专题四 立体几何与空间向量.docx
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专题四 立体几何与空间向量.docx
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专题四立体几何与空间向量
专题四 立体几何与空间向量
第11讲空间几何体
[云览高考]
考点统计
题型(频率)
考例(难度)
考点1 空间几何体的三视图与直观图
选择(4)
填空(4)
2012安徽卷12(A),2012广东卷7(B),2012天津卷10(B),2012课程标准卷7(A),2012福建卷4(A)
考点2 空间几何体的表面积与体积
选择(4)
填空
(1)
2012课程标准卷7(A),2012安徽卷12(B),2012广东卷6(B)
考点3 球与多面体
选择
(2)
填空
(2)
2012课程标准卷11(C),2012四川卷10(B)
说明:
A表示简单题,B表示中等题,C表示难题.
频率为分析2012各省市课标卷情况.
二轮复习建议
命题角度:
该部分的命题通常围绕三个点展开.第一点是围绕空间几何体的三视图,设计由空间几何体的三视图判断空间几何体的形状,由其中的一个或者两个视图判断另外的视图等问题,其目的是考查对三视图的理解和空间想象能力;第二点是围绕空间几何体的表面积和体积展开,设计根据已知的空间几何体求空间几何体的表面积或体积的问题,其中空间几何体一般以三视图的形式给出,目的是考查空间想象能力和基本的运算求解能力;第三点是围绕多面体和球展开,设计求多面体的外接球的表面积、体积或者计算球的内接多面体的相关元素等问题,目的是考查空间想象能力、逻辑推理能力和基本的运算求解能力.试题难度大多属于A,B级,个别试题的难度属于C级.
预计2013年,该部分的考查大致方向还是如此,即以考查空间几何体的三视图、表面积和体积计算的可能性较大,也不排除考查多面体与球的可能.
复习建议:
该部分的核心是识图,根据图形(三视图、直观图)想象空间几何体的具体形状和其中涉及的线面位置关系和其中数量关系,因此复习该部分时要充分重视识图和画图的训练,注重空间想象能力的培养,在此基础上注意解决问题的方法的总结(如三棱锥体积计算方法).
主干知识整合
要点热点探究
► 探究点一 空间几何体的三视图与直观图
例1
(1)如图4-11-1是底面为正方形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图,那么该四棱锥的直观图是图4-11-2中的( D )
图4-11-1
图4-11-2
(2)如图4-11-3是一正方体被过棱的中点M,N和顶点A,D,C1的两个截面截去两个角后所得的几何体,则该几何体的正视图为( B )
图4-11-3
图4-11-4
► 探究点二 空间几何体的表面积与体积
例2
(1)[2012·课程标准卷]如图4-11-5,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( B )
图4-11-5
A.6B.9C.12D.18
(2)已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=
,DC=2AB=2BC=2,以直线AD为旋转轴旋转一周得到几何体的表面积为( A )
A.4
πB.
πC.3
πD.2
π
[点评]高考试题中求体积和表面积的试题往往与空间几何体的三视图结合,首先要根据空间几何体的三视图还原空间几何体,弄清楚空间几何体的结构再进行计算.体积的计算需要空间几何体的底面积和高,多面体表面积的计算需要把各个面的结构弄清楚,分别计算各个面的面积,求和得表面积.在计算面积时要分清楚是表面积(全面积),还是侧面积(下面的变式2).
变式题
(1)一个几何体的俯视图是一个圆,用斜二测画法画出正视图和侧视图都是边长为6和4的平行四边形,则该几何体的体积为________.
(2)已知圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形,则此圆锥的侧面积为________.
[答案]
(1)48π或72π
(2)
π
► 探究点三 球与多面体
例3[2012·课程标准卷]已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( A )
A.
B.
C.
D.
[点评]球中内接一个多面体是课程标准卷的一个重要命题点.如果一个三棱锥内接于一个球,那么它的各个面的三角形都是圆的内接三角形,球心到各个顶点的距离都等于球的半径,可以类似本题求解球心到各个面的距离.
