《组合数学》模拟练习题.docx
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《组合数学》模拟练习题
《组合数学》模拟练习题
组合数学模拟练习题04
、填空题
1、红、黄、蓝、白4个球在桌上排成一圈,有种排法。
4、
设S={1,2,3,4}中仅有2个定位的排列数N
(2)=
5、依照字典序,排列(4576321)的下一个排列
9、(1,2,3,4)的移位排列数D(4)
10、解递推关系f(r)–4f(r-1)+4f(r-2)=2r时,应设非齐次的特解为
11.
xi的展开式中,x2x32x43的系数为。
i1
12.在14个人中至少有个人为同月份
出生
13.解常系数线性齐次递推关系的常用方法称
3、由6颗不同颜色的珠子可以做成()种
手链
A、720
B、
120C
、60
D、6
n
4、
(1)kkn
k0
()。
A、2nB
、0
C、n2n-1
D、
1
5、按照字典序,排列4517632的下一个排列是().
A、4571236B、4517623C、4576321D、4521367
6、当r≥k时差分多项式Pk(r)=()
7、设F(x),G(x)分别是f和g的生成函数,则以
不成立的是()
是fg的生成函数
C、xrF(x)是Sr(f)的生成函数D、F(x)-xF(x)
是f的生成函数.
8、在无柄茶杯的四周画上四种不同的图案,共
有(
)种画法。
A、24
B、12
C、6
D、3
n
9、kkn
k1
(
)。
A、2n
B、0
C、n2n-1
D、1
10、设S={1,2,3,4,5,6,7},5-组合12367的下一个组合是().
A、12567B、12376C、12467D、12456
三、解答题
1.有4个相同的红球,5个相同的白球,那么这
9个球有多少种不同的排列方式?
2.公司有5台电视机,4台洗衣机,7台冰箱,现要把其中3台电视机,2台洗衣机,4台冰箱选送到展销会,试问有多少种选法?
3.设S={1,3?
2,3?
3,2?
4,5}是一个多重集,那么由集合S的元素能组成多少个不同的四位数。
4.用09这十个数码,可以组成多少个恰有两个重复数码的三位数?
5.设S={a,b,c,d,e},求S的所有3-组合(按字典序排列)。
6.设集合S={1,2,3,4},按照字典序写出排列3124后的所有全排列。
7.试求在1到300之间那些不能被3,5和7中任何一个整除的整数个数。
8.数1,2,3,4,5,6,7,8的全排列中,有
4个数字在原来位置上,另外4个不在原来位置上的错排数目。
9.一人在8小时内加工了40个零件,已知他在第一个小时内加工了6个零件,而最后一个小时内加工了4个零件。
证明一定存在连续的两个小时,这两个小时内至少加工了10个零件。
10.证明在边长为2的正方形内任意5点必有两点,其距离不超过2。
11.设数值函数f={1,7,72,73,...},g=
{1,6,62,63,...},求卷积f*g的生成函数
12.用生成函数求下式之和:
n
Ln
n
13.解非齐次递推关系
an6an19an23,n2
a00,a11
14.解齐次递推关系
an8an116an20
a01,a10
15.一教室有两排座位,每排8个,今有14名学生,5人总坐在前排,4人总在后排,问学生入座有几种方式?
16.将字母a,b,c,d,e,f,g排成一行,使得模式beg和cad都不出现的排列总数是多少?
17.按照字典序写出集合S={1,2,3,4}的前面12个全排列。
18.求8个字母A、B、C、D、E、F、G、H的全排列中只有4个元素不在原来位置上的排列数。
19.某次会议有10个代表参加,每一位代表至少认识其余9位中的一位,则10位代表中至少有两位代表认识的人数相等
20.求数值函数f={1,-3,32,-33,...}的生成函数.
21.设初始值h(0)=0,h
(1)=1,求解递推关系
h(n)=5h(n-1)-6h(n-2).(n=2,3,...)
组合数学模拟练习题参考答案
、填空题
二、单项选择题
1、C;2、B;3、C;4、B;5、D;
6、B;7、B;8、C;9、C;10、D;
三、解答题
1.解:
设有限多重集S={4?
红球,5?
白球},
则9-重复排列数为:
4!
5!
!
=126.
