学而思寒假七年级尖子班讲义第2讲实数三大概念word精品.docx
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专题二实数的三大概念
目标一理解算术平方根、平方根、立方根的概念
目标二掌握开平方、开立方的计算方法目标三熟练运用,a的双重非负性
知识导航表
止方形的面积
1
9
49
1
4
16
25
81
64
2
5
正方形边长
表二
根式
算术平方根
平方根
概念
如果一个正数X的平方等于a,即
2
X=3,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2
如果一个正数X的平方等于a,即X—a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
求一个数平方根的运算叫开平方。
表示
a的算术平方根记为石,读作“根号
a”,a叫做被开方数。
a的平方根记为土ja,读作“正负根号a”
举例
因为22=4,所以扬=2
因为(±2)2=4,所以土百=±2
性质
正数只有一个算术平方根,负数没有算术平方根,0的算术平方根为0.
正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根,
0的平方根为0.
平方与开平方互为逆运算
常用
算式
^a^=ai;(需)2=a;@=1.414;73=1.732;75=2.236
表三
2X
1
9
49
1
4
16
25
81
64
2
5
X
题型一:
概念应用例i(i)求下列各数的算术平方根和平方根
被开方
数
4
225
169
361
121
36
£
16
0.09
0.16
0.0001
算术平方根
平方根
表二
被开方数
0
2
(—3)
23
一(一22)
4
(-5)
3
7
26
2
19
0.1
算术平方
根
平方根
(2)计算下列各式
J(-6)2=—届=_7324=
、、0.81_、、0.04=
256
.丽=
(3)求下列各数的算术平方根和平方根:
16,25
练
、,22的平方根为
-、0.81二_ioQ=__
[「3产=_(-5)2的算术平方根为
&2013)2=J(-0.1)2=
7900的平方根为J(-6)2的算术平方根为
例2
(1)一个非负数的平方根是2a-1和a-5,则这个非负数是多少?
(2)已知2a-1与-a2是m的平方根,求m的值。
练
(1)(洪山区2015-2016七下期中)一个正数a的平方根是3x—4与2—2x,则这个正数a是
(2)已知X-1与-2x4是k的平方根,求k的值。
竞赛链接
(2009联赛)已知a,b是正整数,且满足2
则这样的有序数对
(a,b)共有
题型二双重非负性
算术平方根的双重非负性
石的双重非负性指的是算术平方根非负
以及被开方数非负
aH0
石王0
常见算术平方根非负性考查形式
品+品=04a=一品
梟和品互为相反数
常见被开方数非负性考查形式
梟和丁肓同时出现
例3(1若.一x-1•y-3=0,求xy的值。
(2)已知3x_2y_1=_j5x_5,求6x+3y的平方根
练
若(x2y2)2与・.2x—y匚5互为相反数,求xy的算术平方根
例4⑴若根式JQ2有意义,则x应满足
若根式J5_x有意义,则x应满足
若根式和灰巧有意义,则x应满足
若根式G_x_Jx_1有意义,则x应满足
⑵已知y=-2x-3「3-2x5,求xy|的平方根
(3)(梅苑中学2015-2016七下期中)
若我一4+曲/,贝y2x+y的平方根为
x+2
练
(1若(x•y)2=•.x•1-、--1-x,求x-y的值
(2)已知y—2x-1•J-2x•16x,求、...xy的平方根
例5
(1)已知2015-a+Ja-2016=a,求a—20152的值
(2)已知2a-4|+|b+2+J(a-3)b2+4=2a,求a+b的值
练
已知5-x+Jx-6=x-4,求Jx+2的平方根
拓
已知x•y-8-、.8-x-y=、.x2yx^a,求.xya的算术平方根
模块二立方根
知识导航表
正方体体积
1
27
64
216
8
125
0.001
2
5
正方体边长
表二
根式
概念
表示
举例
性质
\立方根
如果一个数x的立方根
3
等于a,即x—a,那么这个数x叫做a的立方根。
记为x=^。
求一个数的立方根的运算叫开立方。
a的立方根记为扁,读作
“三次根号a”,a是被开方数,3是根指数。
因为
33=27
所以
転=3
正数的立方根为正数,
负数的立方根为负数,
0的立方根为0.