变式题如图4-11-8,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=
,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′-BCD顶点在同一个球面上,则该球的体积为( A )
图4-11-8
A.
πB.3πC.
πD.2π
规律技巧提炼
•规律 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.
•技巧 解决组合体体积的基本方法就是“分解”,将组合体分解成若干部分,每部分是柱、锥、台、球或其一个部分,分别计算其体积,然后根据组合体的结构,将整个的体积转化为这些“部分体积”的和或差.
•易错 棱锥、球的体积公式容易忽视公式系数.
命题立意追溯
空间想象能力——认识三视图与直观图中的图形几何元素之间的关系
示例[2012·辽宁卷]一个几何体的三视图如图4-11-9所示,
则该几何体的表面积为________.38
图4-11-9
命题阐释]本题立意是通过空间几何体的三视图考查空间想象能力.题目中的视图中标注的数字反映了空间几何体的几何元素的数量,解题中就是要把这种数量关系找出,重点需要空间想象能力.
[跟踪练]
1.图4-11-10是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是________.
图4-11-10
2、某几何体的三视图如图4-11-11所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,该几何体的体积为( A )
图4-11-11
A.
πB.
πC.
πD.
π
教师备用例题
选题理由:
例1为三棱锥的等积转化,例2为补形法求解体积,例3为球的内接三棱锥,也可以使用补形方法求解.在正文中限于篇幅我们没有列入这些问题,这三个题目可以作为探究点二、三的补充.
例1 [2012·山东卷]如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为________.
.
例2 [2012·湖北卷]已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( B )
A.
B.3πC.
D.6π
例3 [2012·辽宁卷]已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为
的球面上.若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为________.
第12讲点、直线、平面之间的位置关系
[云览高考]
考点统计
题型(频率)
考例(难度)
考点1 空间点、直线、平面的位置关系
选择(3)
2012浙江卷10(B),2012安徽卷6(A)
考点2 平行与垂直关系的证明
填空
(1)
解答(6)
2012课程标准卷19
(1)(B),2012四川卷6(B)
考点3 空间角与距离
选择
(1)
解答(4)
2012课程标准卷19
(2)(B),2012陕西卷5(B),2012四川卷4(B),2012广东卷18
(2)(B)
说明:
A表示简单题,B表示中等题,C表示难题.频率为分析2012各省市课标卷情况.
二轮复习建议
命题角度:
该部分的命题主要在三个点展开.第一点是围绕空间点、直线、平面的位置关系展开,设计位置关系的判断、简单的角与距离计算等问题,目的是考查对该部分基础知识的掌握情况及空间想象能力,这类试题多为选择题或者填空题;第二点是围绕空间平行关系和垂直关系的证明,设计通过具体的空间几何体证明其中的平行关系、垂直关系的问题,目的是考查运用空间位置关系的相关定理、推理论证的能力及空间想象能力,这类试题多数是解答题组成部分;第三个点是围绕空间角与距离展开(特别是围绕空间角),设计求解空间角的大小、根据空间角的大小求解其他几何元素等问题,目的是综合考查利用空间线面位置关系的知识综合解决问题的能力,这类试题多数是解答题的重要组成部分.
预计2013年在该部分的命题方向不会改变,仍然会以解答题的方式考查空间平行关系、垂直关系的证明,空间角的求解等.
复习建议:
该部分是立体几何的核心,整个立体几何的理论部分都在这里,涉及众多的基本原理、概念、定理和法则,复习该部分时首先要把该部分的主干知识进一步系统化,在此基础上引导学生掌握使用综合几何方法证明空间平行关系、垂直关系的基本方法,掌握使用综合几何方法求空间角的方法,理科虽然有空间向量这个工具,可综合几何法在运算方面的优势也是非常明显的,要克服一味地依赖空间向量法求解立体几何问题.
主干知识整合
1.空间角的求法
(1)求异面直线所成角的常用方法:
一是平移法,即根据定义找出或作出有关角的图形并证明它符合定义,进而求出角的大小.二是补形法,在原几何体上补一个类似的几何体.
