等差数列等比数列的题型分析.docx
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等差数列等比数列的题型分析
等差等比数列的常见题型分析
考点透视:
高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式:
1.以选择题、填空题的形式考查,主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题,属于基础题;2.以解答题的形式考查,主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题,考查用数列知识分析问题、解决问题的能力,属低、中档题.
题型一:
等差、等比数列的基本概念与运算
等差、等比数列是一个重要的数列类型,高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质,灵活运用这些性质解题,可达到避繁就简的目的.解决等差、等比数列的问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法,即运用条件转化成关于a1和d的方程(组);②巧妙运用等差、等比数列的性质.
例1:
(2011·江西)设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10=S11,则a1=( ).A.18B.20C.22D.24
解析 由S10=S11,得a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.故选B.
题后反思:
本小题主要考查等差数列的通项、性质、前n项和以及数列的通项和前n项和的关系,解题的突破口是由S10=S11得出a11=0.
变式练习:
1.(2011·天津)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则S10的值为( ).
A.-110B.-90C.90D.110
解析 因为a7是a3与a9的等比中项,所以a=a3a9,又因为公差为-2,
所以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20,通项公式为an=20+(n-1)(-2)=22-2n.
所以S10==5×(20+2)=110,故选D.
2.设数列{an}满足:
2an=an+1(an≠0)(n∈N*),且前n项和为Sn,则的值为( )
A.B.C.4D.2
解析:
由题意知,数列{an}是以2为公比的等比数列,故==.答案:
A
3.已知两个等比数列,,满足,,,.
(1)若,求数列的通项公式;
(2)若数列唯一,求的值.
思路点拨:
(1)根据条件表示出,结合是等比数列,求出其公比,进而得通项公式.
(2)根据数列的唯一性,知q的一个值为0,得a的值.
[审题视点]
(1)利用b1、b2、b3等比求解;
(2)利用
(1)问的解题思路,结合方程的相关知识可求解.
解
(1)设{an}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.
由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-,
所以{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)设{an}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.(*)
由a>0得,Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根,
由{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=.
方法锦囊:
关于等差(等比)数列的基本运算,一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决,如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识.
4.设是公比为的等比数列,令,,若数列的连续四项在集合中,则等于()A.B.C.或D.或
【知识点】递推公式的应用;等比数列的性质.
解:
{bn}有连续四项在{-53,-23,19,37,82}中且bn=an+1an=bn-1
则{an}有连续四项在{-54,-24,18,36,81}中
∵{an}是等比数列,等比数列中有负数项则q<0,且负数项为相隔两项
∴等比数列各项的绝对值递增或递减,按绝对值的顺序排列上述数值18,-24,36,-54,81相邻两项相除则可得,
-24,36,-54,81是{an}中连续的四项,此时q=,同理可求q=
∴q=或q=.故选B
【思路点拨】根据bn=an+1可知an=bn-1,依据{bn}有连续四项在{-53,-23,19,37,82}中,则可推知则{an}有连续四项在{-54,-24,18,36,81}中,按绝对值的顺序排列上述数值,可求{an}中连续的四项,求得q.
5.在数1和2之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记为,令,N
(1)求数列的通项公式;
(2)记,数列的前项和,证明:
【知识点】等比数列,裂项求和,放缩法
解:
设该递增的等比数列公比为,由题意
而
所以7分
(2)
14分
【思路点拨】本题是一个求的典型例子,后面求的时候符合裂项求和的架构,最后放缩,很自然。
题型二:
等差、等比数列的基本性质的考查
考点总结:
从近几年的考题看,数列性质必考,以选择填空为主,中低档,难度较大时一般出现在解答题中,但是注意做题时要活。
例:
[2014·石家庄质检一]已知各项均为正数的等比数列{an}中,a4与a14的等比中项为2,则2a7+a11的最小值为( )A.16B.8C.2D.4
解析:
由题意知a4>0,a14>0,a4·a14=8,a7>0,a11>0,则2a7+a11≥2=2=2=8,当且仅当即a7=2,a11=4时取等号,故2a7+a11的最小值为8,故选B.
变式练习:
1、等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(2a1·2a2·…·2a10)=( )
A.10B.20C.40D.2+log25
解析:
依题意得,a1+a2+a3+…+a10==5(a5+a6)=20,因此有log2(2a1·2a2·…·2a10)=a1+a2+a3+…+a10=20.
