数学模型与计算机控制 第六章PID调节器.docx
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数学模型与计算机控制第六章PID调节器
第六章PID调节器
6.1PID调节的作用
6.1.1为什么要用数字PID调节器
PID调节之所以不衰,既使在数字化的计算机时代仍能得到广泛的应用,主要有下面几点:
1.技术成熟
PID调节是连续系统理论中技术最成熟,且应用最广泛的一种控制方法,它的结构灵活,不仅可以用常规的PID调节,而且可根据系统的要求,采用各种PID的变种,如PI、PD控制,不完全微分控制,积分分离式PID控制,带死区的PID控制,变速积分PID控制,比例PID控制等等。
在PID控制系统中,系统参数整定方便,而且在大多数工业生产过程中效果也比较好。
2.人们熟悉
生产技术人员及操作人员都比较熟悉它,并在实践中积累了丰富的经验,特别是一些工作时间比较长的工程技术人员更是如此。
3.不需要求出数学模型
到目前为止,仍有许多工业对象得不到或很难得到精确的数学模型,因此,应用直接数字控制方法比较困难或根本不可能,所以不得不应用PID算法。
4.控制效果好
虽然计算机控制是断续的,但对于时间常数比较大的系统来说,可近似于是连续变化的。
因此,用数字PID完全可以代替模拟调节器,而且能得到比较满意的效果。
所以,用数字模拟PID调节器仍是目前应用比较广泛的方法之一。
6.1.2PID调节的作用
1.比例调节器(P)
比例调节器的微分方程为
(6-1)
式中,y——调节器的输出
e(t)——调节器的输入,一般为偏差值,
即e(t)==U(R)-Ui(k)
Kp——比列系数
由上式可以看出,调节器的输出y与输入偏差e(t)成正比。
因此,只要偏差e(t)一出现,就能及时地产生与之成正比的调节作用,具有调节及时的特点,它是最基本的一种调节规律。
比例调节的特性曲线,如图6.1所示。
图6.1阶跃响应特性曲线图
比例调节作用的大小,除了与偏差e(t)有关外,主要取决于比例系数Kp,比例系数越大,调节作用越强,动态特性也越好。
反之,比例系数越小,调节作用越弱。
但对于大多数惯性环节,Kp太大时,会引起自缴振荡。
其关系如图6.2所示,
图6.2比例调节输入输出关系曲线图
比例调节的主要缺点是存在静差,因此对于扰动较大,惯性也比较大的系统,若采用单纯的比例调节器,就难于兼顾动态和静态特性,因此,需要用调节规律比较复杂的调节器。
2.比例积分调节器(PI)
所谓积分作用,是指调节器的输出与输入偏差的积分成比例的作用,其积分方程为
(6-2)
Ti-积分时间常数,它表示积分速度的大小,Ti越大,积分速度越漫,积分作用越弱。
反之Ti越小,积分速度越快,积分作用越强。
积分作用的响应特性曲线,如图6.3所示。
积分作用的特点是调节器的输出与偏差存在时间有关,只要偏差存在,输出就会随时间不断增长,直到偏差消除,调节器的输出才不再变化。
因此,积分作用能消除静差,这是它的主要优点。
但从图6.3中可以看出,积分的作用动作缓慢(不象比例调节,只要偏差一出现,就立即响应),而且在偏差刚一出现时,调节器作用很弱,不能及时克服扰动的影响,致使被调参数的动态偏差增大,调节过程增长,因此,它很少被单独使用。
图6.3积分作用的响应曲线
如果把比例和积分两种作用合起来,就构成PI调节器,其调节规律为:
(6-3)
PI调节器的输出特性曲线,如图6.4所示。
由图6.4可以看出,对于PI调节器,当有一阶跃作用时,开始瞬时有一比例输出y1,随后在同一方向,在y1的基础上输出值不断增大,这就是积分作用。
由于积分作用不是无穷大,而是具有饱和作用,所以,经过一段时间以后,PI调节器的输出趋于稳定值KIKPe(t),其中,系数KIKP是时间t→∞时的增益,称之为静态增益,用K(∞)=KIKP表示。
