第03讲运动图像追及相遇问题.docx
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第03讲运动图像追及相遇问题
第03讲运动图像追及相遇问题
基础复习
一、运动学图像
1.x-t图像与v-t图像的比较
x-t图像
v-t图像
图像
举例
意义
倾斜直线表示匀速直线运动;曲线表示变速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动;曲线表示变加速直线运动
特别处
两条图线的交点表示相遇
图线与时间轴所围面积表示位移
运动
情况
甲做匀速直线运动,乙做速度逐渐减小的直线运动
丙做匀加速直线运动,丁做加速度逐渐减小的变加速直线运动
位移
0~t1时间内甲、乙位移相等
0~t2时间内丁的位移大于丙的位移
平均
速度
0~t1时间内甲、乙平均速度相等
0~t2时间内丁的平均速度大于丙的平均速度
2.三点说明
(1)x-t图像与v-t图像都只能描述直线运动,且均不表示物体运动的轨迹;
(2)分析图像要充分利用图像与其所对应的物理量的函数关系;
(3)识图方法:
一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点.
二、追及与相遇问题
1.概述
当两个物体在同一条直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离会不断发生变化,就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.
2.两类情况
(1)若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度.
(2)若后者追不上前者,则当后者的速度与前者的速度相等时,两者相距最近.
3.相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及并相遇:
两物体位移大小之差等于开始时两物体间的距离.
(2)相向运动的两物体相遇:
各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离.
4.分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.
(1)一个临界条件:
速度相等.它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点;
(2)两个等量关系:
时间等量关系和位移等量关系,通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.
5.三种方法
(1)临界法:
寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.
(2)函数法:
设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇.
(3)图像法.
①若用位移图像求解,分别作出两个物体的位移图像,如果两个物体的位移图像相交,则说明两物体相遇.
②若用速度图像求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.
考点解析
例1-1(多选)如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移—时间(x-t)图线,由图可知( )
A.在时刻t1,a车追上b车
B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反
C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加
D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车的大
例1-2甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t=0到t=t1的时间内,它们的v—t图像如图所示.在这段时间内( )
A.汽车甲的平均速度比乙的大
B.汽车乙的平均速度等于
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大
练习1-1甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动,它们的位移—时间(x-t)图像如图所示,由图像可以看出在0~4s内( )
A.甲、乙两物体始终同向运动
B.第4s末时,甲、乙两物体间的距离最大
C.甲的平均速度等于乙的平均速度
D.乙物体一直做匀加速直线运动
练习1-2如图所示,为某物体做直线运动的v-t图像,由此可知( )
A.前1s物体的位移大小为1m
B.前2s末物体的瞬时速度大小为2m/s
C.前3s内物体的加速度大小为3m/s
D.前3s物体做匀变速直线运动
练习1-3甲、乙两车在同一条直道上行驶,它们运动的位移x随时间t变化的关系图像如图所示.已知乙车做匀变速直线运动,其图线与t轴相切于10s处.则下列说法正确的是( )
A.甲车的初速度为零
B.乙车的初位置在x0=60m处
C.乙车的加速度大小为1.6m/s2
D.5s时两车相遇,此时甲车速度较大
练习1-4如图所示为甲、乙两质点做直线运动的速度-时间图像,则下列说法中正确的是( )
A.在0~t3时间内甲、乙两质点的平均速度相等
B.甲质点在0~t1时间内的加速度与乙质点在t2~t3时间内的加速度相同
C.甲质点在0~t1时间内的平均速度小于乙质点在0~t2时间内的平均速度
D.在t3时刻,甲、乙两质点都回到了出发点
例2-1甲、乙两车在同一直线轨道上同向行驶,甲车在前,速度为v1=8m/s,乙车在后,速度为v2=16m/s,当两车相距x0=8m时,甲车因故开始刹车,加速度大小为a1=2m/s2,为避免相撞,乙车立即开始刹车,则乙车的加速度至少为多大?
