等差等比数列练习题以及基础知识点.docx
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等差等比数列练习题以及基础知识点
一、等差等比数列基础知识点
(一)知识归纳:
1概念与公式:
1等差数列:
1°.定义:
若数列{an}满足an1and(常数),则{an}称等差数列;
2°.通项公式:
ana1(n1)dak(nk)d;
3°.前n项和公式:
公式:
Sn呃色」n&皿^d.
22
2等比数列:
1°.定义若数列{an}满足亠q(常数),则{an}称等比数列;2°.通项公式:
an
anaiqn1akqnk;3°.前n项和公式:
Sn勺也引“q)(q1),当q=1时Snn
2•简单性质:
1q
1q
①首尾项性质:
设数列{an}:
a1,a2,a3,,an,
1.右{an}是等差数列,则a1an
a2an1a3
an2;
2.右{an}是等比数列,则a1an
a2an1a3an
2
②中项及性质:
1°.设a,A,b成等差数列,则A称
a、b的等差中项,
且Aa
2
2°.设a,G,b成等比数列,则G称a、
b的等比中项,且
G.ab
③设p、q、r、s为正整数,且pq
rs,
1.右{an}是等差数列,则apaq
aras;
2°.若{an}是等比数列,则apaq
aras;
④顺次n项和性质:
n2n
3n
2
1°.若{an}是公差为d的等差数列,贝Vak,ak,ak组成公差为nd的等差数列;
k1kn1k2n1
n2n3n
2°.若{an}是公差为q的等比数列,贝Vak,ak,ak组成公差为qn的等比数列•(注意:
当q=—1,n
k1kn1k2n1
为偶数时这个结论不成立)
⑤若{an}是等比数列,
2
则顺次n项的乘积:
a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n组成公比这qn的等比数列.
⑥若{an}是公差为d的等差数列,
1°.若n为奇数,则Snna中S奇S偶a中(注:
a中指中项,即a中an1,而S奇、s偶指所有奇数项、所有偶
数项的和);
2°.若n为偶数,则S偶S奇—.
2
(二)学习要点:
1•学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差d工0的等差数列的通项公式是项n的一
次函数an=an+b;②公差0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数S=an2+bn;③公比qz1的等比数列的前n项公式可以写成“S=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的
2•解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证明的性质解题•
3•巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:
①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m(或
a-m,a,a+m)”②三数成等比数列,可设三数为“a,aq,aq2(或旦,a,aq)”③四数成等差数列,可设四数为q
a,am,a2m,a3m(或a
3m,am,am,a3m);”④四数成等比数列
可设四数为
23a
a,aq,aq,aq(或3,q
a,aq,
q
3
aq),”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验
[例1]解答下述问题:
111
(I)已知一,一,-成等差数列,求证:
abc
caab
成等差数列;
bc
Khi
-,c-成等比数列.
22
(1)
(2)
a
b
a
2
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,
1
12ac2
b
bcc2a2ab
ac
ab
2acb(a①c),
一②
b(ac)a2c2
a
2(ac)2
c
2(a
ac
ac
c)
b'
a--成等差数列;c
-)ac-(ac)
22
-成等比数列.
2
b(ac)
bcca
a,b,⑵(a2)(c
bb
a,,c
22
[评析]判断(或证明)一个数列成等差、
(H)等比数列的项数n为奇数,且所有奇数项的乘积为
等比数列主要方法有:
根据“中项”性质、根据“定义”判断,
1024,所有偶数项的乘积为
[解析]设公比为q,
a1a3a5an
1024
128、2
4:
2
而a1a?
a3a.
1024128.2
35
2y
12
a1q
n1
35
5
35
2n
(a1q)
2T,将
(1)代入得
(22)n
2迈,
5n353
,得n
7.
22
(川)等差
数列{an}中,
公差
d工0
a©,,akti恰为等比数列,其中k1
1,k2
:
5,k3
求数列{kn}的前n项和.