由此可见,这样的调节器,既克服了单纯比例调节有静差存在的缺点,又避免了积分调节器响应慢的缺点,即静态和动态特性均得到了改善,所以,应用得比较广泛。
图6.4PI调节器的输出特性曲线
3.比例微分调节器(PD)
上述的PI调节器,动作快,可以消除静态误差,是一种广为应用的调节器。
然而,一旦控制对象具有较大的惯性时,用PI调节器就无法得到很好的调节品质。
这时,如果在调节器中加入微分作用,亦即在偏差刚刚出现,偏差值尚不太大时,根据偏差变化的趋势(即变化速度),提前给出较大的调节作用,将使偏差尽快消除)。
由于调节及时,可以大大减小系统的动态偏差及调节时间,从而使过程的动态品质得到改善。
微分方程为
(6-4)
式中,TD——微分时间常数
微分作用响应曲线,如图6.5所示。
图6.5微分作用响应特性曲线
从图6.5中可以看出,在t=t0时加人阶跃信号,此时输出值y变化的速度很大(理论上为无穷大),当t>t0时,其输出值y迅速变为0。
这里需要说明,微分作用的特点是,输出只能反应偏差输入变化的速度,而对于一个固定不变的偏差,不管其数值多大,根本不会有微分作用输出。
因此,微分作用不能消除静差,而只能在偏差刚刚出现的时刻产生一个很大的调节作用。
同比例积分作用一样,微分作用一般也不能单独使用,需要与比例作用配合使用,构成PD调节器。
实际PD调节器的阶跃响应曲线,如图6.6所示。
图6.6PD调节器的阶跃响应曲线图
从图6.6曲线可以看出,当偏差刚一出现的瞬间,PD调节器输出一个很大的阶跃信号,然后按指数下降,以至最后微分作用完全消失,变成一个纯比例调节。
微分作用的强弱可以用改变微分时间常数TD来进行调节。
为了进一步改善调节品质,往往把比例、积分、微分三种作用组合起来,形成PID三作用调节器。
理想的PID微分方程为
(6-5)
其对阶跃信号的响应曲线,如图6.7所示。
6.7PID调节器对阶跃响应特性曲线
由图6.7可以看出,对于一个PID三作用调节器,在阶跃信号作用下,首先是比例和微分作用,使其调节作用加强,然后再进行积分,直到最后消除静差为止。
因此,采用PID调节器,无论从静态,还是从动态的角度来说,调节品质均得到了改善,从而使得PID调节器成为一种应用最为广泛的调节器。
这里要说明的是,并非所有系统都需要使用PID调节器,在工业控制系统中,PI、PD调节器也常常被人们所采用,因为它们比较简单。
究竟使用哪一种调节器合适,只有根据具体情况,并根据现场实验进行选定。
6.2PID算法的数字实现
在连续生产过程中,DDC系统所采用的控制方法仍然是比例、积分、微分(简称PID)控制方式。
即使在一些比较复杂的系统中,如串级调节等,也还是用PID算法。
实践证明,这种算法能适应很多生产过程。
6.2.1PID控制算式的数字化
(6-6)
式中:
P(t)——调节器的输出信号;
e(t)——调节器的偏差信号,它等于测量值与给定值之差;
KP——调节器的比例系数;
TI——调节器的积分时间;
TD——调节器的微分时间。
由于DDC系统是一种时间离散控制系统,即它是对多个调节回路进行断续控制。
因此,为了用计算机实现式(6-6),必须将其离散化,用数字形式的差分方程来代替连续系统的微分方程。
此时积分项和微分项可用求和及增量式表示:
(6-7)
(6-8)
将式(6-7)和式(6一8)分别代入式(6-6),则可得到离散的PID表达式:
(6-9)
式中,Δt=T——采样周期;
e(n)——第n次采样时的偏差值;
e(n-1)——第(n-1)次采样时的偏差值;
n——采样序号,n=0,1,2……。
由于式(6-9)的输出值与阀门开度的位置一一对应,因此,通常把式(6-9)称为PID的位置控制算式。
