高考数学热点难点突破技巧第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题.docx
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高考数学热点难点突破技巧第07讲导数中的双变量存在性和任意性问题
第07讲:
导数中的双变量存在性和任意性问题的处理
【知识要点】
在平时的数学学习和高考中,我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题,学生由于对于这类问题理解不清,很容易和不等式的恒成立问题混淆,面对这类问题总是感到很棘手,或在解题中出现知识性错误.
1、双存在性问题
“存在,存在,使得成立”称为不等式的双存在性问题,存在,存在,使得成立,即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值小.,即.(见下图1)
“存在,存在,使得成立”,即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值大,即.(见下图2)
2、双任意性问题
“任意,对任意的,使得成立”称为不等式的双任意性问题.任意,对任意的,使得成立,即在区间任意一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小,即.
“任意,对任意的,使得成立”,即在区间内任意一
个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大,即.
3、存在任意性问题
“存在,对任意的,使得成立”称为不等式的存在任意性问题.存在,对任意的,使得成立,即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小,即.(见下图3)
“存在,对任意的,使得成立”,即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大,即.(见下图4)
【方法讲评】
题型一
双存在性问题
使用情景
不等式中的两个自变量属性都是存在性的.
解题理论
存在,存在,使得成立”称为不等式的双存在性问题,存在,存在,使得成立,即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值小,即.
“存在,存在,使得成立”,即在区间内至少有一个值比函数在区间内的一个函数值大,即.
【例1】已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当时,设,若存在,,使,求实数的取值范围.(为自然对数的底数,)
当时,,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以当时,的减区间为,增区间.
当时,的减区间为.
当时,的减区间为,
增区间为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知在上的最大值为,
,令,得.
时,,单调递减,
,,单调递增,
所以在上的最小值为,
由题意可知,解得,所以.
【点评】
(1)存在性问题和任意性问题都是最值关系问题,关键是是什么样的最值关系,所以务必理解清楚,不能含糊.
(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解(见前面的知识要点),也可以这样记忆,双存在性问题两边的最值相反.
【反馈检测1】设函数,
(1)若是函数的一个极值点,试求出关于的关系式(用表示),并确定的单调区间;
(2)在
(1)的条件下,设,函数,若存在使得成立,求的取值范围.
题型二
双任意性问题
使用情景
不等式的两个自变量属性都是任意的.
解题理论
“任意,对任意的,使得成立”称为不等式的双任意性问题.任意,对任意的,使得成立,即在区间任意一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小,即.
“任意,对任意的,使得成立”,即在区间
内任意一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大,即
.
【例2】已知函数.若不等式对所有,都成立,求实数的取值范围.
【解析】则对所有的,都成立,
令,,是关于的一次函数,
因为,所以
【点评】
(1)存在性问题和任意性问题都是最值关系问题,关键是是什么样的最值关系,所以务必理解清楚,不能含糊.
(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解(见前面的知识要点),也可以这样记忆,双任意性问题,两边的最值相反.
【反馈检测2】已知函数,,,.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)对于任意,任意,总有,求的取值范围.
题型三
存在任意性
使用情景
不等式的两个自变量一个属性是存在性的,一个是任意性的.
解题理论
“存在,对任意的,使得成立”称为不等式的存在任意性问题.存在,对任意的,使得成立,即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要小,即.
“存在,对任意的,使得成立”,即在区间内至少有一个值比函数在区间内的任意一个函数值都要大,即.
【例3】(2010高考山东理数第22题)已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论的单调性;
(Ⅱ)设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.
(1)当时,,当,函数单调递减;当,函数单调递增.
(2)当时,由,即,解得.
当时,恒成立,此时,函数单调递减;
当时,,时,函数单调递减;
时,,函数单调递增;
时,,函数单调递减.
当时,当,函数单调递减;
当,函数单调递增.
综上所述:
当时,函数在单调递减,单调递增;
当时,恒成立,此时,函数在单调递减;
当时,在单调递减,单调递增,单调递减.
(Ⅱ)当时,在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意,有
又已知存在,使,所以,,(※)
又
当时,与(※)矛盾;
当时,也与(※)矛盾;
当时,.
综上所述,实数的取值范围是.
【点评】
(1)存在性问题和任意性问题都是最值关系问题,关键是是什么样的最值关系,所以务必理解清楚,不能含糊.
(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解(见前面的知识要点),也可以这样记忆,存在任意性问题,两边的最值相同.
【反馈检测3】已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)已知,函数.若对任意,都存在,使得成立,求实数的取值范围.
高中数学热点难点突破技巧第07讲:
导数中的双变量存在性和任意性问题的处理参考答案
【反馈检测1答案】
(1);
(2).
令,得或∵是极值点,∴,即
当即时,由得或
由得
当即时,由得或
由得
综上可知:
当时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;当时,函数单调递增区间为和,单调递减区间为.
(2)由
(1)知,当a>0时,在区间(0,1)上的单调递减,在区间(1,4)上单调递增,∴函数在区间上的最小值为
又∵,,
∴函数在区间[0,4]上的值域是,即
又在区间[0,4]上是增函数,且它在区间[0,4]上的值域是
∵-==,
∴存在使得成立只须仅须
-<1
【反馈检测2答案】(Ⅰ)当时,递减区间为,不存在增区间;当时,递减区间为,递增区间;(Ⅱ).
∴递减区间为,递增区间;
综上:
当时,递减区间为,不存在增区间;
当时,递减区间为,递增区间;
(Ⅱ)令,由已知得只需即
若对任意,恒成立,即
令,则
设,则
∴在递减,即
∴在递减∴即
的取值范围为.
【反馈检测3答案】(I)详见解析;(II).
【反馈检测3详细解析】
当时,或,在上递增,在和上递减;
,在上递减.
(II)由
(2)知在内单调递减,内单调递增,内单调递减,
又,
故有,
只需在[0,2]上最小值小于等于-1即可.
即时最小值,不合题意,舍去;
即时最小值;
即时最小值;
综上所述:
.
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