中考九年级数学下册期末复专题复习6直线与圆的位置关系解析版.docx
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中考九年级数学下册期末复专题复习6直线与圆的位置关系解析版
专题6 直线与圆的位置关系
题型一 直线与圆的位置关系
例1 [2017·余杭区一模]在平面直角坐标系xOy中,经过点(sin45°,cos30°)的直线,与以原点为圆心,2为半径的圆的位置关系是( A )
A.相交B.相切
C.相离D.以上三者都有可能
【解析】如答图,设直线经过的点为A,
例1答图
∵点A的坐标为(sin45°,cos30°),∴OA==,∵圆的半径为2,∴OA<2,∴点A在圆内,∴直线和圆一定相交.
变式跟进
1.[2017·市北区二模]⊙O的半径r=5cm,直线l到圆心O的距离d=4,则l与⊙O的位置关系是( C )
A.相离 B.相切C.相交D.重合
【解析】∵⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为4cm,5>4,即d<r,∴直线l与⊙O的位置关系是相交.
2.[2017·阳谷一模]已知等腰三角形的腰长为6cm,底边长4cm,以等腰三角形的顶角的顶点为圆心5cm为半径画圆,那么该圆与底边的位置关系是( A )
A.相离B.相切
C.相交D.不能确定
【解析】如答图,在等腰三角形ABC中,作AD⊥BC于D,则BD=CD=BC=2,∴AD===4>5,即d>r,∴该圆与底边的位置关系是相离.
第2题答图
题型二 切线的性质
例2 [2016·天津]在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点.
(1)如图1①,过点C作⊙O的切线,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小;
(2)如图②,D为弧AC上一点,且OD经过AC的中点E,连结DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小.
图1
解:
(1)如答图,连结OC,∵⊙O与PC相切于点C,
例2答图
∴OC⊥PC,即∠OCP=90°,∵∠CAB=27°,
∴∠COB=2∠CAB=54°,
在Rt△COP中,∠P+∠COP=90°,
∴∠P=90°-∠COP=36°;
(2)∵E为AC的中点,
∴OD⊥AC,即∠AEO=90°,
在Rt△AOE中,由∠EAO=10°,
得∠AOE=90°-∠EAO=80°,
∴∠ACD=∠AOD=40°,
∵∠ACD是△ACP的一个外角,
∴∠P=∠ACD-∠A=40°-10°=30°.
【点悟】 已知切线,常常连结切点和圆心作半径.
变式跟进
3.已知BC是⊙O的直径,AD是⊙O的切线,切点为A,AD交CB的延长线于点D,连结AB,AO.
(1)如图2①,求证:
∠OAC=∠DAB;
(2)如图②,AD=AC,若E是⊙O上一点,求∠E的大小.
图2
解:
(1)证明:
∵AD是⊙O的切线,切点为A,
∴DA⊥AO,∴∠DAO=90°,
∴∠DAB+∠BAO=90°,
∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠OAC=90°,∴∠OAC=∠DAB;
(2)∵OA=OC,∴∠OAC=∠C,
∵AD=AC,∴∠D=∠C,∴∠OAC=∠D,
∵∠OAC=∠DAB,∴∠DAB=∠D,
∵∠ABC=∠D+∠DAB,∴∠ABC=2∠D,
∵∠D=∠C,∴∠ABC=2∠C,
∵∠BAC=90°,∴∠ABC+∠C=90°,
∴2∠C+∠C=90°,∴∠C=30°,∴∠E=∠C=30°.
题型三 切线的判定
例3 如图3,AB是⊙O的直径,BC⊥AB于点B,连结OC交⊙O于点E,弦AD∥OC,弦DF⊥AB于点G.
(1)求证:
点E是弧BD的中点;
(2)求证:
CD是⊙O的切线.
图3 例3答图
证明:
(1)如答图,连结OD,∵AD∥OC,
∴∠1=∠A,∠2=∠ODA,∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA,∴∠1=∠2,
∴=,即点E是的中点;
(2)在△OCD和△OCB中,
∴△OCD≌△OCB,∴∠ODC=∠OBC=90°,
∴OD⊥CD,∴CD是⊙O的切线.
【点悟】 证某直线为圆的切线时,如果已知直线与圆有公共点,即可作出过该点的半径,证明直线垂直于该半径,即“作半径,证垂直”;如果不能确定某直线与已知圆有公共点,则过圆心作直线的垂线段,证明它到圆心的距离等于半径,即“作垂直,证半径”.在证明垂直时,常用到直径所对的圆周角是直角.
变式跟进
4.如图4,AB是⊙O的直径,C,D为半圆O上的两点,CD∥AB,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E,∠A=60°.
(1)求证:
CE是⊙O的切线;
(2)猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形,并证明你的猜想.
图4 第4题答图
解:
(1)证明:
连结OD,如答图所示.
∵∠A=60°,OA=OD,
∴△OAD是等边三角形,
∴∠ADO=∠AOD=60°,
∵CD∥AB,∴∠ODC=60°,
∵OC=OD,∴△COD是等边三角形,
∴∠COD=60°=∠ADO,∴OC∥AE,
∵CE⊥AE,∴CE⊥OC,∴CE是⊙O的切线;
(2)四边形AOCD是菱形.证明:
由
(1)得△OAD和△COD是等边三角形,
∴OA=AD=CD=OC,∴四边形AOCD是菱形.