由式(6-9)可以看出,要想计算P(n),不仅需要本次与上次的偏差信号e(n)和e(n-1),而且还要在积分项把历次的偏差信号e(j)进行相加,即
。
这样,不仅使得计算繁琐,而且为了保留e(j)还要占用很大的内存。
因此,用式(6-9)直接进行控制是很不方便的。
为此,我们做如下的改动:
根据推理原理,可写出(n-1)次的PID输出表达式:
(6-10)
用(6-9)减去(6-10),可得:
整理后,可得:
(6-11)
式中,
——积分系数;
——微分系数。
由式(6-11)可知,要计算第n次输出值P(n),只需知道P(n-1),e(n),e(n-1),e(n-2)即可,比用式(6-9)计算要简单得多。
在很多控制系统中,由于执行机构是采用步进电机或多圈电位器进行控制的,所以,此时只要给一个增量信号即可。
因此,我们可以把式(6-9)和式(6-10)相减得到:
(6-12)
式(6-12)表示第n次输出的增量ΔP(n),等于第n次与第n-1次调节器输出的差值,即在第(n-1)次的基础上增加(或减少)的量,所以式(6—12)叫做PID的增量控制式。
用计算机实现位置式和增量式控制算式的原理方框图,如图6.8所示。
图6.8DDC控制原理图
位置控制算式中,由于全量输出,所以每次输出均与原来位置量有关。
为此,这不仅需要对e(j)进行累加,而且计算机的任何故障都会引起P(n)大幅度变化,对生产不利。
而增量控制虽然改动不大,然而却带来了很多优点:
1.由于计算机输出增量,所以,误动作时影响小,必要时可用逻辑判断的方法去掉;
2.手动/自动切换时冲击比较小;
3.不产生积分失控,所以容易获得较好的调节效果。
因此,增量控制得到了广泛的应用。
但是,增量型控制也有其不足之处:
1.积分截断效应大,有静态误差;
2.溢出的影响大。
因此,在选择时不可一概而论,而应该根据被控对象的实际情况加以选择。
一般认为,在以可控硅作为执行器或对控制精度要求高的系统中,应当采用位置型算法,而在以步进电机或电动阀门作执行器的系统中,则应用增量式算法。
6.3PID算法的几种发展
由于计算机控制系统的灵活性,在微型机控制系统中,除了按式(6—11)和式(6-12)进行标准的PID控制计算外,尚可根据系统的实际要求,对PID控制进行改革,以达到提高调节品质的目的。
下面介绍几种非标准的PID算式。
6.3.1完全微分的PID算式
在上面介绍的标准PID算式中,当有阶跃信号输入时,微分项输出急剧增加,容易引起控制过程的振荡,往往导致调节品质下降。
为了克服这一点,又要使微分作用有效,可以仿照模拟调节器的方法,采用不完全微分的PID算式,其传递函数表达式为:
(6-13)
式中,P(s)——PID输出量算子形式;
E(s)——偏价差信号算子形式;
——实际比例放大系数;
——实际的积分时间;
——实际的微分时间;
——实际的微分增量。
将式(6-13)分成比例积分和微分两部分,则
其中
PPI(s)的差分算式为
(6-14)
PD(s)的差分其式较复杂些,首先将其化成微分方程式,即
用微分代替算子可得:
我们用增量代替微分项,设采样周期△t=T,则第n次来样时,有:
化简上式可得
∴
(6-15)
式中,
若将式(6-14)和(6-15)合并,则可得到不完全微分的PID算式,即
(6-16)
它与理想的PID算式(6-9)相比,多一项n-1次采样的微分输出量
。
在单位阶跃信号作用下,完全微分与不完全微分输出特性的差异,如图6.12所示。
由图6.12可见,完全微分项对于阶跃信号将产生很大的微分输出信号,并急剧下降为零,因而将容易引起系统振荡。
而不完全微分系统中,其微分作用是逐渐下降的,因而系统变化比较缓慢,故不易引起振荡。
图6.12PID控制算式的输出特性
6.3.2积分分离的PID算式
