数独入门到精通.docx

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数独入门到精通

数独入门到精通

数独快速入门（上篇）2

数独快速入门（中篇）5

数独快速入门（下篇）10

WXYZ形态匹配法（WXYZ-wing）12

三链数删减法（Swordfish）14

XYZ形态匹配法（XYZ-wing）16

XY形态匹配法（XY-wing）19

矩形对角线法（X-wing）24

隐式四数集法（HiddenQuad）25

隐式三数集法（HiddenTriplet）27

隐式数对法（HiddenPair）29

显式四数集法（NakedQuad）31

显式唯一法（NakedSingle）33

隐式唯一法（HiddenSingle）34

区块删减法（IntersectionRemoval）36

显式数对法（NakedPair）38

显式三数集法（NakedTriplet）40

数独快速入门（上篇）

范例一：

在左边第一个九宫格里，哪格可以放数字１，

先看到再第一列和第二列里已经有了数字１，

所以很明显了，除了棕色格子之外，上面两列格子已经不能放１了。

范例二：

换个进阶范例来看看，

已知第一列和第二列不能放１，但仅就第三列而言，２的旁边似乎都可以放１的样子，

但再看看被颜色标示的第三行，

看到第三行有１之后，就知道棕色格子应该放１。

范例三：

来个更进阶点的，想想左上角第一个九宫格里，哪一格可以放１，

再看先看看前两列，应该不能放１，

看被颜色标示的第二行与第三行，又是不能放１，

很显然的，就只有棕色格子能放１。

范例四：

再看看这个重要范例，想想左上角第一个九宫格里，哪格可以放１，

先看看被颜色标示的第二列，

再看看被颜色标示的第二行，

经过分析后可知１要放在这棕色格子。

范例五：

换个轻松点的范例，

看看第一列，数字有哪些，

显而易见的就是缺１。

数独快速入门（中篇）

范例一：

看看这个比上篇难的，想想１能放在哪里呢，

被颜色标示起来的第一列和第一行已经不能放１了，

就左上角的九宫格而言，在红色标示区域似乎是可以摆１的，

但在这里而言，似乎无法决定１放在两格红色区域的哪一格，

所以，可以先看看邻近的九宫格，发现到棕色格子能放１喔，这时候就不用怀疑马上写下１。

范例二：

看看这个有技术性的，想想１能放在哪里，

看到黄色的第一列已经有１，所以不能再放１了，

就中央的九宫格而言，合理的推论，１一定是在第二列中央红色三格的其中之一了，

既然知道第二列的情况，再考虑黄色区域后，

那么可以先确定右方九宫格的１必然放在这棕色格子。

范例三：

由上篇的概念再进阶，考虑这上面三个九宫格，看看能否决定１的位置，

黄色标示的第三行已先被排除，

就第一个九宫格而言，１一定在红色区域，

就黄色标示区域来看，已不能再放１了，

这时可以马上先决定右上九宫格里的棕色格子是能放１的啦。

范例四：

看到这左上方九宫格的第一列，就可以马上知道缺了哪两个数字，

是不是已经看出红色格子不是１就是９了，

但是又看到第二行有１，所以很轻松知道左上棕色格子一定是１，

接下来９就确定在红色格子了。

范例五：

先看看这第一列，

左上方的九宫格里，第一列绝对有１、８、９，

再考虑到第一行黄色区域，看到有８和９，

这下就可确定１绝对放在左上角的棕色格子。

数独快速入门（下篇）

范例一：

来看看这个高级进阶例子，可以先把眼光放在第一列和第一行，

看到在黄色区域里都有２和３，所以此黄色区域已经不能再放２和３了，

这时可以考虑到左上九宫格里的红色格子能放２和３，

再看到第一列和第三列的黄色区域，这黄色区域里已经不能放１，

在左上九宫格里，能放１的只有红色与棕色格子，但红色格子将会被２和３所占据，所以能确定棕色格子必然为１。

范例二：

看看左上方九宫格里，能否由些微线索决定１的位置，

首先，看到第一列后先排除５、６、７，又因左上方九宫格里有２、３、４，再排除这三个数字，这下，在左上方九宫格的第一列，只剩下１、８、９可以填，然后，又看到第一行有８和９，所以，棕色格子必然不会是８和９，那么，就只剩下１可以填入啦！

