等腰三角形讲义1.docx
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等腰三角形讲义1.docx
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等腰三角形讲义1
等腰三角形目标认知
学习目标:
通过观察发现等腰三角形的性质;掌握等腰三角形的识别方法,会用等腰三角形的性质进行简单的计算和证明;理解等腰三角形与等边三角形的相互关系;能够利用等腰三角形的识别方法判断等腰三角形;掌握等边三角形的特征和识别方法;掌握一般文字命题的解题方法
重点:
等腰三角形的性质与判定。
难点:
比较复杂图形、题目的推理证明
一、知识要点梳理
知识点一:
等腰三角形、腰、底边
有两边相等的三角形叫等腰三角形,其中相等的两条边叫腰,第三条边叫底边,两腰的夹角叫顶角,底边和腰的夹角叫底角
如图所示,在△ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,∠A是顶角,∠B、∠C是底角.
知识点二:
等腰三角形的性质
1、性质1:
等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).
性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(简称“三线合一”).
2、这两个性质证明如下:
在△ABC中,AB=AC,如图所示.
作底边BC的高AD,则有
∴Rt△ABD≌Rt△ACD.
∴∠B=∠C,∠1=∠2.BD=CD.
于是性质1、性质2均得证.
3、说明:
(1)①等腰三角形的性质1用符号表示为:
∵AB=AC,∴∠B=∠C;
②性质1是等腰三角形的一条重要(主要)性质,也是今后我们证明角相等的又一个重要依据.
(2)①性质2实质包含三条性质,符号表示为:
∵AB=AC,AD⊥BC,∠1=∠2,∴BD=CD;
或∵AB=AC,BD=CD,∠l=∠2,∴AD⊥BC.
②性质2的用途更为广泛,可以用来证明线段相等,角相等,垂直关系等.
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上高(顶角平分线或底边中线)所在直线是它的对称轴,通常情
况只有一条对称轴.
知识点三:
等腰三角形的判定定理
1、定理内容及证明
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”),如图所示.
证明:
在△ABC中,∠B=∠C,作AD⊥BC于D.则
所以△ABD≌△ACD(AAS).
所以,AB=AC.
2、注意:
①本定理的符号表示为:
在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC.
②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形,同时也是今后证明两条线段相等的重要依据.
另外,等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反,要注意区分,不要混淆.
知识点四:
等边三角形
1、等边三角形定义:
三边都相等的三角形叫等边三角形
如图所示.
2、注意:
①由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包括等边三角形.
②等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
知识点五:
等边三角形的性质
1、等边三角形的性质:
等边三角形三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°
2、理由如下:
如上图所示,由AB=AC可得∠B=∠C,同样可得∠A=∠C,所以∠A=∠B=∠C.
而∠A+∠B+∠C=180°.则有∠A=∠B=∠C=60°.
注意:
这条性质只有等边三角形具有.
知识点六:
等边三角形的判定
1、等边三角形的判定:
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2、证明如下:
(1)如下图所示,若∠A=∠B=∠C,可由∠A=∠B得,AC=BC;由∠A=∠C得,AB=BC.所以AB=AC=BC.
于是判定
(1)成立.
(2)如上图所示,在△ABC中,AB=AC,若∠A=60°,则有∠B=∠C=60°,于是∠A=∠B=∠C.
由判定
(1)得△ABC是等边三角形;
若∠B=60°,则∠B=∠C=60°,于是∠A=60°,∠A=∠B=∠C.
由判定
(1)得△ABC是等边三角形。
所以判定
(2)成立.
知识点七:
直角三角形性质定理
1、定理内容:
在直角三角形中,如果有一个锐角是30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
2、证明:
如图所示,∠ACB=90°,∠A=30°.延长BC至
使
,则有AC垂直平分
, 故
.又可得∠B=60°.于是△
是等边三角形,故
,所以
.即定理成立.