例2-2(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图像如图所示.已知两车在t=3s时并排行驶,则( )
A.在t=1s时,甲车在乙车后
B.在t=0时,甲车在乙车前7.5m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
练习2-1平直公路上的甲车以10m/s的速度做匀速直线运动,乙车静止在路面上,当甲车经过乙车旁边时,乙车立即以大小为1m/s2的加速度沿相同方向做匀加速运动,从乙车加速开始计时,则( )
A.乙车追上甲车所用的时间为10sB.乙车追上甲车所用的时间为20s
C.乙追上甲时,乙的速度是15m/sD.乙追上甲时,乙的速度是10m/s
练习2-2在平直公路上有甲、乙两辆汽车从同一位置沿着同一方向运动,它们的速度-时间图像如图所示,则( )
A.甲、乙两车同时从静止开始出发
B.在t=2s时乙车追上甲车
C.在t=4s时乙车追上甲车
D.甲、乙两车在公路上可能相遇两次
复习提示:
各个变量间的关系与图像的函数关系对应
例3-1一质点沿直线运动,如图所示是从t=0时刻开始的质点的
-t图像(x为位移),可以推知( )
A.质点做匀减速运动B.加速度的大小是1m/s2
C.t=2s时的速度是1m/sD.t=2s时位移是3m
例3-2一辆汽车做直线运动,其v2-x图像如图所示.关于汽车的运动,下列说法错误的是( )
A.汽车的初速度为4m/s
B.汽车的加速度大小为0.5m/s2
C.汽车第4s末的速度为2m/s
D.汽车前10s内的位移为15m
例3-3一物体由静止开始沿直线运动,其加速度随时间变化的规律如图所示.取物体开始运动的方向为正方向,则下列关于物体运动的v-t图像正确的是( )
基础练习
1.(多选)在足球比赛中,跑位技术相当重要.如图所示为某前锋球员在时间t0内沿直线跑位的速度-时间图像,则在这段时间内,该球员( )
A.运动方向不变
B.运动的加速度方向不变
C.先做加速运动后做减速运动
D.运动的加速度先减小后增大
2.(多选)甲、乙两车在一平直公路上同向行驶,其速度-时间图像如图所示.下列说法正确的是( )
A.乙车做曲线运动
B.0~10s内,乙车的位移大于甲车的位移
C.t=10s时,两车可能相遇
D.0~10s内,必有某一时刻甲、乙两车的加速度相同
3.a、b两物体同时从同一地点开始做匀变速直线运动,二者运动的v-t图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.a、b两物体运动方向相反
B.a物体的加速度小于b物体的加速度
C.t=1s时两物体的间距等于t=3s时两物体的间距
D.t=3s时,a、b两物体相遇
4.(多选)甲、乙两物体在同一直线上运动的x-t图像如图所示,以甲的出发点为原点,出发时刻为计时起点.则从图像可以看出( )
A.t2到t3这段时间内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.乙比甲先出发
C.甲开始运动时,乙在甲前面x0处
D.甲在中途停了一会儿,最终也没追上乙
5.(多选)一质点做直线运动的v-t图像如图所示,下列选项正确的是( )
A.在2~4s内,质点所受合外力为零
B.质点在0~2s内的加速度比4~6s内的加速度大
C.在第4s末,质点离出发点最远
D.在0~6s内,质点的平均速度为5m/s
6.质点做直线运动时的加速度随时间变化的关系图像如图所示,该图线的斜率为k,图中阴影部分面积为S,下列说法正确的是( )
A.斜率k表示速度变化的快慢
B.斜率k表示速度变化的大小
C.面积S表示t1~t2的过程中质点速度的变化量
D.面积S表示t1~t2的过程中质点的位移
7.如图是一做匀变速直线运动的质点的位移—时间图像(x-t图像),P(t1,x1)为图像上一点.PQ为过P点的切线,与x轴交于点Q(0,x2).下列说法正确的是( )
A.t1时刻,质点的速率为
B.t1时刻,质点的速率为
C.质点的加速度大小为
D.0~t1时间内,质点的平均速度大小为
8.图像法可以形象直观地描述物体的运动情况.对于如图所示的两质点运动的位移—时间图像和速度—时间图像,下列分析结果正确的是( )
A.由图甲可知,质点做曲线运动,且速度逐渐增大
B.由图甲可知,质点在前10s内的平均速度大小为4m/s
C.由图乙可知,质点在第4s内的加速度方向与物体运动的方向相反
D.由图乙可知,质点在运动过程中,加速度大小的最大值为15m/s2
能力提升
9.(多选)小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶,在某段时间内两车的v-t图像如图所示,初始时,小张在小王前方x0处.下列说法正确的是( )
A.若x0=18m,两车相遇1次B.若x0<18m,两车相遇2次
C.若x0=36m,两车相遇1次D.若x0=54m,两车相遇1次
10.一个物体以初速度v0沿光滑斜面向上运动,其速度v随时间t变化的规律如图所示,在连续两段时间m和n内对应面积均为S,则经过b时刻的速度大小为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图甲所示,A车原来临时停在一水平路面上,B车在后面匀速向A车靠近,A车司机发现后启动A车,以A车司机发现B车为计时起点(t=0),A、B两车的v-t图像如图乙所示.已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1=12m.