在一般的PID调节控制中,由于系统的执行机构线性范围受到限制,当偏差e较大时,如系统在开工、停工或大幅度提降时,由于积分项的作用,将会产生一个很大的超调量,使系统不停的振荡,如图6-13中曲线2所示。
图6.13具有积分分离作用的控制过程曲线
这种现象对于变化比较缓慢的对象,如温度、液面调节系统,其影响更为严重,而在一般模拟调节系统中也存在。
在计算机控制系统中,为了消除这一现象,我们采用了积分分离的方法,即在控制量开始跟踪时,取消积分作用,直至被调量接近给定值时,才产生积分作用。
设给定值为U(R),经数字滤波后的测量值为U(k),最大允许偏差值为A,则积分分离控制的算式为
当
(
则为PD控制,
则为PID控制)(6-17)
图6.13中曲线1为采用积分分离手段后的控制曲线,比较曲线1和2可知,使用积分分离方法后,显著降低了被控变量的超调量和过渡过程时间,使调节性能得到改善。
积分分离程序的框图,如图6.14所示。
6.3.3变速积分的PID算式
在普通的PID调节算法中,由于积分系数KI是常数,所以,在整个调节过程中,积分增益不变。
而系统对积分项的要求是,系统偏差大时积分作用减弱以至全无,而在小偏差时则应加强。
否则,积分系数取大了会产生超调,甚至积分饱和,取小了又迟迟不能消除静差。
因此,如何根据系统的偏差大小改变积分的速度,这对于提高调节品质是个致关重要的问题。
下面介绍的变速积分PID,较好地解决了这一问题。
变速积分PID的基本思想是设法改变积分项的累加速度,使其与偏差大小相对应:
偏差越大,积分越慢,反之则越快。
图6.14积分分离控制程序流程图
为此,设置一系数f[e(n)],它是e(n)的函数,当∣e(n)∣增大时,f减小,反之增大。
每次采样后用f[e(n)]乘以e(n),再进行累加,即
(6-18)
式中
表示变速积分项的输出值。
f与∣e(n)∣的关系可以是线性或高阶的,如设其为
(6-19)
f值在0~1区间内变化,当偏差大于所给分离区间A+B后,f=0,不再进行累加;而小于A+B时,偏差越小,则f越大,累加速度越快。
当偏差小于B后,累加速度达到最大值1。
将PI代入位置型PID算式,可得
(6-20)
变速积分PID与普通PID相比,具有如下一些优点:
1.完全消除了积分饱和现象;
2.大大减小了超调量,可以很容易地使系统稳定;
3.适应能力强,某些用普通PID控制不理想的过程可采用此种算法;
4.参数整定容易,各参数间的相互影响减小了,而且对A、B两参数的要求不精确,可作一次性确定。
变速积分与积分分离两种控制方法很类似,但调节方式不同,积分分离对积分项采用的是所谓“开关”控制,而变速积分则是缓慢变化,因而后者调节品质大为提高,它是一种新型的PID控制。
6.3.4带有死区的PID控制
在微型机控制系统中,某些系统为了避免控制动作过于频繁,以消除由于频繁动作所引起的振荡,有时采用所谓带有死区的PID控制系统,如图6-15所示。
相应的算式为
(6-21)
图6.15带有死区的PID控制系统原理图
在图6.15中,死区B是一个可调的参数。
其具体数值可根据实际控制对象由实验确定。
B值太小,使调节动作过于频繁,达不到稳定被调对象的目的。
如果B取得太大,则系统将产生很大的滞后。
当B=0则为PID控制。
该系统实际上是一个非线性控制系统。
即当偏差绝对值︱e(n)︱≦B时,其控制输出为零。
当︱e(n)︱>B时,则输出值P(n)以PID(或P、PI)运算结果输出。
其计算程序流程图,如图6.16所示。
图6.16带有死区的PID控制方框图
6.3.5PID比率控制
在化工和冶金生产过程中,经常需要将两种物料以一定的比例混合或参加化学反应。
如果一旦比例失调,轻者影响产品的质量或造成浪费,重者造成生产事故或发生危险。
例如:
