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5角角的比较
角、角的比较
一、内容及要求:
角的概念,平角、周角的概念,角的相等和大小,角的和、差概念,角的平分线
二、技能要求
1、会比较角的大小,理解角的和差概念,掌握角平分线的概念。
2、会用直尺、圆规、刻度尺、三角板、量角器等工具画角,角的和差及角的平分线。
3、逐步掌握学过的几何图形的表示方法,懂得学过的几何语句,能由这些语句准确,整洁地画出图形。
认识学过的图形,会用语句描述这些简单的几何图形。
三、例题精选
例1.如图,以B为顶点的角有几个?
把它们表示出来,以D为顶点的角有几个?
把它们
表示出来。
解:
以B为顶点的角有3个,分别是∠ABD、∠CBD、∠ABC。
以D为顶点的角有4个,分别是∠ADE、∠EDC、
∠CDB、∠BDA。
注意:
(1)也可以在靠近顶点处加上弧线,标明数字或希腊字母,然后用数字或希腊字母表示。
(2)以D为顶点的角在图形中只有4个,因为除非特别注明,所说的角都是指小于平角的角,所以以D为顶点的4个平角不能算数,即不能说以D为顶点的角有8个。
例2.已知:
如图,在∠AOE的内部从O引出3条射线,求图中共有多少个角?
如果引出
99条射线有多少个角呢?
分析:
在∠AOE的内部从O点引出3条射线,那么在图形中,以O为端点的射线共5条。
其中,任意一条射线与其他4条射线都必构成一个角(小于平角的角)。
这样可得到5×4个角,但这些角中,每个角都重复了一次,如∠AOB与∠BOA重复,∠BOC与∠COB重复……,所以,这5条射线共组成角的个数为
×5×4=10。
同理,如果引出99条射线,那么,以O为顶点的射线共101条,构成的角的个数为
×101×100=5050。
解:
当在∠AOE的内部从顶点O引出3条射线时,共有
×5×4=10个角。
当引出99条射线时,共有
×101×100=5050个角。
注意:
从例2的分析求解过程中,可以得到这样一个规律,有公共顶点的几条射线,所构成的角的个数,一共是
n(n-1)个。
其中,若有平角,要把平角抠出。
注意:
角的大小只与开口的大小有关,而与角的两边画出部分的长短无关,这是因为角的边是射线而不是线段。
例3.已知如图,∠AOB=150°,∠AOC=∠BOD=80°,求:
∠AOD和∠COD的度数。
解:
∠AOD=∠AOB-∠BOD=150°-80°=70°,
∠COD=∠AOC-∠AOD=80°-70°=10°
例4.如图,直线AB上一点O,OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线。
求:
∠MON的度数。
解:
∠MON=∠MOC+∠NOC
=
(∠AOC+∠BOC)
=
∠AOB=90°,
∴∠MON的度数是90°。
例5.如图,AB为一条直线,OC是∠AOD的平分线,OE在∠BOD内,
∠DOE=
∠BOD,∠COE=72°,求∠EOB的度数。
分析:
可以考虑用方程组来解
解:
设∠AOD的度数为x,∠BOD的度数为y,则∠COD=
∠DOE=
根据题意,得
解之得:
x=72°,y=108°,
∴∠BOE=
y=72°.
注意:
在几何中也应善于利用方程的思想和方法来解题。
例6.如图,OC是∠AOD的平分线,OE是∠BOD的平分线。
(1)如果∠AOB=130°,那么∠COE是多少度?
(2)如果∠COE=65°,∠COD=20°,那么∠BOE是多少度?
解:
(1)∵OC是∠AOD的平分线,∴∠COD=
∠AOD(角平分线的定义)
∵OE是∠DOB的平分线,∴∠DOE=
∠DOB(角平分线的定义)
∴∠COD+∠DOE=
∠AOD+
∠DOB=
(∠AOD+∠DOB)(等式的性质)
∵∠COD+∠DOE=∠COE。
(和角定义)
∠AOD+∠DOB=∠AOB(和角定义)
∴∠COE=
∠AOB(等式性质),而∠AOB=130°(已知),
∴∠COE=65°。
(2)∵∠COE=65°,∠COD=20°,
而∠DOE=∠COE-∠COD=65°-20°=45°,
∵OE平分∠DOB,
∴∠BOE=∠DOE=45°。
测试
选择题
1.一个角的余角和这个角的补角互补,则这个角是()
A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不能确定
2.已知∠α与∠β互为补角,且∠β的一半比∠α小30°,则这两个角的度数分别是()
A、60°,120° B、40°,140° C、80°,100° D、30°,150°
3.在下列说法中,正确的是()
A、平角就是直线;
B、互补的两个角中,一定有一个是锐角,一个是钝角;
C、如果∠1=20°,∠2=40°,∠3=30°,且∠1+∠2+∠3=90°,则∠1,∠2,∠3互为余角;
D、一个锐角的补角与它的余角的差是90°
4.给出下述几种说法:
①如果三个角的和等于平角,那么这三个角互补;
②一个角既有余角又有补角时,它的补角一定比它的余角大;
③互为邻补角的两个角的平分线形成的角是直角;
④一个锐角的补角等于这个角与它的余角的2倍的和。
其中正确的说法有( )
A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 4个
5.一个角和它的补角的比是1:
8,则该角的余角的度数是( )
A、 20° B、40° C、50° D、70°
答案与解析
答案:
1、A 2、C 3、D 4、C 5、D
解析:
1.A
2.C
分析:
根据题意,可以列出关于两个角的方程组进行求解。
3.D
4.C
分析:
①是错误的,因为互补是指两个角的关系,而不是三个角的关系,其它几个命题是正确的。
5.D
分析:
由题意得
所以
,
角
考点扫描:
理解角及平角、周角的概念,掌握角的表示方法.
