人教A版数学必修一第二章222《对数函数及其性质》讲解与例题.docx
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人教A版数学必修一第二章222《对数函数及其性质》讲解与例题
2.2.2 对数函数及其性质
1.对数函数的概念
(1)定义:
一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
(2)对数函数的特征:
特征
判断一个函数是否为对数函数,只需看此函数是否具备了对数函数的特征.
比如函数y=log7x是对数函数,而函数y=-3log4x和y=logx2均不是对数函数,其原因是不符合对数函数解析式的特点.
【例1-1】函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数a=__________.
解析:
由a2-a+1=1,解得a=0,1.
又a+1>0,且a+1≠1,∴a=1.
答案:
1
【例1-2】下列函数中是对数函数的为__________.
(1)y=loga(a>0,且a≠1);
(2)y=log2x+2;
(3)y=8log2(x+1);(4)y=logx6(x>0,且x≠1);
(5)y=log6x.
解析:
序号
是否
理由
(1)
×
真数是,不是自变量x
(2)
×
对数式后加2
(3)
×
真数为x+1,不是x,且系数为8,不是1
(4)
×
底数是自变量x,不是常数
(5)
√
底数是6,真数是x
答案:
(5)
2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
(1)图象与性质
a>1
0<a<1
图
象
性
质
(1)定义域{x|x>0}
(2)值域{y|yR}
(3)当x=1时,y=0,即过定点(1,0)
(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0
(4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0
(5)在(0,+∞)上是增函数
(5)在(0,+∞)上是减函数
谈重点对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y轴右侧,其单调性取决于底数.a>1时,函数单调递增;0<a<1时,函数单调递减.理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象,在掌握图象的基础上性质就容易理解了.我们要注意数形结合思想的应用.
(2)指数函数与对数函数的性质比较
解析式
y=ax(a>0,且a≠1)
y=logax(a>0,且a≠1)
性
质
定义域
R
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
R
过定点
(0,1)
(1,0)
单调性
单调性一致,同为增函数或减函数
奇偶性
奇偶性一致,都既不是奇函数也不是偶函数
(3)底数a对对数函数的图象的影响
①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”:
当a>1时,对数函数的图象“上升”;当0<a<1时,对数函数的图象“下降”.
②底数的大小决定了图象相对位置的高低:
不论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
点技巧对数函数图象的记忆口诀 两支喇叭花手中拿,(1,0)点处把花扎,
若是底数小于1,左上穿点渐右下,
若是底数大于1,左下穿点渐右上,
绕点旋转底变化,顺时方向底变大,
可用直线y=1来切,自左到右a变大.
【例2】如图所示的曲线是对数函数y=logax的图象.已知a从,,,中取值,则相应曲线C1,C2,C3,C4的a值依次为( )
A.,,,
B.,,,
C.,,,
D.,,,
解析:
由底数对对数函数图象的影响这一性质可知,C4的底数<C3的底数<C2的底数<C1的底数.故相应于曲线C1,C2,C3,C4的底数依次是,,,.
答案:
A
点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法
(1)方法一:
利用底数对对数函数图象影响的规律:
在x轴上方“底大图右”,在x轴下方“底大图左”;
(2)方法二:
作直线y=1,它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数,由此判断各底数的大小.
3.反函数
(1)对数函数的反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
(2)互为反函数的两个函数之间的关系
①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域;
②互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
(3)求已知函数的反函数,一般步骤如下:
①由y=f(x)解出x,即用y表示出x;
②把x替换为y,y替换为x;
③根据y=f(x)的值域,写出其反函数的定义域.
【例3-1】若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f
(2)=1,则f(x)=( )
A.log2xB.
C.D.2x-2
解析:
因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,
又f
(2)=1,即loga2=1,所以a=2.故f(x)=log2x.
答案:
A
【例3-2】函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为( )
A.(0,+∞)B.(1,9]
C.(0,1)D.[9,+∞)
解析:
∵0<x≤2,∴1<3x≤9,
即函数f(x)的值域为(1,9].
故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9].
答案:
B
【例3-3】若函数y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数y=f(x)的图象必过点( )
A.(5,1)B.(1,5)C.(1,1)D.(5,5)
解析:
由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称,而点(1,5)关于直线y=x的对称点为(5,1),所以函数y=f(x)的图象必经过点(5,1).
答案:
A
4.利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值
对数函数的解析式y=logax(a>0,且a≠1)中仅含有一个常数a,则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式,这样的条件往往是已知f(m)=n或图象过点(m,n)等等.通常利用待定系数法求解,设出对数函数的解析式f(x)=logax(a>0,且a≠1),利用已知条件列方程求出常数a的值.
利用待定系数法求对数函数的解析式时,常常遇到解方程,比如logam=n,这时先把对数式logam=n化为指数式的形式an=m,把m化为以n为指数的指数幂形式m=kn(k>0,且k≠1),则解得a=k>0.还可以直接写出,再利用指数幂的运算性质化简.