在加热炉燃烧系统中,要求空气和煤气(或者油)的比例一定,如果空气的量比较多,则将带走大量的热量,使炉温下降,而且还会使加热的钢锭氧化铁皮增加,减少产量。
反之,如果煤气的量过多,则会有一部份煤气不能完全燃烧而白白地跑掉,造成浪费。
因此,如何保证两种物料的比例一定,这是非常重要的问题。
在模拟控制系统中,比率调节多采用单元组合仪表来完成,如图6.17所示。
图6.17空气/煤气比值调节系统
此系统的原理是空气和煤气的流量差压信号经变送器及开方器后分别得到空气和煤气的流量a和b,a、b经除法器得到一个比值K(n),K(n)与给定比例值K(R)相减得到偏差信号e(n)=K(n)-K(R),此偏差信号经PID调节器输出到电一气转换器去控制空气的阀门,以使空气和煤气的比例一定,故此系统又叫做固定比率控制。
由图可知,要实现这样一个系统用单元组合仪表是比较复杂的,而且当煤气的成分发生变化时改变调节系统的比值也比较麻烦。
但是如果应用微型机控制,则可以省去两个开方器,除法器和调节器,所有这些计算全部用软件来实现,而且可以用一台微型机控制多个回路。
因此采用微型机控制不论从经济上还是从效果上都有很大的意义。
其控制原理,如图6.18所示。
图6.18计算机比率控制原理
采用计算机控制其原理与模拟调节系统基本上是一样的,不同的是开方、比值及PID控制算法均由计算机来进行。
由于系统硬件大为减少,所以控制系统的可靠性将有所增加。
值得说明的是,PID算法的几种发展是非常重要的,它是计算机控制系统独特的优点。
这种算法不需要增加硬设备,而是根据被控对象的要求,对原来位置型或增量型PID的算法进行适当的改进,即可大大改善调节系统的调节品质。
因此,在计算机控制系统中,有时改进型PID的应用比常规的PID应用还要多。
6.4PID参数的整定
在数字控制系统中,参数的整定是十分重要的,调节系统参数整定的好坏直接影响调节品质。
对系统参数的整定要注意两种偏向,一种偏向是把参数整定看成是可有可无,无所谓;另一种偏向是过分夸大参数整定的作用。
此两种偏向都会影响系统参数整定工作的进行,应该予以纠正。
由于一般的生产过程(如热工及化工过程)都具有较大的时间常数,而数字控制系统(DDC)的采样周期则要小得多(约差一个数量级),所以DDC系统以及PID数字调节器的参数整定,完全可以按照模拟调节器的各种参数整定方法进行分析和综合。
但是数字控制器与模拟调节器相比毕竟有其特殊性,即除了比例系数KP,积分时间TI和微分时间TD外,还有一个重要的参数——采样周期T。
合理的选择采样周期T,也是数字控制系统的关键问题之一。
6.4.1采样周期T的确定
由香农(Shannon)采样定理可知,如果原信号X(t)是有限带宽信号,即∣f∣>fmax,X(f)=0,而采样结果X*(t)是X(t)的理想采样信号,若采样频率fS≧2fmax,那么,一定可以由采样信号X*(t)唯一地决定出原始信号X(t),也就是说,若fS≧2fmax,则由X*(t)可完全恢复出X(t)。
从理论上讲,采样频率越高,失真越小。
但是,从控制器本身来讲,大都是依靠偏差信号E(k)进行调节计算的。
当采样周期T太小时,偏差信号E(k)也会过小,此时计算机将会失去调节作用,采样周期T过长将引起误差。
因此,采样周期T必须综合考虑。
影响采样周期T的因素有:
1.加到被控对象的扰动频率
扰动频率越高,则采样频率也越高,因此采样周期越短。
2.对象的动态特性
主要是与对象的纯滞后θ及时间常数τ有关。
当纯滞后比较显著时,采样周期T与纯滞后时间θ基本相等。
3.数字控制D(z)所使用的算式及执行机构的类型
如采用大林算法及应用气动执行机构时,其来样周期比较长,而最快无波纹系统及使用步进电机等时采样周期就比较短。
4.控制的回路数
控制的回路越多,则T越长,否则T越小。
