导数有关的可转化为最值的多元问题答案.docx

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导数有关的可转化为最值的多元问题答案

导数有关的可转化为最值的多元问题

1．（本小题满分12分）设函数（）．

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若对任意及任意，，恒有成立，数的取值围．

【答案】

（1）①时，在单调减，单调增；

②时，在单调减，在单调增，单调减；

③当时，在上是减函数；

④当时，在为增函数，为减函数

（2）

【解析】

试题分析：

第一问对函数求导，导数大于零单调增，导数小于零单调减，注意对参数的取值围进行讨论，讨论的标准就是导数等于零时根的大小，得出相应的单调区间，第二问恒成立，转化为大于的最大值，而的最大值是函数在给定区间上的最大值与最小值的差距，从而求得结果，该问题转化为求函数在给定区间上的最值问题，之后结合第一问，根据所给的参数的取值围，确定出函数的最值，从而求得结果．

试题解析：

（1）

①时，，在单减，单增；

②时，，在单减，在单增，单减；

③当即时，上是减函数；

④当，即时，令，得，令，得

为增函数，为减函数

（2）由

（1）知，当时，上单调递减，

当时，有最大值，当时，有最小值，，，

而经整理得．

考点：

应用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在给定区间上的最值，恒成立问题．

2．（本小题满分14分）已知函数（为常数）．

（Ⅰ）已知，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求的值域；

（Ⅲ）设，若存在，，使得成立，数的取值围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由，计算，，由直线方程的点斜式即得．

（Ⅱ）应用导数研究函数的单调性、最值即得．

（Ⅲ），在是增函数，

，，

的值域为．

依题意，，解之即得．

试题解析：

（Ⅰ）1分

，2分

切线方程为：

，即为所求的切线方程．3分

（Ⅱ）由，得．，，得．

在上单调递增，在上单调递减．5分

6分

，,,7分

的值域为8分

（Ⅲ），在是增函数，

，，

的值域为．10分

11分

依题意，，12分

即，14分

考点：

1．导数的几何意义；2．应用导数研究函数的单调性、最值；3．转化与化归思想．

3．（本小题满分12分）已知在与处都取得极值．

（1）求，的值；

（2）设函数，若对任意的，总存在，使得，数的取值围．

【答案】

（1）；

（2）

【解析】

试题分析：

（1）求导数，由在与处都取得极值，得得关于a，b的方程组，解出a，b，然后检验；

（2）对任意的，总存在使得，等价于，利用函数单调性易求，按照对称轴在区间的左侧、部、右侧三种情况进行讨论可求得，然后解不等式可得答案

试题解析：

（1），

在与处都取得极值，

当时，，

所以在与处都取得极值，

所以．

（2）由

（1）知函数上递减，

又函数图象的对称轴是，

当时，，成立，；

当时，，

，

当时，

综上：

实数m的取值围为．

考点：

利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

4．（本小题满分12分）已知，其中均为实数，

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）设，

求证：

对恒成立；

（Ⅲ）设，若对给定的，在区间上总存在使得成立，求m的取值围．

【答案】（Ⅰ）极大值，无极小值；

（Ⅱ）证明见解析；

（Ⅲ）

【解析】

试题分析：

第一问根据函数的极值的定义，结合导数求得函数的极值，注意虽然函数只有极大值，没有极小值，也得说明没有极小值，第二问注意对式子的变形，结合函数的单调性，将绝对值的符号去掉，构造一个新函数，从而判断出函数的单调性，可以有导数的符号来决定，从而求得结果，第三问根据题意，确定出函数的图像的走向以及函数值的取值，确定出两个函数的值域的关系，从而求得结果．

试题解析：

（Ⅰ）极大值，无极小值；

（Ⅱ），

在上是增函数

在上是增函数

设，则原不等式转化为

即

令

即证，即在

在恒成立

即在，即所证不等式成立

（3）由

（1）得在

所以，

又，当时，在，不符合题意

当时，要使得，

那么由题意知的极值点必在区间，即

得，且函数在

由题意得在上的值域包含于在和上的值域

，

下面证时，，取，先证，即证

令恒成立

再证

考点：

函数的极值，函数的单调性，恒成立问题．

5.已知,,,其中.

（1）若与的图像在交点处的切线互相垂直,求的值；

（2）若是函数的一个极值点,和是的两个零点,且，,求的值；

（3）当时,若,是的两个极值点,当时,求证:

.

【答案】

（1）;

（2）3;（3）详见解析..

【解析】

试题分析：

（1）首先求出,，由题知,即即可求出结果；

（2）求出=,和，由题知,即可得,所以；当,由,解得;由,解得可知在上单调递增,在单调递减,故至多有两个零点,其中,，又>=0,=6（-1）>0,=6（-2）<0，∴∈（3,4）,即可得到结果；（3）当时,,

由题知=0在（0,+∞）上有两个不同根,,则<0且≠-2,此时=0的两根为,1,

当,∴<-4,此时即可得到与随的变化情况表；又|-|=极大值-极小值；根据变化情况表可知|-|=极大值-极小值=―）+―1,

设,可得，,即可得到，可知在（―∞,―4）上是增函数,<

从而在（―∞,―4）上是减函数,∴>=，即可求出结果.

试题解析：

（1）,

由题知,即解得

（2）=,

由题知,即解得,

∴,=

∵,由,解得;由,解得

∴在上单调递增,在单调递减,

故至多有两个零点,其中,

又>=0,=6（-1）>0,=6（-2）<0，∴∈（3,4）,故=3

（3）当时,=,

由题知=0在（0,+∞）上有两个不同根,,则<0且≠-2,此时=0的两根为,1,

由题知|--1|>1,则++1>1,+4>0

又∵<0,∴<-4,此时->1

则与随的变化情况如下表:

（0,1）

1

（1,-）

-

（-,+∞）

-

0

+

0

-

极小值

极大值

∴|-|=极大值-极小值=F（-）―F

（1）=―）+―1,

设,则

∵,∴,∴

∴在（―∞,―4）上是增函数,<

从而在（―∞,―4）上是减函数,∴>=3-4

所以.

考点：

1.函数的极值；2.导数在函数单调性中的应用；3.导数在求函数最值中的应用.

6.已知函数

（1）求的单调区间和极值；

（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值围

【答案】

（1）所以的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值；

（2）

【解析】

试题分析：

对于第一问，注意应用导数，确定出函数的单调区间，进而得出函数的极值点，代入求得函数的极值，第二问注意应用集合间的关系，找到满足的条件，注意分类讨论．

试题解析：

（1）由已知有令，解得或，列表如下：

所以的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值；

（2）由及

（1）知，当时，，当时，，设集合，集合，则“对于任意的，都存在，使得”等价于，显然，

下面分三种情况讨论：

当，即时，由可知而，所以不是的子集；

当，即时，有，此时在上单调递减，故，因而，由有在的取值围包含，所以；

当，即时，有，此时在上单调递减，，，所以不是的子集；

综上的取值围为．

考点：

利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数的值域．