人教版初中数学九年级第二十二章 二次函数223 实际问题与二次函数习题.docx
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人教版初中数学九年级第二十二章二次函数223实际问题与二次函数习题
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积
01 基础题
知识点 二次函数与图形面积
1.(六盘水中考)如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是(C)
A.60m2
B.63m2
C.64m2
D.66m2
2.用长8m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图),那么这个窗户的最大透光面积是(C)
A.
m2B.
m2
C.
m2D.4m2
3.(泰安中考改编)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,△PCQ面积的最大值为(B)
A.6cm2B.9cm2
C.12cm2D.15cm2
4.(衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔开(如图),已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2.
5.将一根长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是
cm2.
6.已知直角三角形两条直角边的和等于20,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大?
最大值是多少?
解:
设直角三角形的一直角边长为x,则另一直角边长为(20-x),其面积为y,则
y=
x(20-x)
=-
x2+10x
=-
(x-10)2+50.
∵-
<0,
∴当x=10时,面积y值取最大,y最大=50.
7.(滨州中考)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形,抽屉底面周长为180cm,高为20cm.请通过计算说明,当底面的宽x为何值时,抽屉的体积y最大?
最大为多少?
(材质及其厚度等暂忽略不计)
解:
根据题意,得y=20x(
-x).
整理,得
y=-20x2+1800x
=-20(x2-90x+2025)+40500
=-20(x-45)2+40500.
∵-20<0,
∴当x=45时,函数有最大值,y最大=40500.
即当底面的宽为45cm时,抽屉的体积最大,最大为40500cm3.
易错点 二次函数最值问题未与实际问题相结合
8.(咸宁中考)用一根长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形,那么a的值不可能为(D)
A.20B.40
C.100D.120
02 中档题
9.(教材P52习题T7变式)(新疆中考)如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E,F,G,H分别从点A,B,C,D同时出发,均以1cm/s的速度向点B,C,D,A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,当运动时间为3s时,四边形EFGH的面积最小,其最小值是18cm2.
10.手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位:
cm2)随其中一条对角线的长x(单位:
cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)当x是多少时,菱形风筝面积S最大?
最大面积是多少?
解:
(1)S=-
x2+30x.
(2)∵S=-
x2+30x=-
(x-30)2+450,
且-
<0,
∴当x=30时,S有最大值,最大值为450.
即当x为30cm时,菱形风筝的面积最大,最大面积是450cm2.
11.(包头中考)某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2000元.设矩形一边长为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)设计费能达到24000元吗?
为什么?
(3)当x是多少米时,设计费最多?
最多是多少元?
解:
(1)∵矩形的一边长为x米,周长为16米,
∴另一边长为(8-x)米.
∴S=x(8-x)=-x2+8x,其中0<x<8.
(2)能.理由:
当设计费为24000元时,广告牌的面积为24000÷2000=12(平方米),
即-x2+8x=12,解得x=2或x=6.
∵x=2和x=6在0<x<8内,
∴设计费能达到24000元.
(3)∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,0<x<8,
∴当x=4时,S最大=16.
∴当x=4米时,矩形的面积最大,为16平方米,设计费最多,最多是16×2000=32000元.
12.(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中,带队老师考问学生:
基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图所示,如何设计才能使园地的面积最大?
下面是两位学生争议的情境:
请根据上面的信息,解决问题:
(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;
(2)请你判断谁的说法正确,为什么?
解:
(1)BC=69+3-2x=72-2x.
(2)小英的说法正确.理由:
矩形面积S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648,
∵72-2x>0,∴x<36.
∴0<x<36.
∴当x=18时,S取最大值,此时x≠72-2x.
∴面积最大的不是正方形.
∴小英的说法正确.
03 综合题
13.(朝阳中考)如图,正方形ABCD的边长为2cm,△PMN是一块直角三角板(∠N=30°),PM>2cm,PM与BC均在直线l上,开始时M点与B点重合,将三角板向右平行移动,直至M点与C点重合为止.设BM=xcm,三角板与正方形重叠部分的面积为ycm2.