名师精讲:
1.概念
角的定义是以射线为基础的,它有两种定义:
(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这样定义的角有两个要素:
①公共端点——角的顶点;②两条射线——角的两边.
(2)一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所组成的图形,起始位置叫做角的始边,终止位置叫做角的终边.
前者从静止的角度去定义,后者从运动的角度去定义.对理解平角、周角的意义和以后学习角的扩展起基础作用.由角的定义可以知道,构成角的基本元素有两个:
顶点和边.角的边是射线,可以无限延伸.
2.平角、周角的定义
一条射线绕着它的端点旋转,当旋转到终止位置与起始位置成一条直线时,所成的角叫做平角;当旋转到终止位置与起始位置重合时,所成的角叫做周角.平角的特点是两边成一直线.但直线与平角的意义是不同的,不要误认为直线就是平角.同样,周角的特点是两边重合成一条射线,但不要误认为射线就是周角.
3.角的表示方法
表示角的符号是“∠”,一个角有四种表示方法:
(1)用三个大写字母表示,两边上各一点和顶点的字母,顶点字母要写在中间;
(2)用一个表示角的顶点的大写字母表示,这种表示方法只适用于顶点处只有一个角的情况.
(3)用数字表示,如∠1、∠2、∠3等.
(4)用希腊字母表示,如∠α、∠β、∠γ等.
其中,后两种方法常在角内靠近顶点处加上一个小弧线,并把1,2,3,或α、β、γ标注在紧靠弧线的外面.
四种表示方法如图所示:
∠AOB或∠O ∠1,∠2 ∠α,∠β
角的比较
考点扫描:
1.会用量角器画一个角等于已知角,会比较角的大小;
2.掌握角的平分线的概念,会画角的平分线.
名师精讲:
1.角的大小的比较
角的大小即是它们的度数的大小.角的比较与线段的比较方法一样,也有两种:
(1)叠合比较法:
把两个角的顶点重合,其中一边叠合在一起,另一边落在重合一边的同侧,根据它们的位置关系即可以比较它们的大小.
(2)度量比较法:
用量角器量出两个角的度数,根据度数的大小即可比较它们的大小.值得注意的是,角的大小与角的边的伸长程度无关,只与开口大小有关系.
2.角的和、差、倍、分
角的和、差、倍(几倍)、分(几分之几)的度数就是角的度数的和、差、倍、分.
3.角的平分线定义
如果有一条射线,把一个角分成相等的两个角,这条射线叫做这个角的平分线.掌握角的平分线的定义,要与有关的符号表达式联系起来;若OC是∠AOB的平分线,则
(1)∠AOC=∠BOC;
(2)∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,(3)∠AOC=∠BOC=
∠AOB
注意:
角的平分线是一条“射线”,熟悉和掌握这些表达式对今后的推理证明将有很大帮助.
平面几何入门要过好五关
平面几何入门要过好“五关”——语言关,画图关,命题关、论据关,推理关。
一、语言关:
几何的基本语言形成有三种:
(1)图形语言;
(2)文字语言;(3)符号语言。
这三种语言在几何中是并存的,通常又是相互渗透和转化的。
初学几何不仅要熟练地运用每一种语言,而且能根据解题或证明的需要,准确地将其中一种语言形式“翻译”成其他语言形式。
例:
如图,试用几种语言叙述对这个图形的理解。
分析:
全面的看几何图形,任意从不同角度看图形,用不同的语言读图。
1、从直线和点的位置角度可有以下答案:
(1)直线AB经过点C。
(2)点C在直线AB上。
2、从直线、射线、线段定义角度可有以下答案:
(1)点A、B、C三点共线。
(2)图中有线段AC、AB、CB。
(3)图中可读出射线有AC(AB)、CB、BC(BA)、CA共四条。
3、从角的定义角度有以下答案:
平角∠ACB,
平角∠ACB,图中共有二个平角。
文字语言,图形与符号语言的“互译”举例如下表:
文字语言
图形语言
符号语言
OC是∠AOB的平分线
(1)∠AOC=∠BOC
(2)∠AOC=
∠AOB,
∠BOC=
∠AOB
(3)∠AOB=2∠AOC=2∠BOC
二、画图关:
依题意作出图形,是初学平面几何的一项基本功。
1、首先要熟悉几何术语。
弄清每句术语的含意,并有意识的运用。
如“有且只有”,“经过”,“无限延长”,“连结”,“截取”,“画”,“作”,“取”,“引”,“任意”,“于”,“与”等。
例、依题意画出下列图形:
(1)延长线段AB至C,
(2)延长线段BA至C,(3)反向延长线段AB至C。
这三个题中区别在于向哪一个方向延长,2、3题实质是一样的问题,只是说法不同。
