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论文初稿
第1章天体力学
1.1天体力学的发展简史
1.1.1天体力学的内容和作用
天体力学主要是涉及天文学和力学之间的一个交叉学科,是天文学中较早形成的一个分支学科。
它主要应用力学规律来研究天体的运动和形状。
在天体力学中所研究的天体,主要是太阳系中的自然天体和人造天体;所研究的运动,是指天体的力学中的机械运动。
天体的力学运动是指天体质量中心在空间轨道的移动和绕质量中心的转动。
对日月和行星则是要确定它们的轨道,编制星历表,计算质量并根据它们的自传确定天体的形状等等。
体的力学运动可以分为两个方面:
天体质量中心在空间中的运动又叫做移动和天体围绕自己质量中心的转动也就是自转。
天体的自转同形状有密切的关系,而形状又影响到天体之间的吸引力,因此必须研究天体的形状才能更好地研究天体的运动。
天体力学以数学为主要研究手段,至于天体的形状,主要是根据流体或弹性体在内部引力和自转离心力作用下的平衡形状及其变化规律。
天体力学自十七世纪诞生到现在已经约有三百年,随着各个历史十七的社会世纪的需要,天体力学已逐步发展成为一门内容丰富、应用广泛的学科。
根据现代天体力学的研究对象、范围和方法进行划分,天体力学大致可包含下列主要内容。
首先,多体问题又叫N体问题。
研究N个质点在万有引力作用下的运动规律,是一个动力学问题。
这是天体力学的主要基本理论问题之一。
其中二体问题已经解决,从三体问题开始等问题都还没有具体的解决。
其次摄动理论也是天体力学的主要基本理论问题之一。
由于二体问题已经得到解决,根据二体问题理论得到的天体运动轨道,又叫做摄动轨道,常用来作为天体的异地近似轨道。
研究天体的无摄动轨道在各种因素摄动即干扰下的变化规律。
就叫做摄动力。
而轨道计算是从天体的观测数据比如:
位置、距离、速度等,按照运动理论来确定天体轨道根数和有关天体运动的其他基本数据。
着是天体力学理论联系实际的重要环节。
至于历书天文学是根据天体的运动理论和轨道根数以及有关基本天文常熟来编制天体的位置表。
入天文年历变酸和某些特殊天体位置表编算工作等。
还有天体的形状和自转理论以及人造天体的运动理论,这些事现代天体力学的主要内容,根据不同的研究对象,又有分支和细化,由于星际事业的发展,已成为一门新的学科,人造天体的运动理论是它的已个部门。
1.1.2天体力学的发展
天体内部和天体相互之间的万有引力是决定天体运动和形状的主要因素,天体力学目前仍以万有引力定律为基础。
虽然已发现万有引力定律与某些观测事实发生矛盾(如水星近日点进动问题),而用爱因斯坦的广义相对论却能对这些事实作出更好的解释,但对天体力学的绝大多数课题来说,相对论效应并不明显。
因此,在天体力学中只是对于某些特殊问题才需要应用广义相对论和其他引力理论。
远在公元前一、二千年,中国和其他文明古国就开始用太阳、月亮和大行星等天体的视运动来确定年、月和季节,为农业服务。
随着观测精度的不断提高,观测资料的不断积累,人们开始研究这些天体的真运动,从而预报它们未来的位置和天象,更好地为农业、航海事业等服务。
古代的巴比伦虽然没有力学的理论来推论天体的位置,但已经分辨得出太阳、月亮和行星不断重复的运行模式。
她们将过去纪录的天体位置制成表格,当重复的现象再出现时,就能据以校准并预测行星未来的运动。
在中国,皇室的天文学家也观测天象,纪录行星和客星(可能是彗星和新星)的位置。
虽然这些纪录没有被用来预测行星的运动,但这些纪录对现代天文学显然是非常有用的。
希腊的哲学家曾写下了许多的行星运动与预测,并且提出了许多机制来解释行星的运动。
她们的想法主要都是以地球为中心,行星则做著均匀的圆周运动。
古希腊的亚里斯塔克斯(西元前310-230年)曾提出太阳是宇宙中心的模型,并且试图测量地求和太阳的距离。
历史上出现过各种太阳、月球和大行星运动的假说,但直到1543年哥白尼提出日心体系后,才有反映太阳系的真运动的模型。