[解析],a5,
a17成等比数列,
2
a5
4a17,
⑻4d)2
a1(a116d)
d(a
2d)0
d0,a1
2d,
数列{ak}的公比qa5a1
4d
3,
a〔a
1
1
aka〔3
n
2d3n1
①
而akna1(kf
11)d2d(kn
1)d
②
由①,②得kn
23n11,
4一2
(1)
17,
*
n1.
3n
{kn}的前n项和Sn2
n1
a1q2
35
3(n1)2
在此数列中依次取出部分项组
成的数列
3n1n
31
[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功
[例3]解答下述问题:
(I)三数成等比数列,若将第三项减去32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去
求原来的三数•
[解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单,
设等差数列的三项分别为
4,
又成等比数列,
(ad)(ad
2
(a4)(a
32)
a—d,
2a
a,
d2
a+d,则有
d)(a
d)
8a
32d32a0
16d2
2
3d32d
640,d
8,得a10或26,
39
原三数为2,10,50或2,26
99
(n)有四个正整数成等差数列,
338
9"
公差为
10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数
[解析]设此四数为a15,a5,a5,a15(a15),
(a152)(a5)2(a5)(a15)(2m)2(mN)
4a25004m2(ma)(ma)125,
1251125525,
ma与ma均为正整数,且mama,
ma1ma2
ma125ma25
解得a62或a12(不合),所求四数为47,57,67,77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是
主要方法•
、等差等比数列练习题
一、选择题
1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列(B)为非零的常数数列
(A为常数数列
(C)存在且唯一
(D不存在
2.、在等差数列an中,
a14,且a1,as,成等比数列,贝Ua.的通项公式为
3、
4、
(Aan3n1
(B)ann
(C)an3n1或an
(Dann3或an4
已知a,b,c成等比数列,且x,y分别为
a与b、b与c的等差中项,则-
x
c
的值为
y
(B)2
(C)2
(D)不确定
互不相等的三个正数a,b,c成等差数列,
x是a,b的等比中项,y是b,c的等比中项,那么
222
x,b,y三个数
(A)
(C)
成等差数列不成等比数列
既成等差数列又成等比数列
(B)成等比数列不成等差数列
(D)既不成等差数列,又不成等比数列
5、
已知数列
an的前n项和为Sn,S2n1
4n22n,则此数列的通项公式为
6、
7、
(A)
已知(z
an2n2
(B)an
8n2
(Can2n1(Dan
n2
2
x)4(xy)(yz),则
(Ax,y,z成等差数列
(B)x,y,z成等比数列
(C-,1,1成等差数列x'y'z
(D)
111
---成等比数列
JJ
xyz
数列an的前n项和Sn
an1,则关于数列an
的下列说法中,正确的个数有
①一定是等比数列,但不可能是等差数列
4可能既不是等差数列,又不是等比数列
②一定是等差数列,但不可能是等比数列
5可能既是等差数列,又是等比数列
3可能是等比数列,也可能是等差数列
(A4
(B)3
(C)
(D1
数列11,31,51,7—,,前n项和为
24816
2121121211
(A)nn1(B)n市(C)nnn1(d)nn市
222222
A4n2aa
9、若两个等差数列an、bn的前n项和分别为An、Bn,且满足一-,则」13的值为()
Bn5n5bsb13
7
/8
(C)
19
7
(A)
(B)—
(D)—
9
7
20
8
10、已知数列
an
的前n项和为Sn
n25n
2,则数列
an
的前
10项和为
()
(A)
56
(B)58
(C)62
(D)60
11、已知数列
an
的通项公式ann
5为,从
an中依次取出第3,
9,27,…
3n,…项,
按原来的顺序排成一个新的数列,则此数
列的前n项和为
()
(A)
n(3
n丄
3)(B)
3n5
(o3
n
10n
3
(D3"
1伽3
2
2
2
12、下列命题中是真命题的是()
A•数列an是等差数列的充要条件是anpnq(p0)
b.已知一个数列an的前n项和为Snan2bna,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
n1
C.数列an是等比数列的充要条件anab
d.如果一个数列an的前n项和Snabnc(a0,b0,b1),则此数列是等比数列的充要条件是ac0
二、填空题
13、各项都是正数的等比数列an,公比q1a5,a7,a8,成等差数列,则公比q=
14、已知等差数列an,公差d
0,a1,a5,a仃成等比数列,则
a1a5a17
a2a6a18
1
15已知数列an满足Sn1an,则an=
4
16、在2和30之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为
解答题
17、已知数列an是公差d不为零的等差数列,数列
abn是公比为q的等比数列,bi
1,b210,b346,求公比q及bn
18、已知等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等,且都等于d(d0,d
1),a1b1,a33b3,a55b5,求an,bn。
19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为
216,后三个数成等差数列,其和为
36,求这四个数。
20、已知an为等比数列,a32,a2a4
20,求an
3
的通项式
2Sn1n1
21、数列an的前n项和记为Sn,a11,an1
(i)求an的通项公式;
(u)等差数列bn的各项为正,其前n项和为Tn,且T315,又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列,求Tn
22、已知数列an满足ai1©i2an1(nN).