5.对象所要求的控制质量
一般来讲,控制精度要求越高,,则采样周期越短,以减小系统的纯滞后。
采样周期的选择方法有两种,一种是计算法,一种是经验法。
计算法由于比较复杂,特别是被控系统各环节时间常数难以确定,所以工程上用的比较少。
工程上应用最多的还是经验法。
所谓经验法是一种凑试法。
即根据人们在控制工作实践中积累的经验以及被控对象的特点及参数,先选择一个采样周期T,然后送入微型机控制系统进行试验,根据被控对象的实际控制效果,再反复地改变T,直到满意为止。
经验法所采用的采样周期,如表6一1所示。
表6-1采样周期的经验数据
被测参数
采样周期T(秒)
备注
流量
1~5
优先选用1~2秒
压力
3~10
优先选用6~8秒
液位
6~8
温度
15~20
或滞后时间串级系统:
副环T=(1/4~1/5)T主环
成份
15~20
在表6-1中,所列的采样周期T仅供参考,由于生产过程千变万化,因此实际的采样周期需要经过现场调试后确定。
6.4.2扩充临界比例度法
扩充临界比例度法是简易工程整定方法之一。
用它整定T、KP、TI和TD的步骤如下:
1.选择一个足够短的采样周期Tmin。
例如对于带有纯滞后的系统其来样周期取纯滞后时间的十分之一以下。
2.求出临界比例度δu和临界振荡周期Tu。
具体方法是将上述的采样周期Tmin输入到计算机控制系统,并只有比例控制,逐渐缩小比例度,直到系统产生等幅振荡。
此时的比例度即为临界比例度δu,振荡周期称为临界振荡周期Tu。
3.选择控制度。
所谓控制度,就是以模拟调节器为基准,将DDC的控制效果与模拟调节器的控制效果相比较,控制效果的评价函数通常采用
(误差平方面积)表示。
(6-29)
对于模拟系统,其误差平方面积可按记录纸上的图形计算。
而DDC系统可用计算机直接计算。
通常当控制度为1.05时,表示DDC系统与模拟控制效果相当。
4.根据控制度,查表6-2即可求出T、KP、TI和TD的值。
表6-2扩充临界比例度法整定参数表
控制度*
控制规律
T
KP
TI
TD
1.05
PI
0.03Tu
0.53δu
0.88Tu
-
PID
0.014Tu
0.63δu
0.49Tu
0.14Tu
1.2
PI
0.05Tu
0.49δu
0.91Tu
-
PID
0.043Tu
0.47δu
0.47Tu
0.16Tu
1.5
PI
0.14Tu
0.42δu
0.99Tu
-
PID
0.09Tu
0.34δu
0.43Tu
0.20Tu
2.0
PI
0.22Tu
0.36δu
1.05Tu
-
PID
0.16Tu
0.27δu
0.4Tu
0.22Tu
6.4.3扩充响应曲线法
在上述方法中,不需要预先知道对象的动态特性,而是直接在闭环系统中进行整定。
如果已知系统的动态特性曲线,那么就可以与模拟调节方法一样,采用响应曲线法进行整定。
其步骤如下:
1.断开数字调节器,使系统在手动状态下工作。
当系统在给定值处平衡后,给一阶跃输入,如图6.19(a)所示。
图6.19广义特性的飞升曲线
2.用仪表记录下被调参数在此阶跃作用下的变化过程曲线(即广义对象的飞升特性曲线),如图6-19(b)所示。
3.在曲线最大斜率处做切线,求得滞后时间θ,对象时间常数τ,以及它们的比值τ/θ。
4.根据所求得的τ,θ和τ/θ的值,查表6-3,即可求得控制器的T、KP、TI和TD。
表6-3扩充曲线法整定参数表
控制度*
控制规律
T
KP
TI
TD
1.05
PI
0.1θ
0.84τ/θ
0.34θ
-
PID
0.05θ
0.15τ/θ
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- 数学模型与计算机控制 第六章PID调节器 数学模型 计算机控制 第六 PID 调节器