而开普勒根据第谷多年的行星观测资料,于1609~1619年间先后提出了著名的行星运动三大定律;开普勒定律深刻地描述了行星运动,至今仍有重要作用。
他还提出著名的开普勒方程,对行星轨道要柔下了定义。
从此可以预报行星(以及月球)更准确的位置,形成理论天文学,这是天体力学的前身。
到这时为止,人们对天体(指太阳、月球和大行星)的真运动仅处于描述阶段,未能深究行星运动的力学原因。
中世纪末期,达·芬奇提出了不少力学概念,人们开始认识到力的作用。
伽利略在力学方面作出了巨大的贡献,使动力学初具雏形,为牛顿三定律的发现奠定了基础。
牛顿根据前人在力学、数学和天文学方面的成就,以及他自己二十多年的反复研究,在1687年出版的《自然哲学的数学原理》中提出了万有引力定律。
他在书中还提出了著名的牛顿三大运动定律,把人们带进了动力学范畴。
对天体的运动和形状的研究从此进入新的历史阶段,天体力学正式诞生。
虽然牛顿未提出这个名称,仍用理论天文学表示这个领域,但牛顿实际上是天体力学的创始人。
自天体力学创立到十九世纪后期,是天体力学的奠基过程。
天体力学在这个过程中逐步形成了自己的学科体系,称为经典天体力学。
它的研究对象主要是大行星和月球,研究方法主要是经典分析方法,也就是摄动理论。
天体力学的奠基者同时也是近代数学和力学的奠基者。
牛顿和莱布尼茨共同创立的微积分学,成为天体力学的数学基础。
十八世纪,由于航海事业的发展,需要更精确的月球和亮行星的位置表,于是数学家们致力于天体运动的研究,从而创立了分析力学,这就是天体力学的力学基础。
这方面的主要奠基者有欧拉、达朗贝尔和拉格朗日等。
其中欧拉是第一个较完整的月球运动理论的创立者,拉格朗日是大行星运动理论的创始人。
后来由拉普拉斯集其大成,他的五卷十六册巨著《天体力学》成为经典天体力学的代表作。
他在1799年出版的第一卷中,首先提出了天体力学的学科名称,并描述了这个学科的研究领域。
到1828年,全书出齐。
在这部著作中,拉普拉斯对大行星和月球的运动都提出了较完整的理论,而且对周期彗星和木星的卫星也提出了相应的运动理论。
同时,他还对天体形状的理论基础——流体自转时的平衡形状理论作了详细论述。
后来,勒让德、泊松、雅可比和汉密尔顿等人又进一步发展了有关的理论。
1846年,根据勒威耶和亚当斯的计算,发现了海王星。
这是经典天体力学的伟大成果,也是自然科学理论预见性的重要验证。
此后,大行星和月球运动理论益臻完善,成为编算天文年历中各天体历表的根据。
自十九世纪后期到二十世纪五十年代,是天体力学的发展时期。
在研究对象方面,增加了太阳系内大量的小天体(小行星、彗星和卫星等),在研究方法方面,除了继续改进分析方法外,增加了定性方法和数值方法,但它们只作为分析方法的补充。
这段时期可以称为近代天体力学时期。
彭加莱在1892~1899年出版的三卷本《天体力学的新方法》是这个时期的代表作。
虽然早在1801年就发现了第一号小行星(谷神星),填补了火星和木星轨道之间的空隙。
但小行星的大量发现,是在十九世纪后半叶照相方法被广泛应用到天文观测以后的事情。
与此同时,彗星和卫星也被大量发现。
这些小天体的轨道偏心率和倾角都较大,用行星或月球的运动理论不能得到较好结果。
天体力学家们探索了一些不同于经典天体力学的方法,其中德洛内、希尔和汉森等人的分析方法,对以后的发展影响较大。
定性方法是由庞加莱和李亚普诺夫创立的,庞加莱建立了微分方程定性理论,李亚普诺夫发展了这一理论。
但到二十世纪五十年代为止,这方面进展不大。
数值方法最早可追溯到高斯的工作方法。
十九世纪末形成的科威耳方法和亚当斯方法,至今仍为天体力学的基本数值方法,但在电子计算机出现以前,应用不广。
二十世纪五十年代以后,由于人造天体的出现和电子计算机的广泛应用,天体力学进入一个新时期。
研究对象又增加了各种类型的人造天体,以及成员不多的恒星系统。
在研究方法中,数值方法有迅速的发展,不仅用于解决实际问题,而且还同定性方法和分析方法结合起来,进行各种理论问题的研究。
