走进电世界.docx
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走进电世界
按同样方式将K个零器全部接入电路,则节点导纳矩阵变为N(N-k)矩阵,这样
得到的向量方程所表示的方程组中,方程数(N)校变量数(N-k)多k个,即有k
个冗余方程。
将零器接入网络后,再接入泛器。
若在端子p,q之间接入一个泛器,设此泛器
的电流为,考虑该之路接入对节点的影响,式(2-7-2)变为
根据零泛器的元件特性,可为任何值,它决定整个网络的约束关系。
因此
我们不希望保留式(2-7-2)右端变量向量中的。
将上述向量方程所代表的方程
组中的第q个方程相加,这样既消去了,又可以去掉一个冗余方程。
这样,式
(2-7-3)变为
由此看出,在电路中接入一对零泛器,节点导纳矩阵变为N-1阶方阵,节点电压向量也变为N-1个元。
若将k对零泛器全部接入电路,则节点导纳矩阵将变为N-k阶方阵,此时的节点电压向量也只有N-k个元。
若节点i,j之间的零器的一端j接地,则。
因此应直接删去矩阵中的第i列元素和节点电压向量中的变量。
若节点p,q间的泛器的一端q接地,应直接删去矩阵中的第p行元素,并同时删去节点电源电流向量中的。
将上述形成节点方程的步骤归纳如下:
(1)移去所有零器和泛器(将其暂时断开)。
(2)列写网络的节点方程,此时节点导纳矩阵为N阶方阵。
(3)逐个接入零器。
若在节点i.j间接入一个零器,设i.j二节点均不接地,则将矩
阵的第j列元素加到第i列元素上,并消去第j列元素和节点电压向量中的变量。
如果节点j接地,则直接从矩阵中删去第i列元素和节点电压向量中的变量。
(4)逐个接入泛器。
若在节点q.p间接入一个泛器,设q.p二节点均不接地,则将矩阵的第q行元素加到第p行元素上,并删去第q行元素,而节点电源电流向量中第p个元素为,同时去掉第q个元素。
若果节点q接地,则直接删去矩阵的第p行元素,同时删去节点电流电源向量中的。
例2-4列写图2-15所示电路的节点方程。
解:
以节点6为参考节点,断开零泛器后,节点导纳矩阵为
节点电源电流向量为
由于节点和节点之间接有一个零器,将矩阵中第四列元素加到第一列中去,删去第四列元素,同时删去节点电压向量中的变量。
节点和节点间接有一个泛器,将矩阵中第五行加到第二行元素中去,并去掉第五行元素,同时删去向量中第5个元素,得到节点方程如下:
例2-5图2-16中的运算放大器为理想放大器。
求转移电压比。
解:
将图2-16中的理想运算放大器用零泛器模型表示,如图2-17所示。
断开所有零泛器
后,节点导纳矩阵为
节点电压向量为
节点电源电流向量为
因为节点.和节点,之间分别接有一个零器,将中第5列和第3列元素
删去第5列和第3列元素,同时删去节点电压向量中的。
由于节点2,6之间和节
点4.6之间分别接有一个泛器,从中直接删去第2行和第4行元素,同时删去中第
2个和第4个元素。
可得节点方程
求解此方程,并考虑到,可得
2-8混合变量方程
在前面几节介绍的网络方程法中,导纳矩阵法,节点分析,割级分析要求能写出网络
的导纳矩阵,而阻抗矩阵法和回路分析则要求能写出网络的阻抗矩阵。
某些元件只具有
导纳参数,列如电压控电流源。
另一些元件却只具有阻抗参数,例如电流控电压源。
还
有一些元件既不具有阻抗参数,也不具有导纳参数,例如电压控电压源,器元件特性是用电压与电压的关系来表示的。
如果网络中含有这类元件,应用直接分析法,节点分析法,割级分析法和回路分析法均会出现困难。
本节介绍的混合变量法适用于含有这类元件的网络。
由于树枝电压形成所有支路电压的一个基底集合,用树枝电压可以表示出网络中全部支路电压。
连支电流形成所有支路电流的一个基底集合,用连支电流可以表示出网络中全部之路电压。