题型四 切线长定理及三角形的内切圆
例4 [2017·邹平模拟]Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,内切圆半径为1,则三角形的周长为( B )
A.15 B.12C.13D.14
【解析】如答图,连结OA,OB,OC,OD,OE,OF,∵⊙O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,∴OD⊥AC,OE⊥AB,OF⊥BC,AD=AE,BE=BF,∴∠ODC=∠OFC=∠ACB=90°,∵OD=OF,∴四边形ODCF是正方形,∴CD=OD=OF=CF=1,∵AD=AE,BF=BE,且AE+BE=AB=5,∴AD+BF=5,∴△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=5+1+1+5=12.
例4答图
【点悟】
(1)求证三角形内切圆的问题时,常用到面积法:
S△ABC=(a+b+c)r,其中r为△ABC的内切圆半径,a,b,c为△ABC的三条边的长度;
(2)已知直角三角形的三边长a,b,c(其中c为斜边),则内切圆半径r=;(3)解三角形与圆相切的问题时,常利用切线长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径长.
变式跟进
5.在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=50°,如图5所示,I是△ABC的内心,延长AI交△ABC的外接圆于点D,则∠ICD的度数是( C )
A.50° B.55°C.60°D.65°
图5
【解析】∵△ABC中,∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=180°-50°-60°=70°,又∵I是△ABC的内心,∴∠BCD=∠BAD=∠BAC=35°,∠BCI=∠ACB=25°,∴∠BCD+∠BCI=35°+25°=60°,即∠ICD=60°.
6.如图6,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,∠P=60°.
(1)求∠BAC的度数;
(2)当OA=2时,求AB的长.
图6 第6题答图
解:
(1)∵PA,PB是⊙O的切线,
∴AP=BP,∵∠P=60°,
∴∠PAB=60°,∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAC=90°,∴∠BAC=90°-60°=30°;
(2)如答图,连结OP,则在Rt△AOP中,OA=2,∠APO=30°,∴OP=4,
由勾股定理得AP=2,
∵AP=BP,∠APB=60°,∴△APB是等边三角形,
∴AB=AP=2.
过关训练
1.同学们玩过滚铁环吗?
铁环的半径是30cm,手柄长40cm.当手柄的一端勾在环上,另一端到铁环的圆心的距离为50cm时,铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为( C )
A.相离B.相交
C.相切D.不能确定
【解析】根据题意画出图形,如答图所示.
第1题答图
由已知得BC=30cm,AC=40cm,AB=50cm,∵BC2+AC2=302+402=900+1600=2500,AB2=502=2500,
∴BC2+AC2=AB2,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,
∴AC为圆B的切线,
即此时铁环所在的圆与手柄所在的直线的位置关系为相切.
2.[2017·临沂模拟]如图1,△MBC中,∠B=90°,∠C=60°,MB=2,点A在MB上,以AB为直径作⊙O与MC相切于点D,则CD的长为( C )
图1
A.B.
C.2D.3
【解析】在Rt△BCM中,tan60°==,得到BC==2,∵AB为⊙O的直径,且AB⊥BC,∴BC为⊙O的切线,又∵CD也为⊙O的切线,∴CD=BC=2.
3.[2017·西湖区校级二模]如图2,用一把带有刻度的角尺:
(1)可以画出两条平行的直线a与b,如图①;
(2)可以画出∠AOB的平分线OP,如图②所示;(3)可以检验工件的凹面是否为半圆,如图③所示;(4)可以量出一个圆的半径,如图④所示.这四种说法中正确的个数有( D )
图2
A.1 B.2C.3D.4
【解析】
(1)根据平行线的判定:
同位角相等,两直线平行,可知正确;
(2)可以画出∠AOB的平分线OP,可知正确;(3)根据90°的圆周角所对的弦是直径,可知正确;(4)此作法正确.所以正确的有4个.
4.[2017·金乡三模]已知AC⊥BC于C,BC=a,CA=b,AB=c,下列选项中⊙O半径为的是( A )
A B C D
【解析】B.设AB切⊙O于F,圆的半径是y,连结OF,则△BCA∽△OFA,得出=,代入求出y=;C.设AC,BC分别切⊙O于E,D,连结OE,OD,得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°,证出四边形OECD是正方形,设⊙O的半径是r,证△ODB∽△AEO,得出=,代入即可求出r=;D.设⊙O的半径是x,圆切AC于E,切BC于D,切AB于F,同样得到正方形OECD,根据a+x=c+b-x,求出x=.
5.[2017·溧水区一模]如图3,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,内切圆O与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,则∠DEF的度数为__75°__.
图3
【解析】如答图,连结DO,FO,
第5题答图
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,∴∠A=30°,∵内切圆O与边AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∴∠ODA=∠OFA=90°,∴∠DOF=150°,∴∠DEF的度数为75°.
6.如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于E.
(1)求证:
点E是边BC的中点;
(2)当∠B=__45__°时,四边形ODEC是正方形.
图4 第6题答图
解:
(1)证明:
如答图,连结DO,
∵∠ACB=90°,AC为直径,
∴EC为⊙O的切线.
又∵ED也为⊙O的切线,∴EC=ED,
又∵∠EDO=90°,∴∠BDE+∠ADO=90°,
∴∠BDE+∠A=90°,又∵∠B+∠A=90°,
∴∠BDE=∠B,∴EB=ED,
∴EB=EC,即点E是边BC的中点;
(2)当∠B=45°时,四边形ODEC是正方形,
∵∠ACB=90°,∴∠A=45°,
∵OA=OD,∴∠ADO=45°,
∴∠AOD=90°,∴∠DOC=90°,
∵∠ODE=90°,∴四边形ODEC是矩形,
∵OD=OC,∴矩形ODEC是正方形.
7.如图5,⊙O的直径AB=6,∠ABC=30°,BC=6,D是线段BC的中点.
(1)试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:
直线DE是⊙O的
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