定性方法和分析方法也有相应发展,以适应观测精度日益提高的要求.。
天体力学的发展同数学、力学、地学、星际航行学以及天文学的其他分支学科都有相互联系。
如天体力学定性理论与拓扑学、微分方程定性理论紧密联系;多体问题也是一般力学问题;天文动力学也是星际航行学的分支,引力理论、小恒星系的运动等是与天体物理学的共同问题;动力演化是与天体演化学的共同问题以及地球自转理论是与天体测量学的共同问题等。
1.2万有引力定律
人类对天文现象的观测和研究,有蚊子可查的历史已有两千多年了。
我国古代在观察和系统记载天象方面也积累了丰富而珍贵的资料。
但在距今约四百多年以前,人们只是单纯地用运动学模型描述天体的运行规律。
开普勒曾经探讨过行星运动规律的物理原因,但他只能停留于猜测。
牛顿所提出的万有引力定律对行星运动作出了成功的解释。
在宇航事业飞跃发展的今天,古老的万有引力帝女更加焕发着青春的活力。
1.2.1万有引力定律的发现
关于太阳及其行星包括地球运行的一些天文知识,现在已为人们所普遍接受,可是距今四百多年以前,人们普遍低凭直觉经验认为地球是静止的,它位于宇宙的中心,其他天体都围绕他做匀速圆周运动。
这种“地心说”在欧洲由于教会的支持而成为神圣不可侵犯的教义,延续了一千多年。
后来。
人类对天体运动的观察日益细致,天文知识日益丰富,“地心说”岁几经修正,单用老解释天文现象仍越来越显得困难。
到中世纪末,出现了而这样的形势:
如果放弃“地心说”。
认位地球是运动的,那么行星的运动就较为自然地得到说明,但这是向千余年来被视为的真理一个挑战,会冒着潍坊教义的生命危险。
伟大的科学家哥白尼是一位勇于挑战的人,他在长期观察和计划的基础上,在1514年后写了一篇关于日心宇宙系的报告,但没有发表;1543年临终时发表的《天体运行论》是科学史上的一次革命,开辟了科学宇宙观的新纪元。
恩格斯评价说:
“从此自然科学开始从神学中解放出来。
”但是,教会没有放松对这个新学说的镇压,意大利哲学家布鲁诺就因为宣传地动说与1600年被教会判以极刑,当众烧死。
伽利略在他的《星际使者》中进一步阐述了哥白尼的学,并提供了论据。
从1580年起,丹麦天文学家第谷在乌伦尼堡观象台对行星运动作了20年的精细的观测,积累了丰富的资料。
他的助手德国人开普勒通过进一步的观测和分析,1609年总结出行星运动的第一定律和第二定律,1619年又宣布了行星运动的第三定律。
这些定律在历史上首次对行星运动的规律作出数学描述。
在很早以前,人们就在不断地探索天体运动的奥妙.亚里士多德曾提到过力的概念,他认为力是产生非自然运动的原因,力的作用只有在相互接触时才能传递,因此,对于遥远的天体,这个力是毫无用处的.开普勒为天体运动奥妙的揭开做出了重大贡献,但却未解开天体运动的动力学之谜.1645年法国天文学家布里阿德提出一个假设:
从太阳发出的力,和离太阳距离的平方成反比.笛卡儿1644年提出“旋涡”假说,把行星的运动归结为动力学原因.1666年意大利的玻列利提出引力是距离的幂的某种函数.1673 年惠更斯在研究摆的运动时给出了向心加速度理论.英国的胡克已经觉察到引力和重力有同样的本质,1674年他提出引力随离吸引中心距离而变化,1680 年他又进一步提出了引力反比于距离的平方的假设.哈雷的伦恩从圆形轨道与开普勒定律出发,导出了作用于行星的引力与它们到太阳的距离的平方成反比.当科学的接力棒传到了牛顿手中时,他便向万有引力定律的红线冲刺了.他站在前人的肩上,发挥他卓越的才能,建立了万有引力定律,为科学做出了重大的贡献.牛顿发现万有引力定律的过程中包含着丰富的物理学思想和物理学方法论内容。
运用科学想象和推理,牛顿论证了行星运行都要受到一个力的作用。
运用类比方法,牛顿推证了行星运行所受到的力是一种连续地指向一确定中心的作用力。
运用数学方法,牛顿推导出行星运行所受到的向心力遵从平方反比定律。
运用演绎推理方法,牛顿把引力的平方反比定律推广到一切物体,得出一切物体间均存在引力的结论。
运用归纳概括方法,牛顿总结出了万有引力定律,完成了万有引力定律的发现工作。
