福建省宁德市学年高二上学期期末考试数学试题.docx
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福建省宁德市学年高二上学期期末考试数学试题
福建省宁德市【最新】高二上学期期末考试数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.等差数列的前项和为,若,则()
A.51B.50C.49D.48
2.“且”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知双曲线的渐近线为,实轴长为,则该双曲线的方程为()
A.B.或
C.D.或
4.已知正方体,点是上底面的中心,若,则等于()
A.B.C.D.
5.如果实数,满足条件,则的最大值为()
A.B.C.D.
6.设,若是与的等差中项,则的最小值为()
A.B.C.D.
7.已知数列满足,,则数列的前2019项和等于()
A.B.C.D.
8.如图,在直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的大小为()
A.B.或C.D.或
9.已知双曲线的左、右焦点分别为,过作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为,直线与双曲线的左支交于点,且恰为线段的中点,则双曲线的离心率为()
A.B.C.D.
10.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等,某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”:
自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件,已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是万元,则n的值为()
A.7B.8C.9D.10
二、多选题
11.若,则下列不等式中正确的是()
A.B.C.D.
12.如图所示,棱长为1的正方体中,P为线段上的动点(不含端点),则下列结论正确的是()
A.平面平面B.不是定值
C.三棱锥的体积为定值D.
三、填空题
13.命题“”的否定是:
__________
14.已知直线与椭圆交于两点,若的中点坐标为,则直线的方程是___________
15.设不等式的解集为,关于的不等式(为常数)的解集为,若,则的取值范围是__________
四、双空题
16.顶点在坐标原点,焦点为的抛物线上有一动点,圆上有一动点,则的最小值等于_________,此时等于______
五、解答题
17.已知命题:
,;命题:
函数在区间上单调递减.
(1)若命题为真命题,求的取值范围;
(2)若命题为假命题,求的取值范围.
18.已知数列的前项和为,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.
19.在四棱锥中,平面平面,四边形为直角梯形,∥,,,,,为的中点.
(1)求证:
∥平面;
(2)若点在线段上,满足,求直线与平面所成角的正弦值.
20.设抛物线:
上一点到焦点的距离为5.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点的直线与抛物线交于两点,过点作直线的垂线,垂足为,判断:
三点是否共线,并说明理由.
21.随着城市地铁建设的持续推进,市民的出行也越来越便利.根据大数据统计,某条地铁线路运行时,发车时间间隔t(单位:
分钟)满足:
,平均每趟地铁的载客人数(单位:
人)与发车时间间隔近似地满足下列函数关系:
,其中.
(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1000人,试求发车时间间隔t的值;
(2)若平均每趟地铁每分钟的净收益为(单位:
元),问当发车时间间隔t为多少分钟时,平均每趟地铁每分钟的净收益最大?
并求出最大净收益.
22.已知椭圆:
的焦距为,且椭圆过点,直线与圆:
相切,且与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求三角形面积的取值范围.
参考答案
1.C
【分析】
由题意得到关于和的方程组,再代入的公式.
【详解】
设等差数列的公差为,首项为,
所以,解得:
所以.
故选:
C
【点睛】
本题考查等差数列基本量的求值,属于基础题型.
2.A
【分析】
按照充分必要条件的判断方法判断,“且”能否推出“”,以及“”能否推出“且”,判断得到正确答案,
【详解】
当且时,成立,
反过来,当时,例:
,不能推出且.
所以“且”是“”的充分不必要条件.
故选:
A
【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断,重点考查基本判断方法,属于基础题型.
3.B
【分析】
根据双曲线的焦点所在位置分两种情况讨论:
当双曲线的焦点在轴上时,;当双曲线的焦点在轴上时,,结合可解得.
【详解】
当双曲线的焦点在轴上时,,又,即,
所以,所求双曲线的方程为:
;
当双曲线的焦点在轴上时,,又,即,
所以,所以所求双曲线的方程为:
.
所以所求双曲线方程为:
或.
故选:
.
【点睛】
本题考查了根据双曲线的几何性质求双曲线方程,属于基础题.
4.C
【分析】
结合几何体,根据空间向量的加法运算得到的值.
【详解】
如图,
,
所以,
所以.
故选:
C
【点睛】
本题考查空间向量的运算,重点考查数形结合分析问题,属于基础题型.
5.C
【分析】
首先画出可行域,根据可行域求目标函数的最大值.
【详解】
如图,画出可行域,然后令,画出初始目标函数的图象,由图象可知平移至点取得最大值,,解得:
,
所以.
故选:
C
【点睛】
本题考查线性规划,重点考查作图能力,属于基础题型.
6.B
【分析】
由条件可知,再利用,变形为,利用基本不等式变形求的最小值.
【详解】
由题意可知,即
.
当且仅当时等号成立,
所以的最大值是.
故选:
B
【点睛】
本题考查基本不等式求最小值,重点考查“1”的妙用,属于基础题型.
7.A
【分析】
由题意,利用累加法求得数列的通项公式,再利用裂项相消法求数列的前2019项的和.
【详解】
由题意可知,,,……,,这个式子相加得
所以,验证当时,成立,所以
,
设数列的前项和是,
所以
.
故选:
A
【点睛】
本题考查累加法,裂项相消法求和,重点考查基本方法,基本计算能力,属于基础题型.
8.C
【分析】
首先将直三棱柱补成如图四棱柱,再利用线线平行,可得异面直线和所成的角就是或是其补角,利用三角形的边长求角.