WXYZ形态匹配法（WXYZ-wing）

WXYZ形态匹配法是更加进阶的形态匹配法，但它将涉及到一个单元格包含4个候选数的情况。

典型的WXYZ形态如下：

其中WXYZ表示拥有4个候选数的单元格，它与WZ在同一区块但不同列中，而与XZ和YZ在不同区块但在同一列中。

满足了这样的形态后，星号所示的单元格中将不能含有候选数Z。

这是因为：

1.如果WXYZ=W，则WZ必为Z，而同一区块中的星号所示的单元格中必然不能填入Z。

2.如果WXYZ=X，则XZ必为Z，而同一列中的星号所示的单元格中不可能再填Z。

3.如果WXYZ=Y，则YZ必为Z，而同一列中的星号所示的单元格中不可能再填Z。

4.如果WXYZ=Z，则同一区块中的星号所示的单元格中不能再为Z。

所以无论WXYZ填什么，星号所示的单元格都不能填入Z。

看一个实例：

在上图中，[A8]=WXYZ，[A9]=WZ，[F8]=XZ，[G8]=YZ。

[A8]和[A9]在同一区块中，而[A8]和[F8]及[G8]在同一列中。

其中,W=2，X=4，Y=6，Z=5。

于是，根据上述分析，[B8]中的候选数5将被删除。

当然也存在WXYZ形态的其他变形：

分析方法也同上。

这时，星号所示的单元格为与WXYZ在同一区块及同一行的单元格，它们将不能填入候选数Z。

再看一个例子：

在上图中，[G3]=WXYZ，[I1]=WZ，[G5]=XZ，[G7]=YZ。

[G3]和[I1]在同一区块中，而[G3]和[G5]及[G7]在同一行中。

其中,W=2，X=3，Y=7，Z=1。

于是，根据上述分析，[G2]中的候选数1将被删除。

下面是其他的一些例子：

三链数删减法（Swordfish）

能够应用三链数删减法的场合真是太少了，下面的例子是在经历无数次尝试后才找到的。

这个方法是X形态匹配法的一种扩展。

这次要考虑的是3行和3列，而不是2行和2列。

先看下图：

观察数字9，在第1列，9只出现在[A1]和[E1]，在第4列，9只出现在[E4]和[I4]，而在第5列，9只出现在[A5]和[I5]；也就是说，对于第1列，第4列和第5列而言，数字9在每列只出现两次，且一共只出现在3行上，即行A，行E和行I。