例如:
解方程loga4=-2,则a-2=4,由于,所以.又a>0,所以.当然,也可以直接写出,再利用指数幂的运算性质,得.
【例4-1】已知f(ex)=x,则f(5)=( )
A.e5 B.5e C.ln5 D.log5e
解析:
(方法一)令t=ex,则x=lnt,所以f(t)=lnt,即f(x)=lnx.
所以f(5)=ln5.
(方法二)令ex=5,则x=ln5,所以f(5)=ln5.
答案:
C
【例4-2】已知对数函数f(x)的图象经过点,试求f(3)的值.
分析:
设出函数f(x)的解析式,利用待定系数法即可求出.
解:
设f(x)=logax(a>0,且a≠1),
∵对数函数f(x)的图象经过点,∴.∴a2=.
∴a=.∴f(x)=.
∴f(3)==-1.
【例4-3】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9),且f(b)=,试求b的值.
解:
设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则它的反函数为y=ax(a>0,且a≠1),由条件知a2=9=32,从而a=3.于是f(x)=log3x,则f(b)=log3b=,解得b=.
5.对数型函数的定义域的求解
(1)对数函数的定义域为(0,+∞).
(2)在求对数型函数的定义域时,要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1.若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有意义.一般地,判断类似于y=logaf(x)的定义域时,应首先保证f(x)>0.
(3)求函数的定义域应满足以下原则:
①分式中分母不等于零;
②偶次根式中被开方数大于或等于零;
③指数为零的幂的底数不等于零;
④对数的底数大于零且不等于1;
⑤对数的真数大于零,如果在一个函数中数条并存,求交集.
【例5】求下列函数的定义域.
(1)y=log5(1-x);
(2)y=log(2x-1)(5x-4);
(3).
分析:
利用对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义求解.
解:
(1)要使函数有意义,则1-x>0,解得x<1,
所以函数y=log5(1-x)的定义域是{x|x<1}.
(2)要使函数有意义,则解得x>且x≠1,
所以函数y=log(2x-1)(5x-4)的定义域是(1,+∞).
(3)要使函数有意义,则解得<x≤1,
所以函数的定义域是.
6.对数型函数的值域的求解
(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法.
(2)对于形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的复合函数,其值域的求解步骤如下:
①分解成y=logau,u=f(x)这两个函数;
②求f(x)的定义域;
③求u的取值范围;
④利用y=logau的单调性求解.
(3)对于函数y=f(logax)(a>0,且a≠1),可利用换元法,设logax=t,则函数f(t)(tR)的值域就是函数f(logax)(a>0,且a≠1)的值域.
注意:
(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母),要考查其单调性,就必须对底数进行分类讨论.
(2)求对数函数的值域时,一定要注意定义域对它的影响.当对数函数中含有参数时,有时需讨论参数的取值范围.
【例6-1】求下列函数的值域:
(1)y=log2(x2+4);
(2)y=.
解:
(1)∵x2+4≥4,∴log2(x2+4)≥log24=2.
∴函数y=log2(x2+4)的值域为[2,+∞).
(2)设u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4≤4.∵u>0,∴0<u≤4.
又y=在(0,+∞)上为减函数,∴≥-2.
∴函数y=的值域为[-2,+∞).
【例6-2】已知f(x)=2+log3x,x[1,3],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及相应的x的值.
分析:
先确定y=[f(x)]2+f(x2)的定义域,然后转化成关于log3x的一个一元二次函数,利用一元二次函数求最值.
解:
∵f(x)=2+log3x,x[1,3],
∴y=[f(x)]2+f(x2)=(log3x)2+6log3x+6且定义域为[1,3].
令t=log3x(x[1,3]).
∵t=log3x在区间[1,3]上是增函数,∴0≤t≤1.
从而要求y=[f(x)]2+f(x2)在区间[1,3]上的最大值,只需求y=t2+6t+6在区间[0,1]上的最大值即可.∵y=t2+6t+6在[-3,+∞)上是增函数,
∴当t=1,即x=3时,ymax=1+6+6=13.
综上可知,当x=3时,y=[f(x)]2+f(x2)的最大值为13.
7.对数函数的图象变换及定点问题
(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)过定点(1,0),即对任意的a>0,且a≠1都有loga1=0.这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键.
对于函数y=b+klogaf(x)(k,b均为常数,且k≠0),令f(x)=1,解方程得x=m,则该函数恒过定点(m,b).方程f(x)=0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数.
(2)对数函数的图象变换的问题
①函数y=logax(a>0,且a≠1)函数y=loga(x+b)(a>0,且a≠1)
②函数y=logax(a>0,且a≠1)函数y=logax+b(a>0,且a≠1)
③函数y=logax(a>0,且a≠1)函数y=loga|x|(a>0,且a≠1)
④函
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- 对数函数及其性质 人教 数学 必修 第二 222 对数 函数 及其 性质 讲解 例题