导数有关的可转化为最值的多元问题答案.docx
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导数有关的可转化为最值的多元问题答案
导数有关的可转化为最值的多元问题
1.(本小题满分12分)设函数().
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若对任意及任意,,恒有成立,数的取值围.
【答案】
(1)①时,在单调减,单调增;
②时,在单调减,在单调增,单调减;
③当时,在上是减函数;
④当时,在为增函数,为减函数
(2)
【解析】
试题分析:
第一问对函数求导,导数大于零单调增,导数小于零单调减,注意对参数的取值围进行讨论,讨论的标准就是导数等于零时根的大小,得出相应的单调区间,第二问恒成立,转化为大于的最大值,而的最大值是函数在给定区间上的最大值与最小值的差距,从而求得结果,该问题转化为求函数在给定区间上的最值问题,之后结合第一问,根据所给的参数的取值围,确定出函数的最值,从而求得结果.
试题解析:
(1)
①时,,在单减,单增;
②时,,在单减,在单增,单减;
③当即时,上是减函数;
④当,即时,令,得,令,得
为增函数,为减函数
(2)由
(1)知,当时,上单调递减,
当时,有最大值,当时,有最小值,,,
而经整理得.
考点:
应用导数研究函数的单调性,利用导数求函数在给定区间上的最值,恒成立问题.
2.(本小题满分14分)已知函数(为常数).
(Ⅰ)已知,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求的值域;
(Ⅲ)设,若存在,,使得成立,数的取值围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由,计算,,由直线方程的点斜式即得.
(Ⅱ)应用导数研究函数的单调性、最值即得.
(Ⅲ),在是增函数,
,,
的值域为.
依题意,,解之即得.
试题解析:
(Ⅰ)1分
,2分
切线方程为:
,即为所求的切线方程.3分
(Ⅱ)由,得.,,得.
在上单调递增,在上单调递减.5分
6分
,,,7分
的值域为8分
(Ⅲ),在是增函数,
,,
的值域为.10分
11分
依题意,,12分
即,14分
考点:
1.导数的几何意义;2.应用导数研究函数的单调性、最值;3.转化与化归思想.
3.(本小题满分12分)已知在与处都取得极值.
(1)求,的值;
(2)设函数,若对任意的,总存在,使得,数的取值围.
【答案】
(1);
(2)
【解析】
试题分析:
(1)求导数,由在与处都取得极值,得得关于a,b的方程组,解出a,b,然后检验;
(2)对任意的,总存在使得,等价于,利用函数单调性易求,按照对称轴在区间的左侧、部、右侧三种情况进行讨论可求得,然后解不等式可得答案
试题解析:
(1),
在与处都取得极值,
当时,,
所以在与处都取得极值,
所以.
(2)由
(1)知函数上递减,
又函数图象的对称轴是,
当时,,成立,;
当时,,
,
当时,
综上:
实数m的取值围为.
考点:
利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件.
4.(本小题满分12分)已知,其中均为实数,
(Ⅰ)求的极值;
(Ⅱ)设,
求证:
对恒成立;
(Ⅲ)设,若对给定的,在区间上总存在使得成立,求m的取值围.
【答案】(Ⅰ)极大值,无极小值;
(Ⅱ)证明见解析;
(Ⅲ)
【解析】
试题分析:
第一问根据函数的极值的定义,结合导数求得函数的极值,注意虽然函数只有极大值,没有极小值,也得说明没有极小值,第二问注意对式子的变形,结合函数的单调性,将绝对值的符号去掉,构造一个新函数,从而判断出函数的单调性,可以有导数的符号来决定,从而求得结果,第三问根据题意,确定出函数的图像的走向以及函数值的取值,确定出两个函数的值域的关系,从而求得结果.
试题解析:
(Ⅰ)极大值,无极小值;
(Ⅱ),
在上是增函数
在上是增函数
设,则原不等式转化为
即
令
即证,即在
在恒成立
即在,即所证不等式成立
(3)由
(1)得在
所以,
又,当时,在,不符合题意
当时,要使得,
那么由题意知的极值点必在区间,即
得,且函数在
由题意得在上的值域包含于在和上的值域
,
下面证时,,取,先证,即证
令恒成立
再证
考点:
函数的极值,函数的单调性,恒成立问题.
5.已知,,,其中.
(1)若与的图像在交点处的切线互相垂直,求的值;
(2)若是函数的一个极值点,和是的两个零点,且,,求的值;
(3)当时,若,是的两个极值点,当时,求证:
.
【答案】
(1);
(2)3;(3)详见解析..
【解析】
试题分析:
(1)首先求出,,由题知,即即可求出结果;
(2)求出=,和,由题知,即可得,所以;当,由,解得;由,解得可知在上单调递增,在单调递减,故至多有两个零点,其中,,又>=0,=6(-1)>0,=6(-2)<0,∴∈(3,4),即可得到结果;(3)当时,,
由题知=0在(0,+∞)上有两个不同根,,则<0且≠-2,此时=0的两根为,1,
当,∴<-4,此时即可得到与随的变化情况表;又|-|=极大值-极小值;根据变化情况表可知|-|=极大值-极小值=―)+―1,
设,可得,,即可得到,可知在(―∞,―4)上是增函数,<
从而在(―∞,―4)上是减函数,∴>=,即可求出结果.
试题解析:
(1),
由题知,即解得
(2)=,
由题知,即解得,
∴,=
∵,由,解得;由,解得
∴在上单调递增,在单调递减,
故至多有两个零点,其中,
又>=0,=6(-1)>0,=6(-2)<0,∴∈(3,4),故=3
(3)当时,=,
由题知=0在(0,+∞)上有两个不同根,,则<0且≠-2,此时=0的两根为,1,
由题知|--1|>1,则++1>1,+4>0
又∵<0,∴<-4,此时->1
则与随的变化情况如下表:
(0,1)
1
(1,-)
-
(-,+∞)
-
0
+
0
-
极小值
极大值
∴|-|=极大值-极小值=F(-)―F
(1)=―)+―1,
设,则
∵,∴,∴
∴在(―∞,―4)上是增函数,<
从而在(―∞,―4)上是减函数,∴>=3-4
所以.
考点:
1.函数的极值;2.导数在函数单调性中的应用;3.导数在求函数最值中的应用.
6.已知函数
(1)求的单调区间和极值;
(2)若对于任意的,都存在,使得,求的取值围
【答案】
(1)所以的单调增区间是,单调减区间是和,当时,取极小值,当时,取极大值;
(2)
【解析】
试题分析:
对于第一问,注意应用导数,确定出函数的单调区间,进而得出函数的极值点,代入求得函数的极值,第二问注意应用集合间的关系,找到满足的条件,注意分类讨论.
试题解析:
(1)由已知有令,解得或,列表如下:
所以的单调增区间是,单调减区间是和,当时,取极小值,当时,取极大值;
(2)由及
(1)知,当时,,当时,,设集合,集合,则“对于任意的,都存在,使得”等价于,显然,
下面分三种情况讨论:
当,即时,由可知而,所以不是的子集;
当,即时,有,此时在上单调递减,故,因而,由有在的取值围包含,所以;
当,即时,有,此时在上单调递减,,,所以不是的子集;
综上的取值围为.
考点:
利用导数求单调区间及极值,利用导数求函数的值域.
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- 导数 有关 转化 多元 问题 答案
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