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集合专题
集合与常用逻辑用语专题
A卷
一、选择题
1.(2014·陕西高考)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=( )
A.[0,1]B.[0,1)
C.(0,1]D.(0,1)
【解析】 ∵N=(-1,1),∴M∩N=[0,1),故选B.
【答案】 B
2.(2014·安徽高考)命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是( )
A.∀x∈R,|x|+x2<0
B.∀x∈R,|x|+x2≤0
C.∃x0∈R,|x0|+x
<0
D.∃x0∈R,|x0|+x
≥0
【解析】 ∀x∈R,|x|+x2≥0的否定是∃x0∈R,|x0|+x
<0.故选C.
【答案】 C
3.(2014·浙江高考)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=( )
A.∅B.{2}
C.{5}D.{2,5}
【解析】 ∵A={x∈N|x≥
}={x∈N|x≥3},
∁UA={x∈N|2≤x<3}={2},故选B.
【答案】 B
4.(2014·韶关二模)命题“a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是( )
A.a,b∈R,若a≠b≠0,则a2+b2=0
B.a,b∈R,若a=b≠0,则a2+b2≠0
C.a,b∈R,若a≠0且b≠0,则a2+b2≠0
D.a,b∈R,若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0
【解析】 a=b=0的否定为a≠0或b≠0;a2+b2=0的否定为a2+b2≠0,故选D.
【答案】 D
5.(2014·宁德一模)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )
A.真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数
D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数
【解析】 在原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,互为逆否的命题是成对出现的,故真命题的个数和假命题的个数都是偶数.
【答案】 C
6.(2014·天津高考)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】 先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”.若a>b≥0,则a2>b2,即a|a|>b|b|;若a≥0>b,则a|a|≥0>b|b|;若0>a>b,则a2
综上,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.
【答案】 C
7.已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1]B.[1,+∞)
C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
【解析】 由P∪M=P,有M⊆P,∴a2≤1,∴-1≤a≤1,故选C.
【答案】 C
8.(2014·佛山模拟)给定命题p:
若x∈R,则x+
≥2;
命题q:
若x≥0,则x2≥0.
则下列各命题中,假命题的是( )
A.p∨qB.(綈p)∨q
C.(綈p)∧qD.(綈p)∧(綈q)
【解析】 由题意,命题p是假命题,命题q是真命题,所以綈p是真命题,綈q是假命题,故D是假命题.
【答案】 D
9.(2014·宁德模拟)已知集合A={0,1},B={-1,0,a+2},若A⊆B,则a的值为( )
A.-2B.-1
C.0D.1
【解析】 ∵A⊆B,∴a+2=1,解得a=-1.故选B.
【答案】 B
10.(2014·广州第二次联考)已知全集U=R,集合A={x|0 图1-1-1 A.3个B.4个 C.5个D.无穷多个 【解析】 集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3},而阴影部分所示集合为B∩∁RA,所以阴影部分集合中含有-3,-2,-1,0共4个元素,故选B. 【答案】 B 11.(2014·武汉模拟)下列四种说法中,正确的是( ) A.A={-1,0}的子集有3个 B.“若am2 C.“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件 D.命题“∀x∈R,均有x2-3x-2≥0”的否定是: “∃x∈R,使得x2-3x-2≤0” 【解析】 命题p∨q为真,说明p,q中至少一个为真即可,命题p∧q为真,则p,q必须同时为真,故“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件. 【答案】 C 12.设p: |4x-3|≤1,q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若非p是非q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是( ) A. B. C.(-∞,0]∪ D.(-∞,0)∪ 【解析】 p: |4x-3|≤1⇒-1≤4x-3≤1,∴ ≤x≤1;q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0⇒(x-a)[x-(a+1)]≤0. 若綈p是綈q的必要不充分条件,则q是p的必要不充分条件,故 则0≤a≤ . 【答案】 A 二、填空题 13.(2014·江苏高考)已知集合A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},则A∩B=________. 【解析】 ∵A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3}, ∴A∩B={-1,3}. 【答案】 {-1,3} 14.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=________. 【解析】 集合A中只有一个元素等价于方程ax2+ax+1=0有且只有一个实数解. (1)若a=0,则方程1=0不成立. (2)若a≠0,则有Δ=a2-4a=0,即a=4. 【答案】 4 15.设p: <0,q: 0 【解析】 p: 0 【答案】 (2,+∞) 16.(2014·安徽六校测试)若命题“∀x∈[-1,1],1+2x+a·4x<0”是假命题,则实数a的最小值为________. 【解析】 先求∀x∈[-1,1],1+2x+a·4x<0恒成立的a值,最后求其补集即可.变形得a<- =- + 2+ ,令t= ,则a<- 2+ , ∵x∈[-1,1],∴t∈ , ∴f(t)=- 2+ 在 上是减函数. ∴a<[f(x)]min=f (2)=- 2+ =-6, ∴a≥-6, 故实数a的最小值为-6. 