(i)求数列an的通项公式;
(ii)若数列bn满足4b,.4b21...4bn1(a.1)bn(nN),证明:
0是等差数列;
数列综合题
、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
A
A
A
C
A
D
D
D
D
二、填空题
1J5
13、14
26
15
4(
1
1xn“
-)16.
3
6鹿
2
29
三、解答题
b〔=a1,ab2=a1o=a1+9d,a=a46=a〔+45d
由{abn}为等比数例,得(a1+9d)=a1(a计45d)得a1=3d,即am=3d,ab2=12d,ab3=48d.
•••q=4又由{abn}是{an}中的第bna项,及abn=ab1n-1=3dn-1,a+(bn-1)d=3d・4n-1
•••bn=3・4n-1-2
22
18.•a3=3b3,a1+2d=3a1d,a1(1-3d)=-2d①
a5=5b5,a1+4d=5a1d4,--a1(1-5d)=-4d②
得1―=2,•cf=1或d2=^,由题意,d=-^,a=-.5。
•an=a+(n-1)d=—(n-6)bn=a1dn-1=-•5•(—^)
①13d25555
a
19.设这四个数为一,a,aq,2aqa
q
a-a则q
aaq(3aqa)36
aq216
①
由①,
②
a3=216,a=6③
③代入②,得3aq=36,q=2
•这四个数为
3,
20.解:
设等比数列{an}的公比为q,则qz0,
6,12,
吏
a2=—=
q
18
2
q,a4=a3q=2q
2201所以q+2q=y,解得qi=3,q2=3,
当q=3时,ai=9,
所以an=9X3n—1=2x3
n—3
21.解:
(l)由an12Sn1可得an2Sn11n2,两式相减得
an1an
2an,an13ann2
又a2
2S|13•••a23a1
故an是首项为1,公比为3得等比数列
3n
(n)设bn的公差为d
由T315得,可得b1b2鸟15,可得b25
故可设b15d,b35d
又a11,a23,839
2
由题意可得5d15d953
解得d12,d210
•••等差数列bn的各项为正,•d0
•d2
nn12
•Tn3n2n22n
2
22(I):
Qan12an1(nN*),
an112(an1),
an1是以a112为首项,2为公比的等比数列。
an12n.
即an21(nN).
(II)证法一:
Q4bl14b21...4bl1(an1)bn.
4 2[(b! b2...bn)n]nbn,① 2[(b(...bn bn1)(n1)](n1)bn1. ②—①,得2(0i1)(n1)bning, 即(n1)bn1nbn20, ③ nbn2(n1)bn120. ④ ④—③,得nbn22nbn1nbn0, 即bn22bn1bn0, bn2bn1bn1bn(nN*), bn是等差数列。 333
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- 等差 等比数列 练习题 以及 基础 知识点