运用科学观察和科学实验验证万有引力定律理论。
牛顿的万有引力定律是经过科学观察和科学实验的检验后才得到普遍承认的。
1.2.2怎样运用万有引力处理天体力学中的问题
天体力学注意讨论的是天体的运动,由于影响天体运动的因素很多,需要根据所讨论天体的情况给予正确处理,才能逐步建立符合实际情况的运动理论。
否则,不是无从下手,就是要走很多弯路,甚至得到错误的结果。
天体力学中已有的各种理论和方法,都是从实践中逐步归纳总结出来的,并且多次经过实践检验,不断深化和完善的。
万有引力定律出现以后,到现在将近三百多年,经过长期的考验和改进,天体力学已有一套较成熟的研究方法,当然也还存在不少矛盾和未解决的问题,在本书中,主要介绍天体力学中比较成熟的,而现在还在广泛应用的基本理论。
在研究某一天题的运动时,首先把他看成一个质点,而且先只讨论另一个起主要作用的天体也看成质点对他的引力。
例如讨论行星或彗星的运动时,先讨论太阳对它的引力;讨论某卫星的运动时,先讨论所在的行星的引力。
这样就把所讨论的天体运动简化为一个二体问题,得到的轨道为无摄轨道。
这是讨论天体运动的第一次近似理论,尽管是近似的,但抓住了影响天体运动的主要因素,所得结果也是基本的,第二步是讨论各种摄动因素对天体的无摄动轨道的影响。
由于摄动因素的数量和每种因素的精确程度都是无限的,因而要根据实践要求确定出运动方程。
接出的结果再用天体的观测值来检验,如偏差是不可容许的,否则必需再进行改进增加摄动因素或更精确考虑某些摄动因素,直到理论结果符合观测结果或其他的实践要求为止。
可是随着生产力的不断发展,观测技术在不断地更新和提高。
所以到了一定的历史阶段,新的更精确的观测结果又会向天体的运动理论提出改进的要求;阶级斗争和生产实践也会向梯田的运动理论提出改进的要求;阶级斗争和生产斗争实践也会向天体力学提出新的任务。
这样就促使天体力学的运动理论不断地发展和完善。
第2章三体问题中的混沌运动情况
2.1三体问题的起源及发展进
在二十世纪的第一次数学家大会(1900年)上,二十世纪伟大的数学家希尔伯特(DavidHilbert)在他著名的演讲中提出了23个困难的数学问题,这些数学问题在二十世纪的数学发展中起了非常重要的作用。
在同一演讲中,希尔伯特也提出了他所认为的完美的数学问题的准则:
问题既能被简明清楚的表达出来,然而问题的解决又是如此的困难以至于必须要有全新的思想方法才能够实现。
为了说明他的观点,希尔伯特举了两个最典型的例子:
第一个是费尔马(PierredeFermat)猜想,即代数方程xn+yn=zn在n大于2时是没有整数解的;第二个就是所要介绍的N体问题的特例——三体问题。
值得一提的是,尽管这两个问题在当时还没有被解决,希尔伯特并没有把他们列进他的问题清单。
但是在整整一百年后回顾,这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。
费尔马猜想经过全世界几代数学家几百年的努力,终于在1994年被美国普林斯顿大学(PrincetonUniversity)威尔斯(AndrewWiles)最终解决,这被公认为二十世纪最伟大的数学进展之一,因为除了解决一个重要的问题,更重要的是在解决问题的过程中好几种全新的数学思想诞生了,难怪在问题解决后也有人遗憾地感叹一只会生金蛋的母鸡被杀死了。
“三体问题”的提出可以追溯到17世纪80年代,当时英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿运用他的引力理论正确预测两个互相吸引的天体(比如太阳和地球)的运动规律——它们的轨道基本是椭圆形。
简单地说,“三体问题”就是探讨3个质量、初始位置和初始速度都为任意的可视为质点的天体,在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。
但如果有3个天体,比如太阳、地球和月球相互作用,它们的运行轨道是什么样的?