二、规律方法指导
1.等腰(边)三角形是一个特殊的三角形,具有较多的特殊性质,有时几何图形中不存在等腰(边)三角形,可根据已知条件和图形特征,适当添加辅助线,使之构成等腰(边)三角形,然后利用其定义和有关性质,快捷地证出结论。
2.常用的辅助线有:
(1)作顶角的平分线、底边上的高线、中线。
(2)在三角形的中线问题上,我们常将中线延长一倍,这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
经典例题透析
类型一:
探究型题目
1.如图1,在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,请你设计三种不同的分法,把△ABC分割成两个三角形,且要求其中有一个是等腰三角形。
(在等腰三角形的两个底角处标明度数)
思路点拨:
在三角形中,“等边对等角”与“等角对等边”,本题应从角度入手进行考虑。
下面提供四种分割方法供大家参考。
解析:
总结升华:
对图形进行分割是近年来新出现的一类新题型,主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力,本类题目的答案有时不唯一。
举一反三:
【变式1】如图3,D是△ABC中BC边上的一点,E是AD上的一点,EB=EC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC。
请你先阅读下面的证明过程。
证明:
在△AEB和△AEC中,
所以△ABE≌△AEC(第一步),
所以AB=AC,∠3=∠4(第二步),
所以AD⊥BC(等腰三角形的“三线合一”)。
上面的证明过程是否正确?
如果正确,请写出每一步的推理依据;如果不正确,请指出关键错在哪一步,写出你认为正确的证明过程。
【答案】第一步错误。
因为在△ABE和△AEC中有两边和其中一边的对角对应相等,不能判定它们全等。
正确的证明过程是:
因为EB=EC,
所以∠EBD=∠ECD,
所以∠EBD+∠1=∠ECD+∠2,
即:
∠ABC=∠ACB,
所以AB=AC。
在△AEB和△AEC中,
所以△ABE≌△AEC,
所以∠3=∠4,
所以AD⊥BC(等腰三角形的“三线合一”)。
【变式2】已知△ABC为等边三角形,在图4中,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BM=CN,直线BN与AM相交于Q点。
(1)请猜一猜:
图4中∠BQM等于多少度?
(2)若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上,其它条件下不变,如图5所示,
(1)中的结论是否仍
然成立?
如果成立,请加以证明;如果不成立,请说明理由。
【答案】
(1)题通常猜想、测量或证明等方法不难发现∠BQM=60°,而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。
(2)题的证明过程如下:
因为△ABC为等边三角形,
所以AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,
所以∠ACM=∠BAN。
在△ACM和△BAN中,
所以ΔACM≌ΔBAN,
所以∠M=∠N,
所以∠BQM=∠N+∠QAN=∠M+∠CAM=∠ACB=60°。
类型二:
与度数有关的计算
2.如图,在△ABC中,D在BC上,且AB=AC=BD,∠1=30°,求∠2的度数。
思路点拨:
解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系,显然∠2=∠1+∠C,只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了,而∠C=∠B,所以把问题转化为欲找出∠2与∠B之间有什么关系,变成△ABD的角之间的关系,问题就容易的多了。
解析:
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵AB=BD
∴∠2=∠3
∵∠2=∠1+∠C
∴∠2=∠1+∠B
∵∠2+∠3+∠B=180°
∴∠B=180°-2∠2
∴∠2=∠1+180°-2∠2
∴3∠2=∠1+180°
∵∠1=30°
∴∠2=70°
总结升华:
关于角度问题可以通过建立方程进行解决。
举一反三:
【变式1】如图,D、E在△ABC的边BC上,且BE=BA,CD=CA,若∠BAC=122°,求∠DAE的度数。
【答案】∵BE=BA
∴∠2=∠BAE
∵CD=CA
∴∠1=∠CAD
∵∠1+∠CAD+∠C=180°
∴∠1=
∵∠2+∠BAE+∠B=180°
∴∠2=
∴∠1+∠2=
∵∠B+∠C=180°-∠BAC
∴∠1+∠2=
∵∠DAE=180°-(∠1+∠2)
∴∠DAE=90°-
=90°-61°=29°。
【变式2】在△ABC中,AB=AC,D在BC上,E在AC上,且AD=AE,∠BAD=30°,求∠EDC的度数。
【答案】∵AB=AC,AD=AE
∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=∠B+∠BAD
∴∠AED+∠EDC=∠C+∠BAD
∵∠AED=∠C+∠EDC
∴∠C+2∠EDC=∠C+∠BAD
∴∠EDC=
∠BAD=15°。
类型三:
等腰三角形中的分类讨论
3.当腰长或底边长不能确定时,必须进行分类讨论
(1)已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm,求周长。
(2)等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm,求周长。