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小.
(2)若A、B两车不会相撞,则A车司机发现B车时(t=0)两车的距离x0应满足什么条件?
12.斜面长度为4m,一个尺寸可以忽略不计的滑块以不同的初速度v0从斜面顶端沿斜面下滑时,其下滑距离x与初速度二次方v02的关系图像(即x-v02图像)如图所示.
(1)求滑块下滑的加速度大小.
(2)若滑块下滑的初速度为5.0m/s,则滑块沿斜面下滑的时间为多长?
高考真题
1,(2013全国新课标I)如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上形式的汽车a和b的位置一时间(x-t)图线,由图可知
A.在时刻t1,a车追上b车
B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反
C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加
D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直不a车大
【命题意图】本题考查位移图象、追及问题等基础知识点,意在考查考生应用相关知识定量分析物理问题,解决问题的能力。
答案:
BC
解析:
在时刻t1,b车追上a车,选项A错误。
根据位移图象的斜率表示速度可知,在时刻t2,a、b两车运动方向相反,选项B正确。
在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加,选项C正确D错误。
2.(2013四川)甲、乙两物体在t=0时刻经过同一位置沿x轴运动,其v-t图像如图所示。
则
A.甲、乙在t=0s到t=1s之间沿同一方向运动
B.乙在t=0到t=7s之间的位移为零
C.甲在t=0到t=4s之间做往复运动
D.甲、乙在t=6s时的加速度方向相同
答案.BD
解析:
乙在t=0s到t=0.5s之间沿沿x轴负方向运动,在t=0.5s到t=1s之间沿x轴正方向运动,而甲在t=0s到t=1s之间沿x轴正方向运动,选项A错误。
根据速度图象与横轴所夹面积表示位移可知,乙在t=0到t=7s之间的位移为零,选项B正确。
甲在t=0到t=4s之间一直沿x轴正方向运动,选项C错误。
甲、乙在t=6s时的加速度均为负值,方向相同,选项D正确。
3.(2014新课标Ⅱ)甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t=0到t=t1的时间内,它们的vt图像如图所示.在这段时间内( )
A.汽车甲的平均速度比乙的大
B.汽车乙的平均速度等于
C.甲乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小,汽车乙的加速度大小逐渐增大
14.A [解析]vt图像中图线与横轴围成的面积代表位移,可知甲的位移大于乙的位移,而时间相同,故甲的平均速度比乙的大,A正确,C错误;匀变速直线运动的平均速度可以用
表示,乙的运动不是匀变速直线运动,所以B错误;图像的斜率的绝对值代表加速度的大小,则甲、乙的加速度均减小,D错误.
4.(2014全国卷)一质点沿x轴做直线运动,其vt图像如图所示.质点在t=0时位于x=5m处,开始沿x轴正向运动.当t=8s时,质点在x轴上的位置为( )
A.x=3mB.x=8m
C.x=9mD.x=14m
14.B [解析]本题考查vt图像.vt图像与x轴围成的面积表示位移,即位移为s1-s2=3m,由于初始坐标是5m,所以t=8s时质点在x轴上的位置为x=3m+5m=8m,因此B正确.
5.(2014·广东卷)如图是物体做直线运动的vt图像,由图可知,该物体( )
A.第1s内和第3s内的运动方向相反
B.第3s内和第4s内的加速度相同
C.第1s内和第4s内的位移大小不相等
D.0~2s和0~4s内的平均速度大小相等
5.B [解析]0~3s内物体一直沿正方向运动,故选项A错误;vt图像的斜率表示加速度,第3s内和第4s内图像斜率相同,故加速度相同,选项B正确;vt图像图线与时间轴包围的面积表示位移的大小,第1s内和第4s内对应的两个三角形面积相等,故位移大小相等,选项C错误;第3s内和第4s内对应的两个三角形面积相等,故位移大小相等,方向相反,所以0~2s和0~4s内位移相同,但时间不同,故平均速度不相等,选项D错误.
6.(2014江苏)一汽车从静止开始做匀加速直线运动,然后刹车做匀减速直线运动,直到停止.下列速度v和位移x的关系图像中,能描述该过程的是( )
A B C D
5.A [解析]设汽车做匀加速直线运动时的加速度为a1,则由运动学公式得2a1x=v2,由此可知选项C、D错误;设刹车时汽车的位移为x0,速度为v0,其后做减速运动的加速度为a2,则减速过程有v2-v
=2a2(x-x0),这里的v
=2a1x0,x>x0,则v2=2a1x0+2a2(x-x0)=2(a1-a2)x0+2a2x,即v=
(x>x0,a2<0).综上所述,只有选项A正确.