下列结论:
①当0≤x≤
时,y与x之间的函数关系式为y=
x2;
②当
; ③当MN经过AB的中点时,y= cm2; ④存在x的值,使y= S正方形ABCD(S正方形ABCD表示正方形ABCD的面积). 其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号). 第2课时 二次函数与商品利润 01 基础题 知识点1 简单销售问题中的最大利润 1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品,那么卖出商品所赚钱y元与售价x元之间的函数关系为(B) A.y=-10x2-560x+7350 B.y=-10x2+560x-7350 C.y=-10x2+350x D.y=-10x2+350x-7350 2.我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为: 每投入x万元,可获得利润P=- (x-60)2+41(万元).每年最多可投入100万元的销售投资,则5年所获利润的最大值是205万元. 3.(山西中考)某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润y甲(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y甲=0.3x;乙种水果的销售利润y乙(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y乙=ax2+bx(其中a≠0,a,b为常数),且进货量x为1吨时,销售利润y乙为1.4万元;进货量x为2吨时,销售利润y乙为2.6万元. (1)求y乙(万元)与x(吨)之间的函数关系式; (2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨,设乙种水果的进货量为t吨,请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W(万元)与t(吨)之间的函数关系式,并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是多少? 解: (1)由题意,得 解得 ∴y乙=-0.1x2+1.5x. (2)W=y甲+y乙=0.3(10-t)+(-0.1t2+1.5t) =-0.1t2+1.2t+3=-0.1(t-6)2+6.6. ∵-0.1<0,∴t=6时,W有最大值为6.6. ∴10-6=4(吨). 答: 甲、乙两种水果的进货量分别为4吨和6吨时,获得的销售利润之和最大,最大利润是6.6万元. 知识点2 “每…,每…”的问题 4.一件工艺品进价为100元,标价135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,该件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价的钱数为(A) A.5元B.10元 C.0元D.6元 5.(十堰中考)某超市销售一种牛奶,进价为每箱24元,规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元,每月可销售60箱.市场调查发现: 若这种牛奶的售价每降价1元,则每月的销量将增加10箱,设每箱牛奶降价x元(x为正整数),每月的销量为y箱. (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围; (2)超市如何定价,才能使每月销售牛奶的利润最大? 最大利润是多少元? 解: (1)y=10x+60(1≤x≤12,且x为整数). (2)设每月销售利润为w元.根据题意,得 w=(36-x-24)(10x+60), 整理,得w=-10x2+60x+720=-10(x-3)2+810. ∵-10<0,且1≤x≤12, ∴当x=3时,w有最大值,最大值是810. ∴36-3=33. 答: 当定价为33元/箱时,每月销售牛奶的利润最大,最大利润是810元. 02 中档题 6.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是(C) A.1月、2月、3月B.2月、3月、4月 C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月 7.(沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明: 在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.要使利润最大,每件的售价应为25元. 8.(阳泉市平定县月考)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y=ax2+bx-75,其图象如图所示. (1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大? 最大利润为多少元? (2)销售单价在什么范围内时,该种商品每天的销售利润不低于16元? 解: (1)∵y=ax2+bx-75的图象过点(5,0),(7,16), ∴ 解得 ∴y=-x2+20x-75. ∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,-1<0, ∴当x=10时,y最大=25. 答: 销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元. (2)由 (1)可知函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10,点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16). 又∵函数y=-x2+20x-75图象开口向下, ∴当7≤x≤13时,y≥16. 答: 销售单价不少于7元且不超过13元时,该种商品每天的销售利润不低于16元. 9.(襄阳中考)为了“创建文明城市,建设美丽家园”,我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化,一部分种草,剩余部分栽花.设种草部分的面积为x(m2),种草所需费用y1(元)与x(m2)的函数关系式为y1= 其图象如图所示.栽花所需费用y2(元)与x(m2)的函数关系式为y2=-0.01x2-20x+30000(0≤x≤1000). (1)请直接写出k1,k2和b的值; (2)设这块1000m2空地的绿化总费用为W(元),请利用W与x的函数关系式,求出绿化总费用W的最大值; (3)若种草部分的面积不少于700m2,栽花部分的面积不少于100m2,请求出绿化总费用W的最小值. 解: (1)k1=30,k2=20,b=6000. (2)当0≤x<600时, W=30x+(-0.01x2-20x+30000)=-0.01x2+10x+30000=-0.01(x-500)2+32500, ∵-0.01<0, ∴当x=500时,W取最大值为32500元. 当600≤x≤1000时, W=20x+6000+(-0.01x2-20x+30000)=-0.01x2+36000, ∵-0.01<0, ∴当600≤x≤1000时,W随x的增大而减小. ∴当x=600时,W取最大值为32400元. ∵32400<32500,∴W的最大值为32500元. (3)由题意,得1000-x≥100,解得x≤900. 又∵x≥700,∴700≤x≤900. ∵当700≤x≤900时,W随x的增大而减小, ∴当x=900时,W取最小值为27900元. 03 综合题 10.(咸宁中考)某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件.