思路点拨:
由等腰三角形的性质可知我们在解此题前,必须明确所给的边的定义,在这里哪条边是“腰”,哪条边是“底”不明确,而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提,因此必须进行分类讨论。
解析:
(1)因为8+8>10,10+10>8,则在这两种情况下都能构成三角形;
当腰长为8时,周长为8+8+10=26;
当腰长为10时,周长为10+10+8=28;
故这个三角形的周长为26cm或28cm。
(2)当腰长为3时,因为3+3<7,所以此时不能构成三角形;
当腰长为7时,因为7+7>3,所以此时能构成三角形,因此三角形的周长为:
7+7+3=17;故这个三角形的周长为17cm。
总结升华:
对于此类题目在进行分类讨论时,必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形
举一反三:
【变式1】当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论
等腰三角形的一个角是另一个角的4倍,求它的各个内角的度数
【答案】
(1)当底角是顶角的4倍时,设顶角为x,则底角为4x,
∴4x+4x+x=180°,∴x=20°,∴4x=80°,
于是三角形的各个内角的度数为:
20°,80°,80°。
(2)当顶角是底角的4倍时,设底角为x,则顶角为
4x,
∴x+x+4x=180°,∴x=30°,∴4x=120°,
于是三角形的各个内角的度数为:
30°,30°,120°。
故三角形各个内角的度数为20°,80°,80°或30°,30°,120°。
【变式2】当高的位置关系不确定时,必须分类讨论
等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个内角的度数。
【答案】设AB=AC,BD⊥AC;
(1)高与底边的夹角为25°时,高一定在△ABC的内部,
如右图,∵∠DBC=25°,∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°,
∴∠ABC=∠C=65°,∠A=180°-2×65°=50°。
图1
(2)当高与另一腰的夹角为250时,
①如图2,高在△ABC内部时,
当∠ABD=25°时,∠A=90°-∠ABD=65°,
∴∠C=∠ABC=(180°-∠A)÷2=57.5°;
②如图3,高在△ABC外部时,∠ABD=25°, 图2
∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°,∴∠BAC=180°-65°=115°,
∴∠ABC=∠C=(180°-115°)÷2=32.5°
故三角形各内角为:
65°,65°,50°或
65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°。
图3
【变式3】由腰的垂直平分线所引起的分类讨论
在三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,求底角B的度数。
分析:
题目中AB边上的垂直平分线与直线AC
相交有两种情形;
解:
(1)如图,AB边的垂直平分线与AC边交于点D,
∠ADE=40°,
则∠A=900-∠ADE=50°,
∵AB=AC,∴∠B=(180°-50°)÷2=65°。
(2)如图,AB边的垂直平分线与直线AC的反向
延长线交于点D,∠ADE=40°,则∠DAE=50°
∴∠BAC=130°,∵AB=AC,∴∠B=(180°-130°)÷2=25°,
故∠B的大小为65°或25°。
【变式4】由腰上的中线引起的分类讨论
等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm,求腰长。
【答案】如图,∵BD为AC边上的中线,∴AD=CD,
(1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3时,则AB-BC=3,
∵BC=5∴AB=BC+3=8;
(2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3时,则BC-AB=3,
∵BC=5∴AB=BC-3=2;
但是当AB=2时,三边长为2,2,5;
而2+2<5,不合题意,舍去;
故腰长为8。
类型四:
证明题
4.已知:
如图,∠ABC,∠ACB的平分线交于F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E。
求证:
BD+EC=DE。
思路点拨:
因为DE=DF+FE,即结论为BD+EC=DF+FE,分别证明BD=DF,CE=FE即可,于是运用“在同一三角形中,等角对等边”易证结论成立。
解析:
∵DE∥BC,
∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等)
又∵BF平分∠ABC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠3
∴DB=DF(等角对等边)
同理:
EF=CE,
∴BD+EC=DF+EF
即BD+EC=DE。
总结升华:
在三角形中,利用“等角对等边”证明线段相等,是一种常用的方法。
举一反三:
【变式1】如图,C是线段AB上的一点,△ACD和△BCE是等边三角形,AE交CD于M,BD交CE于N,交AE于O。
求证:
(1)∠AOB=120°;
(2)CM=CN;
(3)MN∥AB。
【答案】
(1)∵∠ACE=∠ACD+∠DCE
∠BCD=∠BCE+∠DCE
且∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠BCD
在△ACE和△BCD中
∴△ACE≌△DCB(SAS)
∴∠3=∠2
∵∠1+∠3=60°,∴∠1+∠2=60°
∴∠AOB=∠1+∠ADC+∠2=60°+60°=120°
(2)∵∠ACD=∠BCE=60°
∴∠MCN=60°
在△CMA和△CND中
∴△CMA≌△CND(ASA)
∴CM=CN
(3)∵CM=CN且∠MCN=60°
∴△CMN是等边三角形
∴∠NMC=60°
又∵∠DCA=60°
∴∠NMC=∠DCA
∴MN∥AB
【变式2】已知,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,CD⊥AB(如图所示)。
求证:
(1)AB=2BC;
(2)CE=AE=EB。
【答案】
(1)∵CE、CD三等分∠ACB
∴∠1=∠2=∠3=30°
又∵CD⊥AB,∴∠B=60°,∠A=30°
在Rt△ABC中,∠A=30°,∴AB=2BC
(2)∵∠A=∠1=30°
∴CE=EA
又∵∠B=∠BCE=60°
∴△BCE是等边三角形,∴EC=EB
∴CE=EA=EB
学习成果测评
基础达标:
一、填空:
1、等腰三角形的的两边长为2cm和5cm,则该等腰三角形的周长为______cm。
2、等腰三角形的的两边长为3cm和5cm,则该等腰三角形的周长为______cm。
3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则顶角为_____。
4、在△ABC中,AC=BC,且∠B=∠C,则△ABC是____________三角形。
5、若直角三角形斜边上的中线垂直于斜边,则它的两个锐角的度数是____________。
6、等腰三角形的一个角是80°,则其他两个角的度数是____________。
二、选择题
1.若一个三角形的三个外角度数比为2:
3:
3,则这个三角形是()
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
2.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如图1所示形状,两条长直角边在同一条直线上,则
图中等腰三角形的个数是()
图1
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.在以①30°,120°;②25°,75°;③38°,52°;④55°,70°;⑤42°,96°;⑥28°,
62°;⑦56°,68°;⑧45°,45°;⑨60°,60°为两内角可以构成的三角形中,有等腰三角
形()
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
4.具有下列条件的两个等腰三角形,不能判断它们全等的是()
A.顶角、一腰对应相等
B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等
D.一底角、底边对应相等
三、解答题
1、等腰三角形的周长为12,且其各边长均为整数,求各边长。
2、
(1)等腰三角形的一个角为50°,求另外两个角的度数。
(2)等腰三角形的一个外角为100°,求该等腰三角形的顶角。
3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成8cm和10cm的两部分,求该等腰三角形的各边长。
4、如图2所示,△ABC和△BDE都是等边三角形。
图2
求证:
AE=CD。
5、如图3所示,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是点E、F,且BF=CE。
判断△ABC的形状并证明。
图3
6、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否,甲、乙、丙三位同学给出了如下论断:
甲:
正确。
因为若两边都是直角边,则用(SAS)全等识别法就可以证它们全等。
乙:
正确。
因为若其中一边是直角边,另一边是斜边,则可用(HL)定理证全等。
丙:
不正确。
若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等,较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等,则显而易见两个三角形不全等。
请你就这三个同学的见解发表自己的意见。
7、如图所示,是城市部分街道示意图,AB=BC=AC,CD=CE=DE,A、B、C、D、E、F、G为“公共汽车”停靠点,“甲公共汽车”从A站出发,按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站,“乙公共汽车”从B站出发,沿B、F、H、E、D、C、G的顺序到达G站。
如果甲、乙分别同时从A、B站出发,在各站耽误的时间相同,两车速度也一样,试问哪一辆公共汽车先到达指定站?
为什么?
答案与解析:
一、填空题
1。
12(2cm不能为腰长,只能为底边长(2+2<5),所以周长为2+5+5=12(cm)。
)
2。
13或11(3cm既能为腰长,又能为底边长(5+5>3、3+3>5),
∴周长为3+5+5=13(cm)或3+3+5=11(cm)。
)
3。
50°或130°(等腰三角形一腰上的高可能是在三角形内,也可能在三角形外,因此要分类讨论。
)
4。
等边
5。
45°;45°
点拨:
等腰三角形三线合一。
6。
80°,20°或50°,50°
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