小值.
若,,使成立,
必有,即,解可得,即的取值范围为.
故答案为:
.
【点睛】本题考查了函数的最值问题,数学转化思想方法,利用了导数求函数的最值,属于中档题.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),=1,且∠AOC=x,其中O为坐标原点.
(Ⅰ)若x=π,设点D为线段OA上的动点,求的最小值和最大值;
(Ⅱ)若,向量=,=(1-cosx,sinx-2cosx),求的最小值及对应的x值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ),此时.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)设(),又
所以
所以
所以当时,最小值为
(Ⅱ)由题意得,
则
因为,所以
所以当,即时,取得最大值
所以时,取得最小值
所以的最小值为,此时.
考点:
三角函数中的恒等变换应用;平面向量的综合题.
点评:
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,两个向量的数量积的公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
16.如图,在正三棱柱中,点在棱上,,点分别是的中点.
(1)求证:
为的中点;
(2)求证:
平面.
【答案】
(1)见解析
(2)见解析
【解析】
试题分析:
(1)要证为的中点,又AB=AC,即证AD⊥BC即可;
(2)连接,连接交于点,连接,由(1)易证,从而问题得证.
试题解析:
(1)正三棱柱,平面,
又平面,,又,
平面,
又正三棱柱,
平面平面,,为的中点.
(2)连接,连接交于点,连接
矩形,为的中点,
又由
(1)得为的中点,
△中,
又点,分别是,的中点,
△中,,,
又平面,平面
平面
点睛:
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.
17.某校在圆心角为直角,半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示,在相距的,两个位置分别为300,100名学生,在道路上设置集合地点,要求所有学生沿最短路径到点集合,记所有学生进行的总路程为.
(1)设,写出关于的函数表达式;
(2)当最小时,集合地点离点多远?
【答案】
(1),
(2)集合地点离出发点的距离为时,总路程最短,其最短总路程为.
【解析】
【分析】
(1)△AOD中,由正弦定理求得AD、OD,再计算S=300AD+100BD的值;
(2)令函数y=,求导判断函数单调性与最值,从而求出y的最小值以及对应AD的值和S的最小值.
【详解】
(1)因为在中,,,所以由正弦定理可知,
解得,,且,
故,
(2)令,则有,令得
记,,列表得
0
↘
极小值
↗
可知,当且仅当时,有极小值也是最小值为,
当时,此时总路程有最小值.
答:
当集合点离出发点的距离为时,总路程最短,其最短总路程为.
【点睛】本题考查了解三角形的应用问题,也考查了三角函数图象与性质的应用问题,是中档题.
18.如图,、分别为椭圆的焦点,椭圆的右准线与轴交于点,若,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过、作互相垂直的两直线分别与椭圆交于、、、四点,求四边形面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
【分析】
(I)先确定A点坐标为(a2,0),利用,可得F2是AF1的中点,由此可求椭圆方程;(II)当直线MN与PQ中有一条与x轴垂直时,四边形PMQN面积;当直线PQ,MN均与x轴不垂直时,设直线PQ、MN的方程与椭圆方程联立,求得|PQ|,|MN|,表示出四边形PMQN面积,再换元,即可求得四边形PMQN面积的取值范围.
【详解】(Ⅰ)由得,∴点坐标为;∵∴是的中点∴,∴椭圆方程为
(Ⅱ)当直线与之一与轴垂直时,四边形面积;
当直线,均与轴不垂直时,不妨设,
联立代入消去得
设,则,
∴,同理
∴四边形面积
令,则,,易知是以为变量的增函数
所以当,时,,∴
综上可知,,∴四边形面积的取值范围为
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系和四边形面积的计算,正确表示四边形的面积是关键,属于中档题.
19.已知函数,,设.
(Ⅰ)若在处取得极值,且,求函数的单调区间;
(Ⅱ)若时函数有两个不同的零点、.
①求的取值范围;②求证:
.
【答案】
(1)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+)上单调减.
(2)①(,0)②详见解析
【解析】
试题分析:
(1)先确定参数:
由可得a=b-3.由函数极值定义知所以a="-2,b=1".再根据导函数求单调区间
(2)①当时,,原题转化为函数与直线有两个交点,先研究函数图像,再确定b的取值范围是(,0).
②,由题意得,所以,因此须证,构造函数,即可证明
试题解析:
(1)因为,所以,
由可得a=b-3.
又因为在处取得极值,
所以,
所以a="-2,b=1".
所以,其定义域为(0,+)
令得,
当(0,1)时,,当(1,+),
所以函数h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+)上单调减.
(2)当时,,其定义域为(0,+).
①由得,记,则,
所以在单调减,在单调增,
所以当时取得最小值.
又,所以时,而时,
所以b的取值范围是(,0).