(2)求直线与平面所成角的常用方法——定义法:
作出斜线在平面内的射影,判断射影在平面内的位置.
(3)求二面角的平面角的方法:
定义法、用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角、作棱的垂面、面积法(cosθ=
).
2.空间距离的求法
(1)作出两条异面直线的公垂线段然后求之;
(2)将异面直线间距离转化为线面之间的距离;(3)将异面直线间距离转化为面面之间的距离;(4)运用“两条异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点距离的最小值”这一概念求之;(5)利用体积法求之.
要点热点探究
► 探究点一 直线、平面平行的判定与性质
例1[2012·江苏卷]如图4-12-1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
图4-12-1
求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
规范评析]在立体几何的平行关系问题中,“中点”是经常使用的一个特殊点,无论是试题本身的已知条件,还是在具体的解题中,通过找“中点”,连“中点”,即可出现平行线,而线线平行是平行关系的根本.本题还可以首先说明点D为BC的中点,通过证明四边形ADFA1是平行四边形证明线线平行.
变式题 在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为
的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点.
(1)求证:
OD∥平面PAC;
(2)求证:
平面PAB⊥平面ABC.
图4-12-2
► 探究点二 直线、平面垂直的判定与性质
例2[2012·课程标准卷]如图4-12-3,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=
AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.
图4-12-3
(1)证明:
DC1⊥BC;
(2)求二面角A1-BD-C1的大小.
[规范评析]在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直,其中要特别重视两个平面垂直的性质定理,这个定理已知的是两个平面垂直,结论是线面垂直.使用综合几何的方法求解二面角首先要作出二面角的平面角,其最主要的方法就是通过面面垂直得线面垂直,从而找出二面角的一个半平面内的一个特殊点在另一个半平面内的射影点,再从射影点作棱的垂线,连接棱上的垂足和特殊点即得二面角的平面角(实际上就是三垂线定理法).本题求解过程中是直接找出这个射影点,实际上三棱柱的上底面和侧面垂直,只要过点C1在平面A1B1C1作A1B1的垂线,垂足就是点C1在二面角的半平面A1BD内的射影,当然这个点是A1B1的中点.找二面角平面角的过程实际上就是综合运用垂直关系的过程.
变式题如图4-12-4,把底角是60°的等腰梯形ABCD沿着与等边三角形ECD的公共边CD翻折,使平面ABCD⊥平面ECD,CD∥AB,CD=2AB=2,∠ADC=60°,点G是AB的中点.
(1)证明:
CD∥平面EAB;
(2)证明:
CD⊥EG;
(3)求∠CEG的正弦值.sin∠CEG=
.
图4-12-4
► 探究点三 空间角与距离的求法
例3已知四棱锥P-ABCD的三视图及直观图如图4-12-5所示,E是侧棱PC上的动点.
图4-12-5
(1)求四棱锥P-ABCD的体积;
(2)不论点E在何位置,是否都有BD⊥AE?
证明你的结论;
(3)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
[规范评析]综合几何法求二面角首先要作出二面角的平面角,一般方法有:
(1)直接法:
根据平面角的概念直接作,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中点;
(2)垂面法:
过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角;(3)三垂线定理法:
过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面的垂线,再从垂足B向二面角的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,∠ACB就是二面角的平面角或其补角,这样就把问题归结为解一个直角三角形,是求解二面角的最基本、最重要的方法.空间角除二面角外还有线面角和线线角.
例4已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于( C )
A.
B.
C.
D.1
[点评]本题考查空间作图和距离计算,但考查的重心还是逻辑推理能力和空间想象能力.本题也可以根据三棱锥A-BCD的体积等于三棱锥D-ABC的体积,使用等体积法求解.