2、已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则=( )
A.B.或C.D.以上都不对
解析:
设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设a 则a·b=c·d=2,a=,故b=4,根据等比数列的性质,得到c=1,d=2,则m=a+b=,n=c+d=3,或m=c+d=3,n=a+b=,则=或=.答案: B 3、已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=3,S12-S8=12,则S8=__________. 解析: 由S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,得(S8-S4)2=S4(S12-S8),解得S8=9或S8=-3,又由等比数列的前n项和公式知S8与S4同号,故S8=9.答案: 9 4、设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有=, 则+的值为________. 解析: ∵{an},{bn}为等差数列,∴+=+==. ∵====,∴=.答案: 5.在等差数列{an}中,a1=-2013,其前n项和为Sn,若-=2,则S2013的值等于( )A.-2011B.-2012C.-2010D.-2013 解析 根据等差数列的性质,得数列{}也是等差数列, 根据已知可得这个数列的首项=a1=-2013, 公差d=1,故=-2013+(2013-1)×1=-1,所以S2013=-2013. 6.在等差数列{an}中,满足3a5=5a8,Sn是数列{an}的前n项和. (1)若a1>0,当Sn取得最大值时,求n的值; (2)若a1=-46,记bn=,求bn的最小值. 解 (1)设{an}的公差为d,则由3a5=5a8,得3(a1+4d)=5(a1+7d),∴d=-a1. ∴Sn=na1+×=-a1n2+a1n=-a1(n-12)2+a1. ∵a1>0,∴当n=12时,Sn取得最大值. (2)由 (1)及a1=-46,得d=-×(-46)=4,∴an=-46+(n-1)×4=4n-50, Sn=-46n+×4=2n2-48n. ∴bn===2n+-52≥2-52=-32, 当且仅当2n=,即n=5时,等号成立. 故bn的最小值为-32. 点评: (1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差,只要根据已知条件求出这两个量,其他问题就可随之而解,这就是解决等差数列问题的基本方法,其中蕴含着方程思想的运用. (2)等差数列的性质 ①若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq; ②Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,仍成等差数列; ③am-an=(m-n)d⇔d=(m,n∈N*); ④=(A2n-1,B2n-1分别为{an},{bn}的前2n-1项的和). (3)数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A2+B2≠0). 7.若数列满足=(n∈N*,为常数),则称数列为“调和数列”.已知正项数列为“调和数列”,且,则的最大值是( )A.10B.100C.200D.400 【知识点】等差数列的概念、等差数列的性质与基本不等式求最值 解: 因为正项数列为“调和数列”,则,即数列为等差数列,由等差数列的性质,则,所以,当且仅当即该数列为常数列时等号成立,所以选B. 【思路点拨】根据所给的新定义可得到数列为等差数列,从所给的项的项数特征可发现等差数列的性质特征,利用等差数列的性质即可得到则,再由和为定值求积的最大值利用基本不等式解答即可. 题型三: 数列与的关系的考查 考点总结: 已知与的关系,有目标把该关系统一到同想和和上,求或,这是常见的递推关系。 例: 已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=. (1)求证: 是等差数列; (2)求an的表达式. [审题视点] (1)化简所给式子,然后利用定义证明. (2)根据Sn与an之间关系求an. (1)证明 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2),又an=-2Sn·Sn-1, ∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0,∴-=2(n≥2). 由等差数列的定义知是以==2为首项,以2为公差的等差数列. (2)解 由 (1)知=+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n, ∴Sn=.当n≥2时,有an=-2Sn×Sn-1=-, 又∵a1=,不适合上式,∴an= 方法总结: 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法,而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断. 变式练习: 1.已知是一个公差大于0的等差数列,且满足. (1)求数列的通项公式; (2)若数列和数列满足等式: ,求数列的前项和. 点拨: (1)等差数列中,已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项及前项和,当然若能利用等差数列的性质来计算,问题就简单多了. (2)分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法,这里利用 (1)的结论以及的关系求的通项公式,根据通项公式求前项和. 解: (1)解法1: 设等差数列的公差为d,则依题设d>0, 由.得①由得② 由①得将其代入②得.即, ,代入①得 解法2: 等差数列中,,公差,, (2)设,则有 两式相减得,由 (1)得,, 即当时,,又当时,, 于是 == 易错点: (1)由的关系及 (1)的结论找不到的通项公式,使解题受阻; (2)在求的通项公式时,由得,把这个条件遗漏;(3)忽略当时,,直接写;(4)计算数列的前项和时随意添加项. 提炼方法: (1)等差数列与等比数列只有一字之差,部分同学经常出现审题不仔细的现象; (2)等差中项与等比中项的性质混淆,概念模糊不清;(3)对等差数列与等比数列的性质及公式
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- 等差数列 等比数列 题型 分析