第6讲学生4份实际问题与一元二次方程1.docx
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第6讲学生4份实际问题与一元二次方程1
第6讲 实际问题与一元二次方程
学习目标
1.会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.
2.能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理.
3.进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.
学习重点:
列一元二次方程解决实际问题.
学习难点:
找出实际问题中的等量关系.
学习过程
一、问题1:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
再思考:
如果按照这样的传染速度,三轮后有多少人患流感?
问题2:
一个两位数,它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008,求原来的两位数.
二、某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2550张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( )
A.x(x+1)=2550B.x(x-1)=2550
C.2x(x+1)=2550D.x(x-1)=2550×2
合作探究:
1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,求每个支干长出多少小分支?
2.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为:
___.
二、跟踪练习:
1.两个正数的差是2,它们的平方和是52,则这两个数是( )
A.2和4 B.6和8 C.4和6 D.8和10
总结1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)“审”:
即审题,读懂题意弄清题中的已知量和未知量;
(2)“设”:
即设__未知数__,设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种;
(3)“列”:
即根据题中__等量__关系列方程;
(4)“解”:
即求出所列方程的__根__;
(5)“检验”:
即验证根是否符合题意;
(6)“答”:
即回答题目中要解决的问题.
2.对于数字问题应注意数字的位置.
2、实际问题与一元二次方程----如何解决增长率与降低率问题
增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量.
问题3:
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
(精确到0.01)
绝对量:
甲种药品成本的年平均下降额为(5000-3000)÷2=1000(元),乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元),显然,乙种药品成本的年平均下降额较大.
相对量:
从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?
也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢?
下面我们通过计算来说明这个问题.
对应训练1.
某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?
方法点拨:
此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比.
增长率=增长数∶基准数
设基准数为a,增长率为x,
则一月(或一年)后产量为a(1+x);
二月(或二年)后产量为a(1+x)2;
n月(或n年)后产量为a(1+x)n;
如果已知n月(n年)后产量为M,则有下面等式:
M=a(1+x)n.
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.
合作探究:
某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.(利息税20%)
二、跟踪练习:
青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200kg,2013年平均每公顷产8460kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.
总结.
1.列一元二次方程解应用题的步骤:
审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.
2.若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:
a(1±x)n=b(常见n=2).
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取-)
对应训练2.
(1)某林场现有木材a立方米,预计在今后两年内年平均增长p%,那么两年后该林场有木材多少立方米?
(2)某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐年上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设二、三月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为__________.
(3)公司2001年的各项经营中,一月份的营业额为200万元,一月、二月、三月的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率相同,求这个增长率.
3. 实际问题与一元二次方程-----解决“面积、体积问题。
1.直角三角形的面积公式是什么?
一般三角形的面积公式是什么呢?
2.正方形的面积公式是什么呢?
长方形的面积公式又是什么?
3.梯形的面积公式是什么?
4.菱形的面积公式是什么?
5.平行四边形的面积公式是什么?
6.圆的面积公式是什么?
问题4:
如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?
(精确到0.1cm)
探究:
怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题?
例1.某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少?
(2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完?
例2.如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
思考:
(1)本体中有哪些数量关系?
(2)正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解?
(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?
四、应用拓展
例3某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?
使图
(1),
(2)的草坪面积为540米2.
(2)
练习如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500m2,道路的宽为多少?
例4.如图(a)、(b)所示,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动.
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟,使S△PBQ=8cm2.
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,并且P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使△PCQ的面积等于12.6cm2.(友情提示:
过点Q作DQ⊥CB,垂足为D,则:
)
二、练习
在一幅长8分米,宽6分米的矩形风景画(如图①)的四周镶宽度相同的金色纸边,制成一幅矩形挂图(如图②).如果要使整个挂图的面积是80平方分米,求金色纸边的宽.
合作探究:
如图,某小区规划在一个长为40m、宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144m2,求马路的宽.
二、跟踪练习:
1.如图,要设计一幅宽20cm、长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分),横、竖彩条的宽度比为3∶2,如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度.(精确到0.1cm)
2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形,要求长方形的面积为75cm2.
(1)求此长方形的宽是多少?
(2)能围成一个面积为101cm2的长方形吗?
若能,说明围法.
(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2),长方形的宽为x(cm),求S与x的函数关系式,并求出当x为何值时,S的值最大?
最大面积为多少?
作业
一、选择题
1.2015年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家,后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家,设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x,依题意列出的方程是().
A.100(1+x)2=250B.100(1+x)+100(1+x)2=250
C.100(1-x)2=250D.100(1+x)2
2.一台电视机成本价为a元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售,那么每台售价为().
A.(1+25%)(1+70%)a元B.70%(1+25%)a元
C.(1+25%)(1-70%)a元D.(1+25%+70%)a元
3.某商场的标价比成本高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降低的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为().
A.
B.pC.
D.
二、填空题
1.某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x,第一年的产量为6万kg,第二年的产量为_______kg,第三年的产量为_______,三年总产量为_______.
2.某糖厂2012年食糖产量为at,如果在以后两年平均增长的百分率为x,那么预计2004年的产量将是________.
3.我国政府为了解决老百姓看病难的问题,决定下调药品价格,某种药品在1999年涨价30%后,2001年降价70%至a元,则这种药品在1999年涨价前价格是__________.
4.矩形的周长为8
,面积为1,则矩形的长和宽分别为________.
5.长方形的长比宽多4cm,面积为60cm2,则它的周长为________.
7.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为_______.
三、综合提高题
1.为了响应国家“退耕还林”,改变我省水土流失的严重现状,2010年我省某地退耕还林1600亩,计划到2012年一年退耕还林1936亩,问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2.洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机,其中乙型16台,从二月份起,甲型每月增产10台,乙型每月按相同的增长率逐年递增,又知二月份甲、乙两型的产量之比是3:
2,三月份甲、乙两型产量之和为65台,求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量.
2.某商场于第一年初投入50万元进行商品经营,以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入的资金继续进行经营.
(1)如果第一年的年获利率为p,那么第一年年终的总资金是多少万元?
(用代数式来表示)(注:
年获利率=
×100%)
(2)如果第二年的年获利率多10个百分点(即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和),第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.
3.在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台,要使花坛四周的宽地宽度一样,则这个宽度为多少?
谁能量出道路的宽度:
4.如图,有矩形地ABCD一块,要在中央修一矩形花辅EFGH,使其面积为这块地面积的一半,且花圃四周道路的宽相等,今无测量工具,只有无刻度的足够长的绳子一条,如何量出道路的宽度?
请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题,相信你一定能行.
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