规律技巧提炼
•规律 平行关系的证明:
线线平行线面平行面面平行;垂直关系的证明:
线线垂直线面垂直面面垂直;异面直线角的计算:
转化为两条相交直线的夹角的计算;线面角的计算:
转化为平面的斜线与其在平面内的射影的夹角,从而转化为两条相交直线角的计算;面面角的计算:
转化为平面角,也是相交直线角的计算;点面距离的计算:
经常借助三棱锥,通过等积转化求解.
要作用是作一个平面的垂线,即问题的关键是线面垂直,通过线面垂直证明线线垂直(线面垂直的定义),通过线线垂直证明线面垂直(线面垂直的判定定理)、面面垂直(面面垂直的判定定理).
•易错 在空间中线线平行和面面平行都有传递性,但线面平行没有传递性.在空间中任意平移两条直线不改变两条直线所成的角,同时注意两直线所成角的范围是
.两异面直线所成的角归结为一个三角形中的内角时,容易忽视这个三角形中的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
命题立意追溯
空间想象能力——通过图形处理简化复杂图形、标准化非标准图形
示例已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2
,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( D )
A.2B.
C.
D.1
[命题阐释]本题以长方体为载体,考查空间想象能力,考查在复杂几何图形中把握基本图形解决问题的能力,在复杂图形中找出简捷解决问题的方法是空间想象能力的一个重要方面,也是解决立体几何问题的一个重要技巧.
[跟踪练]
1.如图4-12-7,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是AA1,A1D1,CC1,BC的中点,给出以下四个结论:
①A1C⊥MN;②A1C∥平面MNPQ;③A1C与PM相交;④NC与PM异面.其中不正确的结论是( B )
图4-12-7
A.①B.②C.③D.④
2.如图4-12-8,四面体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直,OA=OB=2,OC=3,D为四面体OABC外一点.给出下列命题:
①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形;
②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥;
③存在点D,使CD与AB垂直并且相等;
④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上.
其中真命题的序号是________.③④
图4-12-8
教师备用例题
选题理由:
例1综合了垂直关系的证明、二面角和异面直线所成角,可作为综合几何法解决立体几何试题的一个总结;例2的亮点是在立体几何中使用反证法证明线面不平行,这是值得关注的一个问题,可作为探究点一的补充.
例1 [2012·天津卷]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(1)证明:
PC⊥AD;
(2)求二面角A-PC-D的正弦值;
(3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,
求AE的长.
例2 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC∩BD=O.
(1)若AC⊥PD,求证:
AC⊥平面PBD;
(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求证:
PB=PD;
(3)在棱PC上是否存在点M(异于点C)使得BM∥平面PAD?
若存在,
求
的值;若不存在,说明理由.
第13讲空间向量与立体几何
[云览高考]
考点统计
题型(频率)
考例(难度)
考点1 空间向量证明空间位置关系
解答(3)
2012安徽卷18
(1)(B)
考点2 空间向量求空间角与距离
解答(5)
2012课程标准卷19
(2)(B),2012江西卷19(B)
考点3 空间向量解决探索性问题
解答
(2)
2012福建卷18(B)
说明:
A表示简单题,B表示中等题,C表示难题.频率为分析2012各省市课标卷情况.
二轮复习建议
命题角度:
该部分的命题非常单纯,就是围绕用空间向量解决立体几何问题设计试题,考查空间向量在证明空间位置关系、求解空间角和距离问题中的应用,考查空间向量在解决探索性问题中的应用,其目的是考查对立体几何中的向量方法的掌握程度,考查运算求解能力.试题大多是解答题,而且以使用空间向量求解空间角为主.
预计该部分在2013年的考查方向不会变化,仍然会考查空间向量在证明空间位置关系和求解空间角中的应用,有可能会考查使用空间向量解决探索性问题.
复习建议:
高考对该部分的考查目的非常明确,重点就是考查空间向量在求解空间角中的应用,虽然试题的位置关系证明部分也能使用空间向量的方法,显然这不是命题者的主要目的,因此在复习该部分时以使用空间向量方法求解空间角为核心,注意坐标系的合理建立、公式的正确使用以及计算的准确性.
主干知识整合
1.空间向量中的有关概念
(1)共线向量定理:
对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在实数λ,使a=λb.
