高中数学立体几何知识点总结.docx

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高中数学立体几何知识点总结

高中数学之立体几何

平面基本性质

公理1如果一条直线上两点在一种平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.

公理2如果两个平面有一种公共点，那么它们有且只有一条通过这个点公共直线.

公理3通过不在同始终线上三个点，有且只有一种平面.

依照上面公理，可得如下推论.

推论1通过一条直线和这条直线外一点，有且只有一种平面.

推论2通过两条相交直线，有且只有一种平面.

推论3通过两条平行直线，有且只有一种平面.

空间线面位置关系

共面平行—没有公共点

（1）直线与直线相交—有且只有一种公共点

异面（既不平行，又不相交）

直线在平面内—有无数个公共点

（2）直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点

（直线在平面外）相交—有且只有一公共点

（3）平面与平面相交—有一条公共直线（无数个公共点）

平行—没有公共点

异面直线鉴定

证明两条直线是异面直线普通采用反证法.

有时也可用定理“平面内一点与平面外一点连线，与平面内不通过该点直线是异面直线”.

线面平行与垂直鉴定

（1）两直线平行鉴定

①定义：

在同一种平面内，且没有公共点两条直线平行.

②如果一条直线和一种平面平行，通过这条直线平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.

③平行于同始终线两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.

④垂直于同一平面两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b

⑤两平行平面与同一种平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b

⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.

（2）两直线垂直鉴定

1.定义：

若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.

2.一条直线与两条平行直线中一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

3.一条直线垂直于一种平面，则垂直于这个平面内任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b.

4.如果一条直线与一种平面平行，那么这条直线与这个平面垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b.

5.三个两两垂直平面交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.

（3）直线与平面平行鉴定

①定义：

若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.

②如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,bα，a∥b,则a∥α.

③两个平面平行，其中一种平面内直线平行于另一种平面，即若α∥β,lα，则l∥β.

④如果一种平面和平面外一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，lα，则l∥α.

⑤在一种平面同侧两个点，如果它们与这个平面距离相等，那么过这两个点直线与这个平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.

⑥两个平行平面外一条直线与其中一种平面平行，也与另一种平面平行，即若α∥β,aα，aβ，a∥α，则α∥β.

⑦如果一条直线与一种平面垂直，则平面外与这条直线垂直直线与该平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，则b∥α.

⑧如果两条平行直线中一条平行于一种平面，那么另一条也平行于这个平面（或在这个平面内），即若a∥b,a∥α,b∥α（或bα）

（4）直线与平面垂直鉴定

①定义：

若一条直线和一种平面内任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.

②如果一条直线和一种平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.

③如果两条平行线中一条垂直于一种平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.

④一条直线垂直于两个平行平面中一种平面，它也垂直于另一种平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.

⑤如果两个平面互相垂直，那么在一种平面内垂直于它们交线直线垂直于另一种平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α.

⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.

（5）两平面平行鉴定

①定义：

如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.

②如果一种平面内有两条相交直线都平行于另一种平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.

③垂直于同始终线两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.

④平行于同一平面两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.

⑤一种平面内两条直线分别平行于另一平面内两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.

（6）两平面垂直鉴定

①定义：

两个平面相交，如果所成二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.

②如果一种平面通过另一种平面一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β.

③一种平面垂直于两个平行平面中一种，也垂直于另一种.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.

直线在平面内鉴定

（1）运用公理1：

始终线上不重叠两点在平面内，则这条直线在平面内.

（2）若两个平面互相垂直，则通过第一种平面内一点垂直于第二个平面直线在第一种平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.

（3）过一点和一条已知直线垂直所有直线，都在过此点而垂直于已知直线平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.

（4）过平面外一点和该平面平行直线，都在过此点而与该平面平行平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.

（5）如果一条直线与一种平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.

存在性和唯一性定理

（1）过直线外一点与这条直线平行直线有且只有一条；

（2）过一点与已知平面垂直直线有且只有一条；

（3）过平面外一点与这个平面平行平面有且只有一种；

（4）与两条异面直线都垂直相交直线有且只有一条；

（5）过一点与已知直线垂直平面有且只有一种；

（6）过平面一条斜线且与该平面垂直平面有且只有一种；

（7）过两条异面直线中一条而与另一条平行平面有且只有一种；

（8）过两条互相垂直异面直线中一条而与另一条垂直平面有且只有一种.

射影及关于性质

（1）点在平面上射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上射影，点射影还是点.