现在我们把数字9在这几列中所有可能的位置都列举出来：

1.对于第1列，假设[A1]=9，则行A中[A5]必不为9，所以对于第5列，只可能[I5]=9，这时行I中[I4]不能为9，则对于第4列，只有[E4]=9。

2.对于第1列，假设[E1]=9，则行E中[E4]必不为9，所以对于第4列，只可能[I4]=9，这时行I中[I5]不能是9，则在第5列中，只有[A5]=9。

所以在这个例子中，只会有两种可能，就是9要么同时出现在[A1]，[E4]和[I5]中，要么同时出现在[A5]，[E1]和[I4]中。

无论是哪种可能，行A，行E和行I中都会有9出现，则这三行中的其他单元格上将不能再出现9。

所以[A6]和[E2]候选数中的9将被删除。

总结一下，如果某个数字在某三列中只出现在相同的三行中，则这个数字将从这三行上其他的候选数中删除。

同样，如果某个数字在某三行中只出现在相同的三列中，则这个数字也将从这三列上其他的候选数中删除。

例如

在这个示例中，数字6在行C，行F和行H的位置只在第5列，第7列和第8列上。

这样就满足了使用三链数删减法的条件。

结果是把数字6从第7列的[G7]和[I7]中，以及从第8列的[G8]中删除。

三链数删减法不可能出现在区块中。

XYZ形态匹配法（XYZ-wing）

XYZ形态匹配法很象XY形态匹配法，但不同的是，这次有一个单元格包含3个候选数。

典型的XYZ形态如下：

其中，XYZ表示该单元格有三个候选数，它与YZ在同一区块但不同列中，而与XZ在同一列但不同区块中。

如果满足这样的条件，则星号所示的单元格中一定不能包含候选数Z。

这是因为：

1.如果XYZ=X，则YZ必然为Z。

那么在同一区块中的星号所示的单元格自然就不能为Z。

2.如果XYZ=Y，则XZ必然为Z。

那么与XZ同一列的星号所示的单元格自然也就不能为Z。

3.如果XYZ=Z，则与它同一区块的星号所在的单元格肯定不能是Z。

这样，我们就实现了对星号所在的单元格中候选数的删减。

看一个例子：

在上图中，[D5]=XYZ，[D6]=YZ，[B5]=XZ。

[D5]和[D6]在同一区块中，[D5]和[B5]在同一列中。

其中，X=9，Y=7，Z=6。

根据上面的分析，单元格[F5]中将不能含有候选数6。

当然，XYZ形态也有横向的变形：

分析的方法与之前一致，结果是把候选数Z从星号所示的单元格中删除。

例：

在上图中，[B2]=XYZ，[C3]=YZ，[B9]=XZ。

[B2]和[C3]在同一区块中，[B2]和[B9]在同一行中。

其中，X=2，Y=5，Z=4。

根据上面的分析，单元格[B1]中将不能含有候选数4。

下面是其他的一些实例，可以帮助快速掌握这一技法：

XY形态匹配法（XY-wing）

XY形态匹配法虽然是一个高级的数独技巧，但是应用的机会却还挺多的。

先看看XY形态究竟是怎样的：

上图所示是四个相邻的（也可不相邻）区块。

XY，XZ和YZ分别表示只有两个候选数的单元格，但它们的候选数部分重叠。

可以看到，不管XY最后取什么值，星号所示的位置不可能是Z值。

这是因为：

1.如果XY取X值，则与其同行的XZ只能取Z值，这样星号所示单元格就不能为Z值。

2.如果XY取Y值，则与其同列的YZ只能取Z值，而星号所示的单元格同样不能是Z值。

于是，就可以把Z值从星号所示的单元格中去除。

下面是一个实例：

上图中，单元格[F3]是XY，[F6]是XZ，[I3]是YZ，这三个单元格分别位于不同的区块中。

其中X是3，Y是9，Z是5。

根据我们上面的分析，在单元格[I6]中的候选数5将被删除。

XY形态的第二种表现方式如下：

这时，XY和YZ同在一个区块但不同行中，而XZ和XY在同一行，但在不同区块中。

同样，所有打星号的单元格中不能是Z值。

这是因为：

1.如果XY＝X，则XZ＝Z。

那么XZ所在的行和区块中就不能再出现Z；

2.如果XY＝Y，则YZ＝Z。