7.(2014山东)一质点在外力作用下做直线运动,其速度v随时间t变化的图像如图所示.在图中标出的时刻中,质点所受合外力的方向与速度方向相同的有( )
A.t1
B.t2
C.t3
D.t4
15.AC [解析]本题考查的是速度图像.速度图像中某点的切线的斜率表示加速度.t1时刻速度为正,加速度也为正,合外力与速度同向;t2时刻速度为正,加速度为负,合外力与速度反向;t3时刻速度为负,加速度也为负,合外力与速度同向;t4时刻速度为负,加速度为正,合外力与速度反向.选项A、C正确.
8.(2014·天津)质点做直线运动的速度—时间图像如图所示,该质点( )
A.在第1秒末速度方向发生了改变
B.在第2秒末加速度方向发生了改变
C.在前2秒内发生的位移为零
D.第3秒末和第5秒末的位置相同
1.D [解析]本题考查了学生的读图能力.应用图像判断物体的运动情况,速度的正负代表了运动的方向,A错误;图线的斜率代表了加速度的大小及方向,B错误;图线与时间轴围成的图形的面积代表了物体的位移,C错误,D正确.
9.(2016江苏)小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后回到原高度再次下落,重复上述运动,取小球的落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向,下列速度
和位置
的关
系图象中,能描述该过程的是
【答案】A
【考点定位】考查匀变速运动的图像
【方法技巧】本题重在考查匀变速运动的规律及图像,细节在运动的方向上,可由此排除CD选项;结合速度与位移的二次函数关系,可排除B选项。
排除法是做选择题一个常用的、重要的方法之一。
10.(2015广东)甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动,前1小时内的位移-时间图像如图所示,下列表述正确的是
A.0.2~0.5小时内,甲的加速度比乙的大
B.0.2~0.5小时内,甲的速度比乙的大
C.0.6~0.8小时内,甲的位移比乙的小
D.0.8小时内,甲、乙骑车的路程相等
【答案】B
【考点定位】对s-t图象、位移、路程的理解。
【名师点睛】求解图象问题要注意:
“一轴”、“二点”、“三线”、“四面”,并围绕这些逐一分析。
11.(2016全国新课标Ⅰ)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v–t图像如图所
示。
已知两车在t=3s时并排行驶,则
A.在t=1s时,甲车在乙车后
B.在t=0时,甲车在乙车前7.5m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2s
D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
【答案】BD
【解析】根据v–t图像,可以判断在t=1s时,甲车和乙车并排行驶,故AC错误;在t=0时,甲车在乙车前的距离
,故B正确;甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离也就是从第1s末到第3s末两车运动的位移
,故D正确。
【考点定位】v–t图象、追及问题
【名师点睛】本题主要考查了v–t图象、追及问题。
v–t图象中,与时间轴平行的直线表示做匀速直线运动,倾斜的直线表示匀变速直线运动,斜率表示加速度,倾斜角越大表示加速度越大,图象与坐标轴围成的面积表示位移;在时间轴上方的面积表示位移为正,下方的面积表示位移为负;相遇要求在同一时刻到达同一位置。
12.(2015福
建)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶,其运动过程的v-t图像如图所示,求:
(1)摩
托车在0-20s这段时间的加速度大小a;
(2)摩托车在0-75s这段时间的平均速度大小
。
【答案】
(1)1.5m/s2
(2)20m/s
【解析】
(1)由图知,在0-20s内做匀加速运动,根据
,可求加速度a=1.5m/s2;
(2)根据v-t图像与坐标轴围面积表示位移可求在0-75s时间内位移为x=1500m,所以平均速度为
.
【考点】匀变速直线运动
【方法技巧】本题主要识图能力,理解v-t图像的含义,利用图像求解加速度与位移、平均速度等
参考答案
例1-1
例1-2
练习1-1
练习1-2
练习1-3
练习1-4
例2-1
BC
A
C
A
C
A
6m/s2
例2-2
练习2-1
练习2-2
例3-1
例3-2
例3-3
BD
B
C
B
D
C
基础练习
能力提升
1
2
3
4
5
6
7
AC
BCD
C
AC
AD
C
B
8
9
10
11
D
AB
C
(1)12m/s 3m/s2
(2)x0>36m
12
(1)2m/s2
(2)1s
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