牛顿没能给出通用的特解答案。
随后的200多年中,科学家们为解决这个问题绞尽脑汁,直到1887年德国数学家、天文学家海因里希·布伦斯指出,寻找三体问题的通解注定是无用功,只在特定条件下成立的特解才可能存在。
1889年,法国数学家、天体力学家亨利·庞加莱将复杂的三体问题简化成了所谓的“限制性三体问题”。
但他发现,即使对简化了的限制性三体问题,在同宿轨道或者异宿轨道附近,解的形态会非常复杂,以至于对于给定的初始条件,几乎没有办法预测当时间趋于无穷时,这个轨道的最终命运。
而这种对于轨道的长时间行为的不确定性,这也就是我们目前称之为“混沌”(chaos)的现象。
现在人们知道,通常情况下三体问题的解是非周期性的。
要发现三体问题的周期性特解绝非易事——自“三体问题”被确认以来的300多年中,人们只找到了3族周期性特解。
法国数学家、物理学家约瑟夫·拉格朗日和瑞士数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉在18世纪得到了一些结果;20世纪70年代,美国数学家罗杰·布鲁克和法国天文学家米歇尔·赫农借助计算机又得到了更多的结果;1993年,美国数学家、物理学家克里斯·摩尔发现一种奇特现象——特解中3个天体的运动似在一条“8”字形的轨道上互相追逐。
上述所有这些被发现的特解可以被归结为下面3族:
拉格朗日-欧拉族、布鲁克-赫农族和“8”字形族。
拉格朗日-欧拉族的解比较简单,就是三个天体等间距地在圆轨道上运动,就像旋转木马那样。
布鲁克-赫农族的解比较复杂,两个天体在里面横冲直撞,第三个天体在它们外围做环绕运动。
要知道,发现新的特解不是一件容易的事:
三个天体在空间中的分布可以有无穷多种情况,必须找到合适的初始条件——起始点、速度等,才能使系统在运动一段时间之后回到初始状态,即进行周期性的运动。
现在,科学家们有了新突破。
塞尔维亚物理学家米洛万·舒瓦科夫和迪米特拉·什诺维奇发现了新的13族特解。
他们在著名学术期刊《物理评论快报》上发表了论文,描述了他们的寻找方法:
运用计算机模拟,先从一个已知的特解开始,然后不断地对其初始条件进行微小的调整,直到新的运动模式被发现。
这13族特解非常复杂,在抽象空间“形状球”中,就像一个松散的线团。
三体问题特解的族数被扩充到了16族。
这一新发现令科学界欢欣鼓舞。
多年来一直从事三体问题研究的美国科学家罗伯特·范德贝说,“我非常喜欢这一成果”。
另一位美国科学家理查德·蒙哥马利说:
“这些结果非常美妙,而且描述非常精彩。
”中国科学家周海中表示,他们的成果加深了人们对天体运动的了解,促进了天体力学和数学物理的进一步发展,尤其是对人们研究太空火箭轨道和双星演化很有帮助。
2.2三体问题
天体力学的重要课题莫过于三体问题了,三体问题是一个天体力学的老大难问题,从牛顿提出到现在已近三百年,至今尚未解决。
三个天体质点在万有引力作用下的运动问题。
这三个天体的质量、初始位置和初始速度都是任意的。
三体问题是一个古老而至今尚未完全解决的天体力学难题,到现在已有近三百年的历史,很多著名的数学家和力学家都作过研究,有关文献已超过千篇。
由于没有得到三体问题的严格解,在研究具体天体运动时,都是根据实际情况求出各种近似解。
在求解过程中提出研究三体问题的各种方法,从而推动三体问题理论的发展。
三体问题是复杂的,其关键性工作是怎样求解微分方程组的问题,但目前还不能给出严格的解析解,这有待于数学理论的进一步发展.目前的情况下只能通过计算机的数值计算来模拟其运动规律.在计算过程中发现三体问题运动的“不确定性”,即存在混沌现象.这一现象激励着更多的物理学家和数学家投入研究.