（2）直线在平面上射影自直线上两个点向平面引垂线，过两垂足直线叫做直线在这平面上射影.

和射影面垂直直线射影是一种点；不与射影面垂直直线射影是一条直线.

（3）图形在平面上射影一种平面图形上所有点在一种平面上射影集合叫做这个平面图形在该平面上射影.

当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；

当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一种图形.

（4）射影关于性质

从平面外一点向这个平面所引垂线段和斜线段中：

（i）射影相等两条斜线段相等，射影较长斜线段也较长；

（ii）相等斜线段射影相等，较长斜线段射影也较长；

（iii）垂线段比任何一条斜线段都短.

空间中各种角

等角定理及其推论

定理若一种角两边和另一种角两边分别平行，并且方向相似，则这两个角相等.

推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成锐角（或直角）相等.

异面直线所成角

（1）定义：

a、b是两条异面直线，通过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成角.

（2）取值范畴：

0°＜θ≤90°.

（3）求解办法

①依照定义，通过平移，找到异面直线所成角θ；

②解具有θ三角形，求出角θ大小.

直线和平面所成角

（1）定义和平面所成角有三种：

（i）垂线面所成角一条斜线和它在平面上射影所成锐角，叫做这条直线和这个平面所成角.

（ii）垂线与平面所成角直线垂直于平面，则它们所成角是直角.

（iii）一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成角是0°角.

（2）取值范畴0°≤θ≤90°

（3）求解办法

①作出斜线在平面上射影，找到斜线与平面所成角θ.

②解含θ三角形，求出其大小.

二面角及二面角平面角

（1）半平面直线把平面提成两个某些，每一某些都叫做半平面.

（2）二面角条直线出发两个半平面所构成图形叫做二面角.这条直线叫做二面角棱，这两个平面叫做二面角面，即二面角由半平面一棱一半平面构成.

若两个平面相交，则以两个平面交线为棱形成四个二面角.

二面角大小用它平面角来度量，普通以为二面角平面角θ取值范畴是

0°＜θ≤180°

（3）二面角平面角

①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱射线，这两条射线所构成角叫做二面角平面角.

②二面角平面角具备下列性质：

（i）二面角棱垂直于它平面角所在平面，即AB⊥平面PCD.

（ii）从二面角平面角一边上任意一点（异于角顶点）作另一面垂线，垂足必在平面角另一边（或其反向延长线）上.

（iii）二面角平面角所在平面与二面角两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β.

③找（或作）二面角平面角重要办法.

（i）定义法

（ii）垂面法

（4）求二面角大小常用办法

①先找（或作）出二面角平面角θ，再通过解三角形求得θ值.

②运用面积射影定理

S′=S·cosα

其中S为二面角一种面内平面图形面积，S′是这个平面图形在另一种面上射影图形面积，α为二面角大小.

③运用异面直线上两点间距离公式求二面角大小.

空间各种距离

点到平面距离

（1）定义面外一点引一种平面垂线，这个点和垂足间距离叫做这个点到这个平面距离.

（2）求点面距离惯用办法：

1）直接运用定义求

①找到（或作出）表达距离线段；

②抓住线段（所求距离）所在三角形解之.

2）运用两平面互相垂直性质.即如果已知点在已知平面垂面上，则已知点到两平面交线距离就是所求点面距离.

3）体积法其环节是：

①在平面内选用恰当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥体积V和所取三点构成三角形面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种办法长处是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造适当三棱锥以便于计算.

4）转化法将点到平面距离转化为（平行）直线与平面距离来求.

直线和平面距离

（1）定义一条直线和一种平面平行，这条直线上任意一点到平面距离，叫做这条直线和平面距离.

（2）求线面距离惯用办法

①直接运用定义求证（或连或作）某线段为距离，然后通过解三角形计算之.

②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.

③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.

空间几何体三视图和直观图

1三视图：

正视图：

从前去后侧视图：

从左往右俯视图：

从上往下

2画三视图原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图：

斜二测画法（角度等于45或者135）

4斜二测画法环节：

（1）.平行于坐标轴线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴线长度变半，平行于x轴线长度不变；

（3）.画法要写好。

空间几何体表面积与体积

（一）空间几何体表面积

1棱柱、棱锥表面积：

各个面面积之和

2圆柱表面积3圆锥表面积：

4圆台表面积5球表面积

6扇形面积公式（其中表达弧长，表达半径）

注：

圆锥侧面展开图弧长等于地面圆周长

（二）空间几何体体积

1柱体体积2锥体体积

3台体体积4球体体积