那么YZ所在的行和区块中就不能再出现Z。

这种情况比第一种XY形态更为常见，看下面这个实例：

在上图中，单元格[D7]是XY，[D2]是XZ，[E8]是YZ，XY和YZ在同一区块中，而XZ在横向的另一区块中。

其中X=4，Y=9，Z=7。

根据上面的分析，则[E2]和[D8]中的候选数7将被删除。

当然还会出现第二种XY形态的变形，即XY和YZ在同一区块但不同列中，而XY和XZ在同一列的不同区块中：

分析方法与之前一样，结果是打星号的单元格中不能出现候选数Z。

例：

在上图中，单元格[I8]是XY，[B8]是XZ，[G9]是YZ，XY和YZ在同一区块中，而XZ在纵向的另一区块中。

其中X=3，Y=2，Z=6。

根据上面的分析，则[A9]，[B9]，[C9]和[H8]中的候选数7将被删除。

下面是其他的一些应用XY形态匹配法的例子：

矩形对角线法（X-wing）

矩形对角线法是比较高级的谜题解法，应用的机会比较少，但对于有些复杂的谜题也可以有效地删减候选数。

先观察下图

在行B和行G中，数字7都正好出现两次，且都位于第2列和第7列上；也就是说，在行B和行G中，数字7不是填入第2列，就是填入第7列。

而如果在行B中，[B2]=7，则对于行G，[G2]就不能是7，这是因为[G2]和[B2]在同一列上，这样[G7]就一定是7。

反之，如果在行B中，[B7]=7，则对于行G，[G7]就不能是7，7只能在[G2]。

简单地说，只可能有两种情况：

[B2]=7且[G7]=7；或者[B7]=7且[G2]=7。

但无论是哪种情况，第2列和第7列中都肯定会出现数字7，所以这两列中其他的单元格中就不可能再有7。

这样，就可以把7从其他的单元格的候选数中删除了，所以第2列中的[A2]以及第7列中的[C7]，[D7]和[E7]的候选数中将不会再有7。

总结一下，如果一个数字正好出现且只出现在某两行的相同的两列上，则这个数字就可以从这两列上其他的单元格的候选数中删除。

当然，同样的情形也会出现在列中，也就是说，如果一个数字正好出现且只出现在某两列的相同的两行上，则这个数字就可以从这两行上的其他单元格的候选数中删除。

例如：

可以看到，在第1列和第7列上，数字9出现且只出现在行C和行G上，也就是说，在第1列中，要么[C1]=9，要么[G1]=9；而对于第7列，要么[C7]=9，要么[G7]=9。

而对于这两列只有两种情况，[C1]=9且[G7]=9；或者[C7]=9且[G1]=9。

无论是上述哪种情况，行C和行G上都会有数字9出现，则这两行上其他的单元格中不能再有9。

所以行C上的[C4]和[C5]以及行G上的[G2]和[G5]候选数中的9将被删除。

矩形对角线法不可能出现在区块中。

隐式四数集法（HiddenQuad）

这是一个极少用到的方法，因为它的条件比较难以满足。

与隐式三数集法类似，这次需要4个数字和4个单元格。

即当某个4个数字只出现在某行，列或区块的4个单元格中，且每个单元格中至少包含有其中的2个数字时，则可以把其他数字从这4个单元格的候选数中删除。

与显式四数集法类似，举例来说，对于四数集{1,2,4,5}，如果某行，列或区块中的四个单元格的候选数集依次为以下情况时，都符合隐式四数集的条件：

{1,2,3,4,5}{1,2,4,5,8}{1,2,4,5}{1,2,4,5,9}，或

{1,2,4}{1,5,8}{2,3,5}{4,5,7}，或

{4,5}{1,2,4,6}{2,5,8}{1,2,3,4,5}，或

{1,2,3,5}{1,5}{2,4,8}{4,5,9}，或

......

象这样的组合可能会有很多。

具体分析先看下图：

在行A中，四数集{2,4,8,9}中的任何数字都只出现在[A4]，[A6]，[A7]和[A8]的候选数中，其中[A4]包含了数字2和4；[A6]包含了数字2，4和8；[A7]包含了数字4和9，而[A8]包含了数字2，8和9。