【答案】 -6 B卷 一、选择题 1.(2014·青岛一模)已知命题p: 任意x∈R,x>sinx,则p的否定是( ) A.綈p: 存在x∈R,x B.綈p: 任意x∈R,x≤sinx C.綈p: 存在x∈R,x≤sinx D.綈p: 任意x∈R,x 【解析】 p的否定是: 存在x∈R,x≤sinx. 【答案】 C 2.(2014·商丘模拟)设集合A={2,lnx},B={x,y},若A∩B={0},则y的值为( ) A. B.1 C.eD.0 【解析】 由A∩B={0}知lnx=0,∴x=1,∴y=0. 【答案】 D 3.(2014·长春高三月考)已知集合A={1,2a},B={a,b},若A∩B= ,则A∪B为( ) A. B. C. D. 【解析】 ∵A∩B= ,∴ , ∴A∪B= .故选D. 【答案】 D 4.(2014·德化联考)已知集合A={-1,2,5},B={-1,1},下列结论成立的是 ( ) A.B⊆AB.A∪B=A C.A∩B=BD.A∩B={-1} 【解析】 ∵A={-1,2,5},B={-1,1},∴A∩B={-1}.故选D. 【答案】 D 5.(2014·吉林模拟)已知命题p: “a=1是x>0,x+ ≥2的充分必要条件”;命题q: “∃x0∈R,x +x0-2>0”.则下列命题正确的是( ) A.命题“p∧q”是真命题 B.命题“(綈p)∧q”是真命题 C.命题“p∧(綈q)”是真命题 D.命题“(綈p)∧(綈q)”是真命题 【解析】 由已知条件可知,命题p是假命题,命题q是真命题,根据命题的真值表,可得命题“(綈p)∧q”是真命题,故选B. 【答案】 B 6.(2014·湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由韦恩图易知充分性成立.反之,A∩B=∅时,不妨取C=∁UB,此时A⊆C,必要性成立.故选C. 【答案】 C 7.(2014·黄冈模拟)已知a,b为非零向量,则“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 f(x)=(xa+b)·(xb-a)=a·bx2+(b2-a2)x-a·b,若“函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”,则a·b=0,即“a⊥b”;若“a⊥b”,当a2=b2时,f(x)=0,就不是一次函数,故“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)为一次函数”的必要不充分条件. 【答案】 B 8.(2014·忻州四校联考)命题p: ∃x0∈R,使得x2+x+1<0,命题q: ∀x∈ ,x>sinx,则下列命题中真命题为( ) A.p∧qB.p∨(綈q) C.(綈p)∧(綈q)D.(綈p)∧q 【解析】 x2+x+1<0在实数范围内无解,故命题p为假命题,綈p为真命题;利用单位圆和正弦函数的定义可知q为真命题(x表示弧长,sinx用正弦线表示),可见(綈p)∧q为真,选D. 【答案】 D 9.(2014·陕西五校模拟)已知p: 存在x0∈R,mx +2≤0;q: 任意x∈R,x2-2mx+1>0.若“p∨q”为假命题,则实数m的取值范围是( ) A.[1,+∞)B.(-∞,-1] C.(-∞,-2]D.[-1,1] 【解析】 若存在x0∈R,mx +2≤0成立,则m<0,所以若p为假命题,m的取值范围是[0,+∞);若任意x∈R,x2-2mx+1>0,则Δ=4m2-4<0,即-1 【答案】 A 10.(2014·福州高三联考)设p: x2-x-20>0,q: log2(x-5)<2,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 由x2-x-20>0得x<-4或x>5,由log2(x-5)<2得5 【答案】 B 11.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数是( ) A.7B.10C.25D.52 【解析】 因为A={-1,0,1},B={0,1,2,3}, 所以A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3}. 因为x∈A∩B,所以x可取0,1; 因为y∈A∪B,所以y可取-1,0,1,2,3. 则(x,y)的可能取值如下表所示: y x -1 0 1 2 3 0 (0,-1) (0,0) (0,1) (0,2) (0,3) 1 (1,-1) (1,0) (1,1) (1,2) (1,3) 故A*B中的元素共有10个. 【答案】 B 12.(2014·新余联考)给出下列四个结论: ①若命题p: ∃x0∈R,x +x0+1<0,则綈p: ∀x∈R,x2+x+1≥0; ②“(x-3)(x-4)=0”是“x-3=0”的充分而不必要条件; ③命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为: “若方程x2+x-m=0没有实数根,则m≤0”; ④若a>0,b>0,a+b=4,则 + 的最小值为1. 其中正确结论的个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 【解析】 ①正确,綈p是p的否命题; ②不正确,(x-3)(x-4)=0,则x=3或x=4,应该是必要不充分条件; ③正确,两命题互为逆否命题; ④正确,因为a+b≥2 ,∴ab≤ 2=4, ∴ ≥1, 所以 + = = ≥1. 【答案】 C 二、填空题 13.(2014·唐山模拟)设U=R,已知集合A={x|x>1},B={x|x>a},且(∁UA)∪B=R,则实数a的取值范围是________. 【解析】 ∵A={x|x>1},B={x|x>a},∴∁UA={x|x≤1}. 由(∁UA)∪B=R可知a≤1. 【答案】 a≤1 14.(2014·汕头模拟)设命题p: ≤0,命题q: x2-(2a+1)x+a(a+1)<0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________. 【解析】 p: ≤0⇒ ≤x<1,q: x2-(2a+1)x+a(a+1)<0⇒a 因为p是q的充分不必要条件,所以 ,解得0≤a< . 【答案】 15.(2014·福州模拟)已知集合A={(x,y)|y=lgx},B={(x,y)|x=a},若A∩B=∅,则实数a的取值范围是________. 【解析】 依题意得方程组 没有实数解,于是有a≤0. 【答案】 a≤0 16.已知c>0,且c≠1,设p: 函数y=cx在R上递减;q: 函数f(x)=x2-2cx-1在 上为增函数.若“p且q”为假,“p或q”为真,则实数c的取值范围为________. 【解析】 由函数y=cx在R上递减可知0 由函数f(x)在 上为增函数可知c≤ . 又p∧q为假,p∨q为真,所以p、q一真一假. (1)若p真q假,则 (2)若p假q真,则这样的实数c不存在. 综上可知,实数c的取值范围为 . 【答案】
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