②由题意得,
所以,
所以,不妨设x1 要证,只需要证. 即证,设, 则, 所以, 所以函数在(1,+)上单调增,而, 所以即, 所以. 考点: 函数极值,构造函数利用导数证明不等式 20.已知数列的前项和为,把满足条件的所有数列构成的集合记为. (1)若数列通项为,求证: ; (2)若数列是等差数列,且,求的取值范围; (3)若数列的各项均为正数,且,数列中是否存在无穷多项依次成等差数列,若存在,给出一个数列的通项;若不存在,说明理由. 【答案】 (1)见解析; (2);(3)数列中不存在无穷多项依次成等差数列. 【解析】 【分析】 (1)由,得和,再证明,即可满足题意; (2)设的公差为,由,得,又,即,所以d=1,的取值范围;(3)假设数列中存在无穷多项依次成等差数列,不妨设该等差数列的第项为(为常数),由,得到当时,关于的不等式有无穷多个解,推出矛盾,所以不存在. 【详解】 (1)因为,所以,所以,所以,即. (2)设的公差为,因为, 所以 特别的当时,,即, 由得,整理得,因为上述不等式对一切恒成立,所以必有,解得, 又,所以, 于是,即, 所以,即, 所以, 因此的取值范围是. (3)由得,所以,即, 所以, 从而有, 又,所以,即, 又,, 所以有,所以, 假设数列中存在无穷多项依次成等差数列, 不妨设该等差数列的第项为(为常数), 则存在,,使得, 即, 设,,, 则 即, 于是当时,, 从而有: 当时,即, 于是当时,关于的不等式有无穷多个解,显然不成立, 因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列. 【点睛】本题考查的是数列定义的应用和等差数列的性质应用,运用反证法解决存在问题是本题的关键,属于中档题. 数学Ⅱ(附加题) 【选做题】本题包括21,22,23三小题,请选定其中两题作答,每小题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 21.选修4-2: 矩阵与变换---求曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积. 【答案】 【解析】 试题分析: 先由矩阵变换得到曲线方程: ,再根据曲线形状: 菱形,计算其面积: . 试题解析: 设点为曲线上的任一点,在矩阵对应的变换作用下得到的点为, 则由,3分 得: 即5分 所以曲线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为,8分 所围成的图形为菱形,其面积为.10分 考点: 矩阵变换 22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以直角坐标系原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标,直线的极坐标方程为,试求直线与曲线的交点的极坐标. 【答案】 【解析】 【分析】 将两方程化为普通方程,联立,即可求出直线l与曲线C的交点的直角坐标,进而即可得解. 【详解】将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为 将曲线的参数方程化为普通方程可得: 由得,解得或,又,所以, 所以直线与曲线的交点的直角坐标为. 所以直线与曲线的交点的极坐标为. 【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,普通方程的互化,注意自变量的范围,属于基础题. 23.若正数,,满足,求的最小值. 【答案】. 【解析】 【分析】 由a+2b+4c=3,可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10,由柯西不等式可得的最小值. 【详解】因为正数,,满足,所以, 所以, 即. 当且仅当,,时,取最小值. 【点睛】本题考查三元柯西不等式及其应用,考查基本的运算能力,属于基础题. 【必做题】第24题、第25题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 24.在某次活动中,有5名幸运之星.这5名幸运之星可获得、两种奖品中的一种,并规定: 每个人通过抛掷一枚质地均为的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为1点、2点、3点、4点、5点、6点),抛掷点数小于3的获得奖品,抛掷点数不小于3的获得奖品. (1)求这5名幸运之星中获得奖品的人数大于获得奖品的人数的概率; (2)设、分别为获得、两种奖品的人数,并记,求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】 (1); (2),的分布列见解析. 【解析】 【分析】 首先求出5名幸运之星中,每人获得A奖品的概率和B奖品的概率. (1)获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数,得到获得A奖品的人数可能为3,4,5,利用独立重复试验求得概率; (2)由ξ=|X﹣Y|,可得ξ的可能取值为1,3,5,同样利用独立重复试验求得概率,然后列出频率分布表,代入期望公式求期望. 【详解】这5名幸运之星中,每人获得奖品的概率为,奖品的概率为. (1)要获得奖品的人数大于获得奖品的人数,则奖品的人数可能为3,4,5,则 所求概率为. (2)的可能取值为1,3,5,且, , , 所以的分布列是: 1 3 5 故随机变量的数学期望. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望的应用,也考查了独立重复试验,属于中档题. 25.在数学上,常用符号来表示算式,如记=,其中,. (1)若,,,…,成等差数列,且,求证: ; (2)若,,记,且不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】 (1)详见解析 (2) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由题意求出等差数列的通项公式,然后结合二项式系数的性质证明;(Ⅱ)在二项式展开式中分别取x=-1,x=1,求出bn,再借助于二项式系数的性质化简可得,代入不等式,分n为奇数和偶数求得t的取值范围 试题解析: (1)设等差数列的通项公式为,其中为公差 则 因为,所以 所以=. 注: 第 (1)问也可以用倒序相加法证明.(酌情给分) (2)令,则 令,则,所以 根据已知条件可知, ,所以 将、代入不等式得, 当为偶数时,,所以; 当为奇数,,所以; 综上所述,所以实数的取值范围是. 考点: 数列的求和,二项式系数的性质
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