这样，就符合了隐式四数集法的基本条件，不在这个四数集内的数字将从这四个单元格的候选数中删除。

当然，我们也可以看到，即使不用隐式四数集法，由于[A3]和[A5]形成了明显的显式数对，同样也可用显式数对法对该行其他单元格候选数的删减。

这里，我们为了讲解隐式四数集法，所以优先使用该方法。

这也说明能应用这种方法的机会很少，因为经过很多较简单方法对候选数进行多番删减以后，已经较难满足隐式四数集的基本条件。

同样，下面的谜题，我们本来可以用显式数对法来解决，但这里暂时优先使用隐式四数集法：

在第6列中，四数集{1,4,8,9}中的任何数字都只出现在[A6]，[D6]，[E6]和[I6]的候选数中，其中[A6]包含了数字1和４；[D6]包含了数字1，8和9；[E6]包含了数字4和9，而[I6]包含了数字8和9。

这样，就符合了隐式四数集法的基本条件，不在这个四数集内的数字将从这四个单元格的候选数中删除。

当然，在区块中也可应用隐式四数集法，因为鲜少有这样的例子，且与上面介绍的行与列中的隐式四数集类似，所以这里不再举例。

隐式四数集法只影响包含隐式四数集的四个单元格，与隐式数对法相似，删减的结果是把隐式四数集转换成显式四数集，并可能为使用其他的候选数删减法创造条件。

这个方法一般在解决较为复杂的谜题时才有可能用到。

隐式三数集法（HiddenTriplet）

与隐式数对法类似，这次需要3个数字和3个单元格。

即当某个3个数字只出现在某行，列或区块的3个单元格中，且每个单元格中至少包含有其中的2个数字时，则可以把其他数字从这3个单元格的候选数中删除。

与显式三数集法类似，举例来说，对于三数集{2,4,5}，如果某行，列或区块中的三个单元格的候选数集依次为以下情况时，都符合隐式三数集的条件：

{2,4,5,8}{1,2,4,5}{2,3,4,5,9}，或

{2,4}{2,3,5}{4,5,7}，或

{4,5}{2,5,8}{1,2,3,4,5}，或

{1,2,5}{2,4,8}{4,5,9}，或

......

具体分析先看下图：

在行H中，三数集{5,8,9}中的任何数字都只出现在[H1]，[H3]和[H5]的候选数中，其中[H1]包含了数字5和9；[H3]包含了数字8和9；而[H5]中包含了数字5和8。

这说明数字5，8和9只能填入这三个单元格中，所以其他候选数不能出现在这三个单元格中。

因此数字1和3将从[H1]的候选数中删除，而数字3和4将从[H3]的候选数中删除。

下面是隐式三数集在列中的例子：

在第7列中，三数集{3,7,9}中的任何数字都只出现在[F7]，[G7]和[H7]的候选数中，其中[F7]包含了数字3和7；[G7]包含了数字3和9，而[H7]包含了数字3，7和9。

这样，就符合了隐式三数集法的基本条件，不在这个三数集内的数字将从这三个单元格的候选数中删除。

隐式三数集还有可能发生在区块内：

在起始于[G7]的区块中，三数集{3,6,7}中的任何数字都只出现在[G8]，[G9]和[H8]的候选数中，其中[G8]包含了数字3，6和7；[G9]包含了数字3和7，而[H8]包含了数字3和6。

这样，就符合了隐式三数集法的基本条件，不在这个三数集内的数字将从这三个单元格的候选数中删除。

隐式三数集法属于难度比较高的方法，在处理一般谜题时较少碰到。

隐式三数集法只影响包含隐式三数集的三个单元格，与隐式数对法相似，删减的结果是把隐式三数集转换为显式三数集，并可能为使用其他的候选数删减法创造条件。

隐式数对法（HiddenPair）

对比显式数对法，隐式数对法也需要在同一行，列或区块中寻找两个单元格，而这两个单元格上都包含有一个数对（两个数字），且这个数对不会出现在该行，列或区块的其他单元格上。

然而，应用隐式数对法却要困难得多，因为它与显式数对法不同的是，包含有数对的单元格的候选数中可能还包含有其他的数字。

先看下图：

可以看到，在行A中，数对{3,6}只出现在[A4]和[A8]的候选数中，也就是说，数字3和6不可能再出现在该行的其他单元格中，这是因为这两个单元格中必然只能填入3和6，否则该行将缺少这两个数字。