2.2.1限制性三体问题
庞加莱获的论文题目是《论三体问题和动力学方程》,这篇论文发表于1890年,长达270页,分三部分,第一部分确立动力学方程的普遍性质;第二部分把结果应用于牛顿万有引力作用下的任意多体运动问题。
由于太阳系中有许多天体,它的稳定性问题需要研究这些天体在万有引力作用下的运动规律。
此即天体力学中的N体问题。
19世纪的数学家已经知道,N体问题属于不可积的难题,只能近似求解。
庞加莱考虑的是限制性三体问题。
所谓限制性三体问题,是当所讨论的3个天体中,有一个天体的质量与其他两个天体的质量相比,小到可以忽略。
庞加莱说,这个问题尽管很简单,但不能用一般的分析方法来解决。
他着手去寻找小质量体(考虑另外两个大质量体时被忽略掉的那一个天体)的周期运动。
这是在论文的第三部分里,庞加莱试图解决微分方程周期解的存在性问题。
他在得出形式上的级数解后,没有直接去证明收敛性,却从另外一个角度审视这个问题,意在严格地证明周期解的存在,同时隐含着级数的收敛。
他的这种思想是独一无二的,其实用到了拓扑方法,是一种定性而非定量的方法。
在讨论天体或天体系统的运动时,应该考虑所有的作用力与天体运动有关的。
但是作用力是很难全部考虑完的,即使全部找出厚,运动方程也是无法解出的,就以n体问题位列,其中只考虑n个质点之间的万有引力,运动方程也解不出来。
主要困难在于运动方程的阶数太高,很难用分析方法或定性方法进行讨论。
于是,邦加雷等人提出一种简化模型:
只讨论一个天体作为质点的运动;而这个天体所收到的作用力是已知的,即可以用时间的已知函数来表示。
这种类型的问题就叫做限制性问题,根据太阳系具体情况,这类问题中已进行过大量研究的有:
希尔问题、两个不动中心问题、多个不动中心问题、或法都问题、限制性三体问题。
而其中限制性三体问题是从太阳系实际情况提出来的。
在太阳系中,有很多质量非常小的天体,如绝大多数小行星,卫星,彗星和流行等。
根本不必考虑它们对其他天体的引力。
由此抽象出下面以种力学模型三体m1,m2,m中,设m也代表它的质量为无穷小,即认为它对m1,m2没有引力,只考虑m1,m2的相互吸引力和对m的引力。
研究此三体情况的运动规律,就叫做限制性三提问题。
2.2.2圆形限制性三体问题
研究一个无限小质量体在两个有限质量体(围绕公共质点作圆周运动)的万有引力作用下运动的规律问题。
在航天活动中,可以把航天器看作一个无限小质量体。
航天器在地球-月球引力作用下,或者在太阳-地球引力作用下,或者在太阳-某大行星引力作用下的运动问题,都可以近似看地成圆型限制性三体问题。
在研究圆型限制性三体问题时采用一个与两个有限体一起运动的旋转坐标系。
坐标原点在公共质心上,图中标出了X、Y轴的方向,P1、P2为两个有限质量体,X-Y平面是两个有限质量体运动的平面。
Z轴与X、Y轴垂直。
在这个参考坐标系中,无限小质量体的运动速度与位置有下面的关系:
式中v为无限小质点在旋转坐标系中的速度;x、y、r1、r2分别为小质点的位置坐标和到P1、P2的距离;G为万有引力常数;m1、m2分别为P1和P2的质量;C为积分常数,它依赖于无限小质点初始位置和初始速度。
这个公式是圆型限制性三体问题的能量积分,常称为雅可比积分。
仅有这个关系式还不能描述小质量体的运动。
迄今为止圆型限制性三体问题还没有解出。
无限小质量体的实际运动只能用数值计算方法求解。
航天器在地球-月球引力作用下的运动,用能量积分不仅能够给出航天器的位置与速度的关系,并且从中可以引出零速度面和平动点两个有用的概念。
在能量积分的公式中,当V等于0时,公式描述了一个空间曲面,称为零速度面。
它是航天器所能够达到的范围与不能达到的范围的分界面。
零速度面与航天器的初始位置和初始速度有关。
在初始位置一定的情况下,初始速度增加,航天器所能达到的范围增大,不可到达的范围缩小。
图中P1和P2分别代表地球和月球,阴影部分表示航天器不能到达的区域,图中a~f表示随着初始速度增加不能到达的范围缩小的过程。
在a中,两个卵形区域互不连通,这表明在这样的初始速度下航天器不可能到达月球。
在b中两个卵形区域相切于L1点,与它对应的速度是从地球发射航天器可能到达月球的最小速度。
在c中两个卵形区相通,从地球发射的航天器可能从裂开的窗口飞往月球。
在d中零速度面相切于L2点,航天器不能逃逸出地-月系统。
有e中零速度面再次相切于L3点。
在f中零速度面收缩到L4、L5两点。
距地面200公里处的航天器在初速为10.848公里/秒时,就会出现b的情况,这是飞向月球的最小速度。
d所对应的初
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