2、所作的图形要具有一般性,尽量反映题意,不要把一般情况下的位置关系画成特殊位置的位置关系;也不能把特殊的图形画成一般的图形。
例1、在线段CD上任取一点P。
注意:
取点P时最好不要取中点。
例2、直线AB、CD相交于O,
图(甲) 图(乙)
正确(甲) 不要画成图(乙)
例3、同角的补角相等:
(甲) (乙)
图甲正确,不要画成图(乙)。
“同角的补角相等”的题意是有3个角,一个角和另外二个角互为补角,但是并没有说3个角必须画在一起。
图(甲)正确而图(乙)是错误的。
图(乙)的画法很容易受“对顶角”的干扰,但是同角的补角不一定成对顶角。
它们只有数量关系而没有位置要求。
3、要学会描述已知图形。
要想迅速地而准确地画出图形来,应先学会用语言将已知图形描述出来。
例:
如图,用语言叙述。
法
(一),C为AB上一点,D为AB外一点,连结AD、CD、BD。
法
(二):
A、B、D为不在同一直线上的三点,连结AD、AB、BD,C为AB上任一点,连结CD。
说明;其它三关在下讲中会学习到。
三、命题关:
首先要排除对命题语句的障碍,判断命题的真假,认清题目的条件和结论。
实际上类似于语文中对句子分析时找主语,谓语一样。
例:
“等角的余角相等”
题设(条件):
等角的余角。
结论:
相等。
(这是一个真命题)
要会用图形,符号语言来表示出题设结论。
题设:
∵∠1=∠3
∠1+∠2=900,∠3+∠4=900(已知)
结论:
∴∠2=∠4(等角的余角相等)
四、论据关:
几何入门阶段的计算与证明要写出论据。
这是过好这关的有效办法,填写依据时,不要似是而非。
例:
如图,A、B、C、D四点共线,∠1=∠2,那么∠3与∠4是什么关系。
解:
∵A、B、C、D四点共线,论据:
已知
∴∠1+∠3=1800 论据:
平角定义
∠2+∠4=1800 论据:
平角定义
又∵∠1=∠2 论据:
已知
∴∠3=∠4 论据:
等角的补角相等
五、推理关:
学习平面几何的主要任务之一是培养逻辑推理能力。
为过好推理关要注意分析命题的条件、结论,特别注意图形的特点和隐含条件,一环扣一环。
要探索解题思路,总结解题规律。
要重视因果关系一步推理的训练。
简单的推理技能有两个方面的要求:
一是必须做到“言必有据”,每一次推理都有三部分组成,即推理的条件(因),推出的结论(果),以及由条件到结论(由因导果)的依据(推理的理由)。
推理必须使三者的因果关系合理、正确。
二是要分得清推理的层次.解决一个问题,说明一个结论成立,常常要经过若干次推理。
要能分得清每一次推理的“因”,“果”,和“理由”三个部分,要分得清前后两次推理的关系,从而使整个推理过程不仅有根有据,而且层次分明。
培养逻辑推理能力是学习平面几何的重要的一点,要过好推理关,应注意分析命题的条件和结论,观察图形特点,挖掘隐含条件,采用分析综合法,探索解题思路,摸索解题规律。
例:
如图,BD、CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∠1=∠2,那么∠ABC和∠ACB相
等吗?
请说明理由。
证明:
(1)∵BD平分∠ABC(已知),∴∠ABC=2∠1 (角平分线定义)
(2)∵CE平分∠ACB (已知),∴∠ACB=2∠2 (角平分线定义)
(3)∵∠1=∠2(已知)∴∠ABC=∠ACB(等量的同倍量相等)。
在这个证明过程中,包括了三个一次推理的组合,完成了从已知条件向结论的过程。
第(3)部分是
(1)与
(2)共同的结果,而
(1),
(2)两个推理是并列的,因而在证明中先写
(1)或
(2)没有什么关系,但(3)必须在
(1)
(2)的后面。
一个命题的证明从哪里下手,分几步进行推理,怎样运用一次推理或几个一次推理的组合,完成题设到结论的过渡,这需要认真对图形题设与结论之间的关系进行分析,把一条推理的长链接好。
例:
一步推理训练:
线段中点定义:
(1)∵O为AB中点(已知),∴AO=OB(线段中点定义)
(2)∵O为AB中点(已知),∴AO=
AB,BO=
AB(线段中点定义)
(3)∵O为AB中点(已知),∴AB=2AO,AB=2BO(线段中点定义)
(4)∵AO=OB(已知),∴O为AB中点(线段中点定义)
(5)∵AO=
AB(BO=
AB)(已知),∴O为AB中点(线段中点定义)
(6)∵AB=2AO(AB=2BO)(已知),∴O为AB中点。
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