这样，如果[A4]=3，则[A8]=6；反之，如果[A4]=6，则[A8]=3，不会再有其他的情况。

所以我们可以放心地把其他的数字从这两个单元格的候选数中删除。

下面是隐式数对在列中的例子：

在第1列中，数对{2,9}只出现在[G1]和[I1]的候选数中，这样就符合了上面所述的隐式数对的条件，所以可以很安全地把其他数字从这两个单元格的候选数中删除，使这两个单元格中只保留了显式数对{2,9}。

在区块中也是如此：

在起始于[D4]的区块中，数对{2,8}只出现在[E6]和[F6]的候选数中，所以这两个单元格上其他的候选数将被删除，而只保留了数对{2,8}。

总结一下，隐式数对的条件是，在同一行，列或区块中，如果一个数对（两个数字）正好只出现且都出现在两个单元格中，则这两个单元格的候选数中的其他数字可以被删除。

隐式数对不象显式数对法那么容易发现，所以在解题时需要相对的耐心和细心。

与显式数对法不同的是，隐式数对法只影响出现隐式数对的单元格，而不影响其所在行，列或区块的其他单元格，这是因为这些其他的单元格中都不包含有这个数对。

但通过隐式数对法删减了候选数后，隐式数对将转化为显式数对，可能会为其他的行，列或区块应用各种候选数删减法创造条件。

显式四数集法（NakedQuad）

显式四数集法比较少见，如果你已经对显式三数集法比较了解，则对显式四数集法也会很快掌握。

先举个例子，对于数字集{1,2,4,5}，如果在某行，列或区块中有4个单元格的候选数分别为下面几种情况时，都可应用显式四数集法，即4个单元格的候选数集可以分别为：

{1,2,4,5}{1,2,4,5}{1,2,4,5}{1,2,4,5}，或

{1,2,4}{1,4,5}{2,5}{1,2}，或

{1,2,4,5}{2,5}{2,4,5}{1,2,4,5}，或

{2,5}{4,5}{1,2,5}{1,2,4}，或

{1,2,5}{1,2,4,5}{1,2,4,5}{2,4}，或

......

这样的组合情况可以很多。

也就是说，要形成显式四数集，则必须要有4个在同一行，列或区块中的单元格，每个单元格中至少要有2个候选数，且它们的所有候选数字也正好都是一个四数集的子集。

由于这个四数集中的4个数字正好可以分别填入这4个单元格中，所以该行，列或区块中其他的单元格中不可能再填入这4个数字。

但要注意的是，下面的这种情况不是显式四数集：

{1,2,4,5}{2,4}{2,5}{2,4,5}

其中{2,4}{2,5}和{2,4,5}可应用显式三数集法，所以第一个候选数集{1,2,4,5}将只能剩下候选数1，这时就可应用显式唯一法了。

看下图：

很明显，在行D中，[D1]，[D4]，[D6]和[D8]中分别包含了候选数集{3,5,6}，{2,5,6}，{2,5,6}和{3,5,6}，即分别都是四数集{2,3,5,6}的子集。

这样在行D中，数字2，3，5和6就只能填入这4个单元格中，所以[D3]和[D7]的候选数中将不能包含这几个数字。

下面是显式四数集在列中的例子：

在第9列中，[C9]，[D9]，[E9]和[G9]中分别包含了候选数集{1,7,8}，{1,8}，{6,7,8}和{6,7,8}，即分别都是四数集{1,6,7,8}的子集。

这样数字1，6，7和8就不能填入该列中除这四个单元格之外的单元格中，所以[A9]和[B9]的候选数中将不能出现这四个数字。

同样，显式四数集也可以出现在区块中：

在起始于[A7]的区块中，[B9]，[C7]，[C8]和[C9]中分别包含了候选数集{6,7}，{1,6,8}，{7,8}和{1,6,7,