【详解】
如图,将直三棱柱补成四棱柱,底面是平行四边形,连结,,
,所以异面直线和所成的角就是或是其补角,
由题意可知,,
,
所以是等腰直角三角形,.
故选:
C
【点睛】
本题考查异面直线所成角,意在考查空间想象能力和计算能力,属于基础题型.
9.D
【分析】
利用中位线关系求得,再利用双曲线的定义,表示的三边,最后根据勾股定理求双曲线的离心率.
【详解】
连结,因为点分别为和的中点,
所以,且
设点到一条渐近线的距离,所以
,又,所以,
中,满足,
整理为:
,
双曲线的离心率.
故选:
D
【点睛】
本题考查双曲线的离心率,意在考查数形结合的思想,转化与化归的思想,属于中档题型,本题的关键是利用中位线得到,和焦点到渐近线的距离等于,这个结论记住,做小题时可以直接使用.
10.B
【分析】
首先由题意列出总价的表达式,再利用错位相减法求和,最后解出值.
【详解】
由题意,可知这堆货物的总价为,则
,
两式相减可得:
,
所以,
当时,
解得:
.
故选:
B
【点睛】
本题考查等比数列的应用,错位相减法求和,考查了逻辑推理,抽象,概括能力,数学计算能力,属于中档题型.
11.CD
【分析】
这四个选项都可以做差,变形,根据条件比较大小.
【详解】
A.,,,即,故A不正确;
B.,,,所以,故B不正确;
C.,即,故C正确;
D.,所以,故D正确.
故选:
CD
【点睛】
本题考查比较大小,属于基础题型,一般比较大小的题目,可以采用做差法,单调性,或者不等式的性质比较大小.
12.ACD
【分析】
A.易证明平面,得到面面垂直;B.转化,再求数量积;C.,根据底面积和高,判断体积是否是定值;D.由平面,判断线线是否垂直.
【详解】
A.因为是正方体,所以平面,平面,所以平面平面,所以A正确;
B.
,故,故B不正确;
C.,的面积是定值,平面,点在线段上的动点,所以点到平面的距离是定值,所以是定值,故C正确;
D.,,,所以平面,平面,所以,故D正确.
故选:
ACD
【点睛】
本题考查点,线,面的位置关系,体积,空间向量数量积的综合判断题型,重点考查垂直关系,属于中档题型.
13.
【分析】
根据全称命题的否定直接求解.
【详解】
命题“”的否定是“”.
故答案为:
【点睛】
本题考查全称命题的否定,重点考查命题的形式,属于基础题型.
14.
【分析】
设,,利用点差法,代入,两式相减可得,代入点斜式求直线方程.
【详解】
设,
,两式相减可得,
变形为,
因为的中点坐标为,所以,,
即,即直线的斜率为.
故直线的方程为.
故答案为:
【点睛】
本题考查中点弦问题,求直线方程,重点考查基本方法,属于基础题型.
15.
【分析】
首先解出集合,根据,结合二次函数的图象,列出不等式求解.
【详解】
,若,
则,解得:
.
故答案为:
【点睛】
本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围,重点考查二次函数,一元二次不等式,属于基础题型.
16.4
【分析】
首先根据抛物线定义的性质转化,利用数形结合分析得到的最小值是圆心到直线的距离减半径,再由属性集合分析得到点的坐标,从而得到的值.
【详解】
根据抛物线的定义可知等于点到准线的距离,
所以,
由图象可知的最小值是圆心到直线的距离减半径,即,
此时点的横坐标是,代入,得到点的纵坐标,
,,
所以.
故答案为:
4;
【点睛】
本题考查抛物线,圆的综合问题,重点考查转化与化归的思想,数形结合分析问题的能力,本题的关键是抛物线的定义的转化,以及点与圆上的点连线最值的方法.
17.
(1);
(2)
【分析】
(1)当命题是真命题时,,解出的取值范围;
(2)分别求两个命题为真命题时的取值范围,若满足是假命题,则都是假命题,列不等式求参数的取值范围.
【详解】
(1)若为真命题,则
即
的取值范围为
(2)若为假,则假且假
若为真命题,则
即的取值范围为
【点睛】
本题考查根据命题的真假求参数的取值范围,重点考查二次函数的性质,属于基础题型.
18.
(1);
(2)
【分析】
(1)由条件得到,结合已知两式相减得到,再验证,得到数列是等比数列,从而得到数列的通项公式;
(2)由
(1)可知,利用分组转化为等差数列和等比数列求和.
【详解】
(1)…………….①
………………..②
①-②得,即
又,
是以2为首项,2为公比的等比数列
(2)由(Ⅰ)得
【点睛】
本题考查已知求,以及分组转化法求和,重点考查基本方法,计算能力,属于基础题型,本题容易忽略验证,一般求和的方法包含1.公式法求和;2.裂项相消法求和;3.分组转化法求和;4.错位相减法求和,这些常用方法需熟练掌握.
19.
(1)证明见解析;
(2)
【分析】
(1)证法1:
要证明线面平行,转化为证明线线平行,取中点,连接,,证明;证法2:
要证明线面平行转化为证明面面平行,取中点,连接,,转化为平面平面;
(2)取中点,连接、,易得,平面,以为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐
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- 福建省 宁德市 学年 高二上 学期 期末考试 数学试题