电磁学赵凯华答案第6章 麦克斯韦电磁理论.docx
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电磁学赵凯华答案第6章麦克斯韦电磁理论
1 一平行板电容器的两极板都是半径为的圆导体片,在充电时,其中电场强度的变化率为:
。
试求:
(1)两极板间的位移电流;
(2)极板边缘的磁感应强度。
解:
(1)如图所示,根据电容器极板带电情况,可知电场强度的方向水平向右(电位移矢量的方向与的方向相同)。
因电容器中为真空,故。
忽略边缘效应,电场只分布在两板之间的空间内,且为匀强电场。
已知圆板的面积,故穿过该面积的的通量为
由位移电流的定义式,得电容器两板间位移电流为
因,所以的方向与的方向相同,即位移电流的方向与的方向相同。
(2)由于忽略边缘效应,则可认为两极板间的电场变化率是相同的,则极板间的位移电流是轴对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。
在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为的圆,其上的大小相等,选积分方向与方向一致,
则由安培环路定理可得 (全电流)
因在电容器内传导电流,位移电流为,则全电流为
所以极板边缘的磁感应强度为
根据右手螺旋定则,可知电容器边缘处的磁感应强度的方向,如图所示。
2一平行板电容器的两极板为圆形金属板,面积均为,接于一交流电源时,板上的电荷随时间变化,即。
试求:
(1)电容器中的位移电流密度的大小;
(2)设为由圆板中心到该点的距离,两板之间的磁感应强度分布。
解:
(1)由题意可知,,对于平行板电容器电位移矢量的大小为
所以,位移电流密度的大小为
(2)由于电容器内无传导电流,故。
又由于位移电流具有轴对称性,故可用安培环路求解磁感应强度。
设为圆板中心到场点的距离,并以为半径做圆周路径。
根据全电流安培环路定理可知通过所围面积的位移电流为
所以 . 最后可得
3.如图(a)所示,用二面积为的大圆盘组成一间距为的平行板电容器,用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。
今用可调电源使此电容器以恒定的电流充电,试求:
(1)此电容器中位移电流密度;
(2)如图(b)所示,电容器中点的磁感应强度;(3)证明在此电容器中从半径为﹑厚度为的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。
解:
(1)由全电流概念可知,全电流是连续的。
电容器中位移电流密度的方向应如图(c)所示,其大小为
通过电源给电容器充电时,使电容器极板上电荷随时间变化,从而使极板间电场发生变化。
因此,也可以这样来求:
因为 由于, 因此 所以
(2)由于传导电流和位移电流均呈轴对称,故磁场也呈轴对称,显然过点的线应为圆心在对称轴上的圆,如图(c)所示。
根据全电流安培环路定理,将用于此线上,有
得 所以
(3)在电容器中作半径为﹑厚度为的圆柱体,如图(d)所示。
由坡印廷矢量分析可知,垂直指向圆柱体的侧壁,这表明电磁场的能量是从侧壁流入圆柱体内的。
在单位时间内流入的能量为
因为 所以
由于传导电流和位移电流都不随时间变化,故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。
但电容器中的电场是随时间增强的,故电场的能量是随时间增加的。
图(d)中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为
显然,单位时间内流入圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。
4如图所示,已知电路中直流电源的电动势为﹑电阻,电容器的电容,试求:
(1)接通电源瞬时电容器极板间的位移电流;
(2)时,电容器极板间的位移电流;(3)位移电流可持续多长时间。
(通常认为经过10倍电路时间常数后电流小到可忽略不计)
解:
对串联电路的暂态过程有求解该方程得:
,
表示极板上的电荷量是随时间变化。
在电容器内,由上题结论得电容器中的位移电流为
对应不同的情况,可求得
(1)在接通电源的瞬时,电容器极板间的位移电流。
(2)当时,
(3)在时可认为电流忽略不计,即。
所以
5一球形电容器,其内导体半径为,外导体半径为,两极板之间充有相对介电常数为的介质。
现在电容器上加电压,内球与外球的电压为,假设不太大,以致电容器电场分布与静电场情形近似相等,试求介质中的位移电流密度以及通过半径为的球面的位移电流。
解:
设电容器极板上带有电荷,由位移电流密度公式可知
由于球形电容器具有球形对称,用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为
(为径向单位向量)
球形电容器极板间的电势差为
与上式联立,消去,得
所以位移电流密度为
在电容器中,作半径为的球面,通过它的位移电流为
的流向沿径向,且随时间变化。
6如图所示,电荷以速度向点运动(到点的距离以表示)。
在点处作一半径为的圆,圆面与垂直。
试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度。
解:
电荷在其周围要激发电场,同时由于电荷运动,根据麦克斯韦假设,此时随时间变化的电场又激发磁场。
设时间穿过圆面上的电位移通量为为使计算简便,可以为球心,为半径,为小圆半径的底面,做一球冠,球面上各点的的大小相等,穿过题意圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等。
即
代入位移电流的定义式,得
取半径为的圆为积分回路,由麦克斯韦方程,有
由于运动沿圆面的轴线,系统具有对称性,所以环路上各点的大小相等,即
得
写成矢量形式有 这正是运动电荷产生的磁场公式。
7如图所示,由电容为的电容器和自感系数为的线圈构成一振荡电路,若忽略线路中的电阻,充电后电容器所带电量的幅值为。
试求:
(1)充电时电容器两极板间电位差随时间的变化率;
(2)电路中电流随时间的变化率;(3)电场和磁场能量分别随时间的变化率。
解:
在图示中,将开关先后扳向位置2,1使电容器充﹑放电,便可在电路中产生电流的周期性变化。
设电路中电荷随时间的变化规律为 则电路中的充﹑放电流为
由于在电路中,,所以回路的振荡频率由题意可知,
所以
代入电容器的电容公式,有
表明电容器两极板间电压随时间作用周期性变化。
已知电路中电荷变化规律,则有
电容器储存的电场能量为
线圈储存的磁场能量为
整个电路系统的总能量
8.试证明麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。
解:
由麦克斯韦方程(为传导电流)
设想闭合曲线缩小为一点,相应地以为边界的曲面将变成一个闭合面,在这种情况下有,
即 因此传导电流
而 代入上式得
结果表明,如果一个地方没有电荷量的减小,就不可能从那里流出电荷来。
这就是电荷守恒定律的数学表达式,因此麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。
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