例6
(1)求下列各数的立方根
被开方数
0
729
8
125
(-3)3
(-22)3
2
-26
2
13
0.1
立方根
(2)计算下列各式
一6厂——
可-27=
—湎=
沁0008=__
3-512二
V-27的立方根等于
-3103
的立方根等于
仁—
站亠__
练
転=__
3(-2)3二—
#64的立方根为
—却8的立方根为
(1)(洪山区2015-2016七下期中)求一个数的立方根,有些可以直接求,如:
2,有些数则不能直接求得,
如V9,但可以利用计算器求得,还可以通过一组数的内在联系,运用规律求得,请同学们观察下表:
n
0.008
8
8000
8000000
Vn
0.2
2
20
200
已知32.161.293,321.6:
2.785,321^6,运用你发现的规律,求321600000二
(2)J0.36=736=J3600=
已知•一10201=10.1,则1.0201二
已知,1.477=1.215,,14.77=3.843,则.0.01477二
练
(汉阳区2015-2016七下期中)观察下列计算过程,猜想立方根
13=1,23=8,3^27,4^64,5^125,6^216,7^343,8^512,9^729。
(1)小智是这样求出19683的立方根的。
先估计19683的立方根十位数为
,验证得19683的立方根是
(2)请根据
(1)中小智的方法,完成如下填空
刁117649=邓-373248=环0.531441=
模块三算术平方根、平方根、立方根综合
知识导航
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值范围
a王0
a工0
a是任意数
性
质
正数
正数(一个)
互为相反数
(两个)
正数(一个)
0
0
0
0
负数
没有
没有
负数(一个)
是本身
0,1
0
0,1,-1
公式
ja=ai(a为任何实数)
(J5)=a(a色0)
若a2>b2,则a>冋
購=a;
若扳+旳=0,则x+y=°
若a3>b3,则aAb
题型一比较大小
例8
(1)比较大小
①,53「27-3=
(2)(二中2015.2016七下期中)
已知3厂3和3厂2互为相反数,求的xy平方根.
⑵比较大小
[练](汉阳区2015-2016七下期中)解方程
①3x2=27
2(x—1)216=0
疯狂训练
(1)(硚口区2015-2016七下期中)求下列各式x的值
①(x2)2=9
②(x—1)3=64
(2)(江汉区2015-2016七下期中)
①,0.04327.(-2)2
(3)(武珞路2015-2016七下期中)
①-3百-.49
(4)(青山区2015-2016七下期中)求下列各式x的值
①x2-81=0
3
②x-1-8二0
被开方数
100
9
25
1
115
49
0
0.09
0.0256
3
算术平方
根
平方根
实数三大概念(课后作业)
1.求下列的各数的算术平方根
2.,25=——
;(-2)2=——-
-3是_——的平方根
、36的平方根是
一.0.25=
_.(_4)2=
.81的算术平方根是_
4的算术平方根是
3.27的平方根是_
1216
...64的立方根是
_,121的立方根是
125的立方根是
3-343=
3匣
.8-
一3.81的立方根是__
.400的立方根
-232-320
.21
4•比较下列个组数的大小
4.17
2373•、2
(江岸区2015-2016七下期中)比较大小:
327
5填空
(1)一个数的平方根等于它本身,这个数是—
(2)—个数的立方根等于它的算术平方根,这个数是—
⑶已知一个数的平方根为a,2与2a-11,则这个数是—
⑷已知1.988=1.410,1988=44.59,则0.1988的值是
⑸若32.36=1.331,323.6=2.868,3236=6.180,则323600000=
6.解答
(1)已知、x-1=-3(y-2)2,求x,y的值。
⑵若y=6-x•x-26•28,求x2'y2的值。
⑶已知a为实数,且满足
200—a
a-201二a,求a-2002的值。
⑷已知2a-伯勺立方根是3,3ab5的平方根是_7,求a6的值。
7.(洪山区2015-2016七下期中)
①求满足条件X的值:
丄X2-16=0②..(_4)2—3—27-25
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