因此,我们可以通过选树来选择一组独立的混合变量(既有电流又有电压)作为网络变量,建立混合的元件VCR向量方程,以适应各类非源元件VCR表达的需要。
对于一个给定的网络,选择一个适当的树后根据式(2-3-13)和式(2-3-14)有
式中U,I为非源元件(包括无源元件和受控源等非独立源元件)的电压电流。
若将这些元件按先树枝后连支的顺序排列,则
根据式(2-3-16)所表示的KCL方程,将其矩阵按先树支后连支分块后有
(2-8-1)
展开得
(3-3-12)
上式可展开写为
(3-3-13)
由于
(3-3-14)
式(3-3-14)表明,不定导纳矩阵任一行诸元之和为0。
以上论证了不定导纳矩阵的零和特性。
具有零和特性的矩阵称为零和矩阵(zerosummatrix)。
零和矩阵为奇异矩阵。
根据导纳矩阵的行列式为零以及零和特性,可以证明,不定导纳矩阵所有的一阶代数余子式均相等,具有这种性质的矩阵称为等余因子矩阵。
3-3-12原始不定导纳矩阵的直接形成
设网络N的每一节点均为可及节点,并连接有一引出端。
这样的多端导纳矩阵称为网络N的原始不定导纳矩阵。
原始不定导纳矩阵可通过观察直接写出,而不必像例3-1那样用式(3-3-4)逐一的计算矩阵中的各元素。
本节将介绍直接形成原始不定导纳矩阵的方法。
首先研究各类网络元件对原始不定导纳矩阵的贡献。
据此可直接写出原始不定导纳矩阵。
1.二端导抗元件
图3-10二端元件的导纳为,其二端连接于节点
a,b,
电流,电压参考方向从a至b。
仅有参数y(s)所确立
的端电流与端电压关系表示为如下方程:
根据用不定导纳矩阵所描述的多端网络方程(3-3-1),由式(3-3-15)可知,二端元件
对不定导纳矩阵的a,b行即a,b列元有以下贡献:
2.电压控电流源(VCCS)
电压控电流源是一种受控源,由控制支和受控之路构成如图3-11所示。
图中接于节点c.d间的是受控电流源支路,控制量为节点a.b间的电压控制参数为转移电导。
节点a,b的控制支路是一个开路。
仅有VCCS所确立的a,b,c,d四端电流和电压关系方程为
根据方程(3-3-1)和以上两式,电压控电流源对不定导纳矩阵的c.d行及a.b列元贡献如下
3.回转器
回转器式一种二端口元件,元件特性可由回转电导g及回转方向确定。
图3-12所示回转器的两对端口分别连接于节点a.b和c.d。
按图中标注的回转方向,由回转器所确立的a.b.c.d四端电流和电压关系方程为
根据方程和以上4式,回转器对不定导纳矩阵的a,b,c,d行及a,b,c,d列元的贡献为
(3-3-20)
4.耦合电感元件
图3-13所示二端口耦合电感元件具有电感和互感M。
二端口分别连接于节点a.b和c.d。
由耦合电感元件的VCR方程
(3-3-21)
解出用导纳参数表示的元件电流电压关系方程:
由此可得二端口耦合电感元件对不定导纳矩阵的a,b,c,d行及a,b,c,d列元的贡献,表示为以下4端电流用4端电压表示的方程:
(3-3-23)
5.理想变压器
理想变压器的二端口变量间的关系方程表示电压与电压之间的关系,电流与电流间的关系,而不存在用导纳参数表示的元件VCR方程。
对于这种元件,难以直接写出它对不定导纳矩阵的贡献。
可将串联(或并联)于理想变压器某一端(或一端口)上的一个导抗元件一并考虑,视为一个二端口网络,写出其对不定导纳矩阵的贡献。
例如图3-14中的变比为n的理想变压器,其左边端口的一端串联有导纳为y(s)的元件,这样构成的二端口网络接至网络中的a,b端和c,d端。
则端电流I(a)和I(c)分别可用端口电压表示为
根据方程(3-3-1)和以上俩式,图3-14所示含理想变压器的二端口网络对不定导纳矩阵的a,b,c,d行及a,b,c,d列元有如下贡献:
(3-3-25)
除以上列出的几种网络元件外,在线性网络中还有一些二端口元件,它们的端口变量关系不能够用导纳参数表示。