为了促销,该店决定降价销售,市场调查反映: 每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元.设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大? 最大利润是多少? (3)若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件? 解: (1)y=300+30(60-x)=-30x+2100. (2)设每星期的销售利润为W元,依题意,得 W=(x-40)(-30x+2100)=-30x2+3300x-84000=-30(x-55)2+6750. ∵-30<0,∴当x=55时,W最大=6750. 答: 当每件售价定为55元时,每星期的销售利润最大,最大利润是6750元. (3)由题意,得-30(x-55)2+6750=6480, 解得x1=52,x2=58. ∵抛物线W=-30(x-55)2+6750的开口向下, ∴当52≤x≤58时,每星期销售利润不低于6480元. ∵在y=-30x+2100中,y随x的增大而减小, ∴当x=58时,y最小=-30×58+2100=360. 答: 每星期至少要销售该款童装360件. 第3课时 实物抛物线 01 基础题 知识点1 二次函数在桥梁问题中的应用 1.(绍兴中考)如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=- (x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线的解析式是y=- (x+6)2+4. 2.(潜江中考)如图是一个横截面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米.水面下降1米时,水面的宽度为2 米. 3.(山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A、B两点,拱桥最高点C到AB的距离为9m,AB=36m,D、E为拱桥底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7m,则DE的长为48m. 知识点2 二次函数在隧道问题中的应用 4.某隧道横截面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图所示.以隧道横截面抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立直角坐标系,求得该抛物线对应的函数关系式为y=- x2. 知识点3 二次函数在其他建筑问题中的应用 5.如图,某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门底部地面宽4米,顶部距地面的高度为4.4米,现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,其装货宽度为2.4米,该车要想通过此门,装货后的高度应小于(B) A.2.80米 B.2.816米 C.2.82米 D.2.826米 知识点4 二次函数在体育问题中的应用 6.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=- x2+ x+ ,则羽毛球飞出的水平距离为5米. 7.在体育测试时,九年级的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标为(6,5). (1)求这个二次函数的解析式; (2)该男生把铅球推出去多远(精确到0.01米)? 解: (1)设二次函数的解析式为y=a(x-6)2+5, 将A(0,2)代入,得2=a(0-6)2+5,解得a=- . ∴二次函数的解析式为y=- (x-6)2+5. (2)由- (x-6)2+5=0,得x1=6+2 ,x2=6-2 .结合图象可知: C点坐标为(6+2 ,0). ∴OC=6+2 ≈13.75(米). 答: 该男生把铅球推出去约13.75米. 02 中档题 8.王大力同学在校运动会上投掷标枪,标枪运行的高度h(m)与水平距离x(m)的关系式为h=- x2+ x+2,则王大力同学投掷标枪的成绩是48m. 9.(吕梁市文水县期中)某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的,为牢固起见,每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管(如图)做成立柱,为了计算所需不锈钢管立柱的总长度,设计人员测得如图所示的数据. (1)求此抛物线的解析式; (2)计算所需不锈钢管的总长度. 解: (1)建立如图所示平面直角坐标系,由题意,得B(0,0.5)、C(1,0). 设抛物线的解析式为y=ax2+c, 代入得a=-0.5,c=0.5, 故抛物线解析式为y=-0.5x2+0.5. (2)如图所示,设立柱分别为B1C1,B2C2,B3C3,B4C4. ∵当x=0.2时,y=0.48, 当x=0.6时,y=0.32, ∴B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=2×(0.48+0.32)=1.6(m). ∴所需不锈钢管的总长度为1.6×50=80(m). 10.(金华中考)甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1m的P处发出一球,羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5m,球网的高度为1.55m. (1)当a=- 时: ①求h的值; ②通过计算判断此球能否过网; (2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到离点O的水平距离为7m,离地面的高度为 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值. 解: (1)①把(0,1)代入y=- (x-4)2+h,得 h= . ②把x=5代入y=- (x-4)2+ ,得 y=- ×(5-4)2+ =1.625. ∵1.625>1.55, ∴此球能过网. (2)把(0,1),(7, )代入y=a(x-4)2+h,得 解得 ∴a=- . 03 综合题 11.(青岛中考)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的平面直角坐标系,抛物线可以用y=- x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m,到地面OA的距离为 m. (1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离; (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过? (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米? 解: (1)由题意,得点B的坐标为(0,4),点C的坐标为(3, ), ∴ 解得 ∴该抛物线的函数关系式为y=- x2+2x+4. ∵y=- x2+2x+4=- (x-6)2+10, ∴拱顶D到地面OA的距离为10m. (2)当x=6+4=10时,y=- x2+2x+4=- ×102+2×10+4= >6, ∴这辆货车能安全通过. (3)当y=8时,- x2+2x+4=8,即x2-12x+24=0,∴x1=6+2 ,x2=6-2 . ∴两排灯的水平距离最小是6+2 -(6-2 )=4 (m).
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