抛物线.docx
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抛物线
基本定义
平面内,到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点,定直线叫抛物线的准线。
折叠编辑本段定义解题
例:
已知F是抛物线y^2=4x的焦点,A(3,2)是一个定点,P是抛物线上的动点,求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。
解:
设抛物线的准线为L,过P作PH⊥L,垂足为H,再过A点作AH’⊥L,垂足为H’,并交抛物线于P’。
连结P’F。
则:
|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|
所以,|PA|+|PF|的最小值是|AH’|,而准线方程x=-1
故|PA|+|PF|的最小值是4,此时,P’的坐标是(1,2)
抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P([-b/2a,(4ac-b²)/4a]
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b²-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧;因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,若要b/2a大于0,则a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,若要b/2a小于0,则a、b要异号
事实上,b有其自身的几何意义:
抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到(y‘=2ax+b,当x=0时切线斜率k=b)。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b∧2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b∧2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b∧2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-b±√b²-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a>0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)
7.定义域:
R
值域:
a>0:
[(4ac-b^2)/4a,+∞);a<0:
[(4ac-b^2)/4a,-∞)
奇偶性:
偶函数
周期性:
无
解析式:
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;
⑶极值点:
(-b/2a,(4ac-b)/4a);
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)^2+k[顶点式]
此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;
折叠编辑本段对称解题
我们知道,抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)是轴对称图形,它的对称轴是直线x=-b/2a,它的顶点在对称轴上。
解决有关抛物线的问题时,若能巧用抛物线的对称性,则常可以给出简捷的解法。
例1 已知抛物线的对称轴是x=1,抛物线与y轴交于点(0,3),与x轴两交点间的距离为4,求此抛物线的解析式。
分析 设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c。
若按常规解法,则需要解关于a、b、c的三元一次方程组,变形过程比较繁杂;若巧用抛物线的对称性,解法就简捷了。
因为抛物线的对称轴为x=1,与x轴两交点间的距离为4,由抛物线的对称性可知,它与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点。
于是可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)。
又因为抛物线与y轴交于点(0,3),所以3=-3a。
故a=-1。
∴y=-(x+1)(x-3),即
y=-x^2+2x+3。
例2 已知抛物线经过A(-1,2)、B(3,2)两点,其顶点的纵坐标为6,求当x=0时y的值。
分析 要求当x=0时y的值,只要求出抛物线的解析式即可。
由抛物线的对称性可知,A(-1,2)、B(3,2)两点是抛物线上的对称点。
由此可知,抛物线的对称轴是x=1。
故抛物线的顶点是(1,6)。
于是可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+6。
因为点(-1,2)在抛物线上,所以4a+6=2。
故a=-1。
∴y=-(x-1)^2+6,即
y=-x^2+2x+5。
∴当x=0时,y=5。
例3 已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4,与y轴交于点C,其顶点为(-1,4),求△ABC的面积。
分析 要求△ABC的面积,只要求出点C的坐标即可。
为此,需求出抛物线的解析式。
由题设可知,抛物线的对称轴是x=-1。
由抛物线的对称性可知,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(1,0)。
故可设抛物线的解析式为y=a(x+1)^2+4[或y=a(x+3)(x-1)]。
∵点(1,0)在抛物线上,
∴4a+4=0。
∴a=-1。
∴y=-(x+1)2+4,即
y=-x2-2x+3。
∴点C的坐标为(0,3)。
∴S△ABC=1/2×(4×3)=6。
例4 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的纵坐标是4,与y轴交于点B,与x轴交于C、D两点,且-1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根,求四边形ABCD的面积。
分析 要求四边形ABCD的面积,求出A、B两点的坐标即可。
为此,要求出抛物线的解析式。
由题设可知,C、D两点的坐标分别为(-1,0)、(3,0)。
由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴是x=1。
故顶点A的坐标是(1,4)。
从而可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4[或y=a(x+1)(x-3)]。
∵点(-1,0)在抛物线上,
∴4a+4=0。
故a=-1。
∴y=-(x-1)^2+4,即
y=-x^2+2x+3。
∴点B的坐标为(0,3)。
连结OA,则S四边形ABCD=S△BOC+S△AOB+S△AOD=1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9
折叠编辑本段标准方程
折叠标准方程
右开口抛物线:
y^2=2px
左开口抛物线:
y^2=-2px
上开口抛物线:
x^2=2py
下开口抛物线:
x^2=-2py
[p为焦距(p>0)]
折叠特点
在抛物线y^2=2px中,焦点是(p/2,0),准线的方程是x=-p/2,离心率e=1,范围:
x≥0;
在抛物线y^2=-2px中,焦点是(-p/2,0),准线的方程是x=p/2,离心率e=1,范围:
x≤0;
在抛物线x^2=2py中,焦点是(0,p/2),准线的方程是y=-p/2,离心率e=1,范围:
y≥0;
在抛物线x^2=-2py中,焦点是(0,-p/2),准线的方程是y=p/2,离心率e=1,范围:
y≤0;
折叠编辑本段相关参数
(对于向右开口的抛物线)
离心率:
e=1
焦点:
(p/2,0)
准线方程l:
x=-p/2
顶点:
(0,0)
通径:
2p;定义:
圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦 定义域(x≥0)
值域(y∈R)
折叠编辑本段解析式法
以焦点在x轴上为例
知道P(x0,y0)
令所求为y^2=2px
则有y0^2=2px0
∴2p=y0^2/x0
∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x
折叠编辑本段焦点方程
焦点准线式(标准方程)
焦点:
F(m,n)
准线:
L:
ax+by+c=0
方程为:
[x^2-2mx+m^2+y^2-2ny+n^2]^1/2=[(ax+by+c)^2/(a^2+b^2)]^1/2
整理得 b^2x^2-2abxy+a^2y^2-2(ac+ma^2+mb^2)x-2(bc+na^2+nb^2)y+(m^2+n^2)(a^2+b^2)-c^2=0
折叠编辑本段弧长公式
Area=2ab/3
弧长ArclengthABC
=√(b^2+16a^2)/2+b^2/8aln((4a+√(b^2+16a^2))/b)
折叠编辑本段其他相关
抛物线:
y=ax^2+bx+c(a≠0)
就是y等于ax的平方加上bx再加上c
a>0时开口向上
a<0时开口向下
c=0时抛物线经过原点
=0时抛物线对称轴为y轴
还有顶点式y=a(x-h)^2+k
就是y等于a乘以(x-h)的平方+k
h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程:
y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py
折叠编辑本段相关结论
过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2),有
①x1*x2=p^2/4,y1*y2=—P^2,要在直线过焦点时才能成立
②焦点弦长:
|AB|=x1+x2+P=2P/[(sinθ)^2]
③(1/|FA|)+(1/|FB|)=2/P
④若OA垂直OB则AB过定点M(2P,0)
⑤焦半径:
|FP|=x+p/2(抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离)
⑥弦长公式:
AB=√(1+k^2)*│x2-x1│
⑦△=b^2-4ac
⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根
⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根
⑶△=b^2-4ac<0没实数根
⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离,是焦点到切点的距离,与到顶点距离的比例中项。
⑨标准形式的抛物线在x0,y0点的切线就是:
yy0=p(x+x0)
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