例如负阻抗变换器与理想变压器情况相似,可以采用和理想变压器相同的办法,连同其端部串并联的导抗元件一起考虑,写出该二端口网络对不定导纳矩阵的贡献。
对于线性受控源中除VCCS外的其余三种(CCCS,VCVS和CCVS),均可连同其端部串并联导抗元件一起,变化为等效的含VCCS的二端口网络。
例如,图3-15所示vcvs,其受控支路串联电阻元件的电导为,应用有伴电压源与有伴电流源间的等效变换,得到图3-16所示的含vccs的网络。
对于给定的一个具有个节点的线性多端网络,用观察法写出原始不定导纳矩阵的规则如下:
(1)写出所有的二端导抗元件对原始不定导纳矩阵的贡献部分,并将位于该矩阵同一元处的各参数相加。
由式(3-3-16)可知,仅由所有二端导抗元件而构成的子网络的原始不定导纳矩阵参数为
与端点i相连接的二端元件的导纳(i=1,2,3…)
连接于节点I,j间的二端元件的导纳(i=1,2,3…,j=1,2,3…)
(2)写出各类二端口元件对原始不定导纳矩阵的贡献。
即按式(3-3-18)、(3-3-20)、(3-3-25)等分别将VCCS、回转器、耦合电感元件、理想变压器对不定导纳矩阵的贡献写出。
(3)将由以上步骤所得到的各类元件对原始不定导纳矩阵的贡献相加,即得原始不定导纳矩阵。
例3-2在图3-17所示线性有源网络中,设5个节点均为可及的。
用观察法写出该多端网络的原始不定导纳矩阵。
图3-17
解:
首先将图3-17电路中的CCCS变换为VCCS。
因
故
由此可知,该VCCS对不定导纳矩阵的贡献为(3-3-26)
在二支路间存在互感M,由式(3-3-22)可以得到该二端口元件用导纳参数表示的VCR方程:
(3-3-27)
令(3-3-28)
则有式(3-3-27)可写出该耦合电感元件对不定导纳矩阵的贡献:
(3-3-29)
写出所有二端元件对原始不定导纳矩阵的贡献,并加上已求得的VCCS和耦合电感元件对原始不定导纳矩阵的贡献,由此得到图3-17所示5端网络的不定导纳矩阵:
(3-3-20)
检验矩阵各行、各列,均满足零和特性。
将此例与例3-1所用的方法相比较,可以看出,观察法较按式(3-3-4)逐一计算各元件的方法简便可行,大大减少了计算量。
故在实际应用中常用观察法列出原始不定导纳矩阵。
3-3-3随端部处理的变化。
一般多端网络并非在每一节点都有一个引出端,而仅仅在部分节点有引出端。
此外节点上的引出线还可能相互连接之后形成网络的一个端子。
这些多端网络的不定导纳矩阵可以通过对网络的原始不定导纳矩阵进行相应的变化而得。
以下讨论几种常见的端部处理所引起的矩阵的变换。
1.端子压缩
将多端网络的两个或更多个端子连接在一起,形成一个端子,称为端子压缩,实为端子的合并。
对于图3-18所示n端网络,如果将其1、2端相连,形成一个新的端子1‘,其端电压和端电流分别与原1、2两端的电压、电流有如下关系:
考察由式(3-3-1)表示的多端网络方程,如果其中1、2两个端电压彼此相等,则不定导纳矩阵中与它们相乘的第1、2列元素应相加而合并为一列。
如果将第1、2两个端电流相加,则不定导纳矩阵中的第1、2行元素应相加而合并为一行。
于是,由第1、2端压缩而得的(N-1)端的不定导纳矩阵是如下的(N-1)阶矩阵:
(3-3-31)
相应的,向量方程式(3-3-1)的端电压、端电流向量中分别应删去元素。
以上规则可推论至将多端网络3个或更多端子的压缩。
可
2、端子消除
将多端网络的某些引出线去掉,使原来与这些端线所连接的节点成为不可及节点,称为端子消除。
为了讨论端子消除所引起的不定导纳矩阵的变换,将原多端网络的全部端子按保留端和消除端分类。
对应于保留端的端电流端电压向量用表示,对应于消除端的端电流、端电压向量用表示。
于是,用不定
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