(2)共面向量定理:
向量p与两个不共线的向量a,b共面⇔存在实数对x,y,使p=xa+yb.
(3)空间向量基本定理:
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.
(4)向量的数量积:
两个非零向量a,b的数量积a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
(5)空间向量的坐标运算:
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
2.夹角计算公式
(1)线线角:
直线与直线所成的角θ,如两直线的方向向量分别为a,b,则cosθ=|cos〈a,b〉|.
(2)线面角:
直线与平面所成的角θ,如直线的方向向量为a,平面的法向量为n,则sinθ=|cos〈a,n〉|.
(3)面面角:
两相交平面所成的角θ,两平面的法向量分别为n1,n2,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|.判定二面角的平面角是锐角还是钝角的情况来决定cosθ=|cos〈n1,n2〉|还是cosθ=-|cos〈n1,n2〉|.
3.距离公式
(1)点线距:
若直线l的方向向量为a,直线上任一点为N,则点M到直线l的距离d=|
|sin〈
,a〉.
(2)点面距:
若平面α的法向量为n,平面α内任一点为N,则点M到平面α的距离d=
|cos〈
,n〉|=
.
要点热点探究
► 探究点一 利用空间向量证明空间位置关系
例1[2012·湖南卷]如图4-13-1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
(1)证明:
CD⊥平面PAE;
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,
求四棱锥P-ABCD的体积.
图4-13-1
[规范评析]使用向量方法证明空间位置关系的基本思想就是把空间位置关系与向量关系对应起来,如本题中证明线面垂直,一种方法是根据线面垂直的判定定理证明直线与直线的垂直(使用向量垂直的充要条件是其数量积为零),一种方法是证明平面的法向量与已知直线共线,根据是两条平行线中如果有一条垂直一个平面则另一条也垂直这个平面.线面角的正弦值等于直线的方向向量和平面的法向量所成角余弦值的绝对值.
► 探究点二 利用空间向量求空间角
例2[2012·浙江卷]如图4-13-2所示,在四棱锥P-ABCD中,
底面是边长为2
的菱形,∠BAD=120°,且PA⊥平面ABCD,
PA=2
,M,N分别为PB,PD的中点.
(1)证明:
MN∥平面ABCD;
(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,
求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.
图4-13-2
[规范评析]立体几何解答题的一般模式是首先证明线面位置关系(一般考虑使用综合几何方法进行证明),然后是与空间角有关的问题,综合几何方法和空间向量方法都可以,但使用综合几何方法要作出二面角的平面角,作图中要伴随着相关的证明,对空间想象能力与逻辑推理能力有较高的要求,而使用空间向量方法就是求直线的方向向量、平面的法向量,按照空间角的计算公式进行计算,也就是把几何问题完全代数化了,这种方法对运算能力有较高的要求.两种方法各有利弊,在解题中可根据情况灵活选用.
式题如图4-13-3所示的多面体是由三棱锥A-BDE与四棱锥D-BCFE对接而成的,其中EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
(1)求异面直线BD与EG所成的角;
(2)求平面DEG与平面AEFD所成的钝二面角的正弦值.
图4-13-3
► 探究点三 利用空间向量解决探索问题
例3如图4-13-4,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
,且侧面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求证:
PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角E—BD—A的大小为45°?
若存在,试求
的值,若不存在,请说明理由.
[规范评析]解决此类探索性问题,都是先假设存在,然后根据已知条件和结论逐步进行计算和推导,若推出矛盾则不存在,这是解决探索性问题的常用方法.
规律技巧提炼
•规律 1.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,且有
=x
+y
+z
(x,y,z∈R),四点P,A,B,C共面的充要条件是x+y+z=1.
2.空间一点P位于平面MAB内⇔存在有序实数对x,y,使
=x
+y
,或对空间任一定点O,有序实数对x,y,使
=
+x
+y
.
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- 关 键 词:
- 专题四 立体几何与空间向量 专题 立体几何 空间 向量