即9个球有126种不同的排列方式.
2.解:
电视机有5种选法;洗衣机有4种选法;冰箱有7种选法.
324
由乘法法则得,
3.解:
从多重集{1,3?
2,3?
3,2?
4,5}产生
547
共有5472100种选法.
324
无重复的四位数有:
P54个;
有1个2-重复的四位数有:
3
1
44!
个;
22!
有2个2-重复的四位数有:
3
2
4!
个;
2!
2!
有1个3-重复的四位数有:
2
1
44!
个;
13!
个;
共有120+216+18+32=386个四位数。
4.解:
第1,2位重复有99;
11
99
共有39119243个重复数码的三位数.
5.解:
S={a,b,c,d,e},按组合生成算法S的所有3-组合:
abc->abd->abe->acd->ace->ade->bcd->bce->bde->cde
6.解:
按照字典序排列算法,集合S={1,2,3,4}的3124后全排列为:
3124->3142->3214->3241->3412->3421
->4123->4132->4213->4231->4312->4321
7.解:
令A1,A2和A3分别表示1到300之间能被3,5和7整除的整数集合,则有
300
300
300
|A1|
3
100,|A2|
5
60,|A3|
7
42,
300
300
300
|A1
A2|
20,|A1
A3|
14,|A2
A3|
8
35
37
57
300
|A1
A2
A3|
2
357
根据容斥原理知:
|A1A2A3|300(1006042)(20148)2138.
原来位置上,其余4个数字保持不动,相当于4个数字的移位排列,其数目为:
故8个数字的全排列中只有4个数字不在原来
位置上的排列数为
0
3
6
3
5
6
7
8
9
!
8!
9.解:
去掉首尾两个小时,在其余6个小时内加工了30个零件,把这6个小时分成3个“连续的两个小时”(抽屉),根据抽屉原理:
一定存在连续的两个小时,这两个小时内至少加工了10个零件。
10.解:
把边长为2的正方形,分成4个边长为1的小正方形,这4个小正方形组成4个抽屉,根据抽屉原理:
正方形内任意5点必有两点落入一个小正方形内,而小正方形内两点间距离不超过2(对角线长),所以正方形内必有两点,其距离不超过2。
11.解:
数值函数f={1,7,72,73,...}的生成函数
F(x)17x72x273x3...
23
1(7x)(7x)2(7x)3...
1
117x.(|7x|1)
数值函数f={1,6,62,63,...}的生成函数
F(x)16x62x263x3...
23
1(6x)(6x)2(6x)3...
1
.(|6x|1)
16x
其生成函数
两边对x求导
n1
n2n1
nn
2
12
13.解:
特征方程为:
x2+6x+9=0解得特征根为-3,-3.因此齐次通解
(A+Br)(-3)r
设非齐次的特解为C,代入递推关系式有
C+6C+9C=3
所以特解为C
16
非齐次的通解ar(ABr)(3)r136
为一般解,由边界条件得A30
16
3
(AB)(3)1361解此线性方程组得唯一解A3,B1
3
16
-8x+16=0
1612因此所求的解为3r1r
ar
136(3)r112r(3)r
14.解:
特征方程为:
x2解得特征根为4,4.因此ar=(A+Br)4r为一般解,由边界条件得
A1(AB)40解此线性方程组得唯一解A=-1,B=1因此所求的解为
r
ar(1r)4r
15.解:
由5人总坐在前排,在前排选5个座位,有C855!
种坐法;
由4人总坐在后排,在后排选4个座位,有
C844!
种坐法;
在余下的7个座位中选5个座位,给余下的
5人坐,有C755!
种坐法;所以学生入座共有C855!
C844!
C755!
=28
449792000种方式.
16.解:
仅有beg模式,或cad模式的排列数都是P(5,5)=5!
(将模式捆在一起视为一个元素,再和其余4个元素构成5个元素的全排列)。
即有beg模式又有cad模式出现的排列数为3!
。
根据容斥原理,符合题意的排列数是
7!
-2×5!
+3!
=4806
17.解:
按照字典序排列算法,集合S={1,2,3,4}的前面12个全排列为:
1234->1243->1324->1342->1423->1432
->2134->2143->2314->2341->2413
->2431.
18.解:
求8个字母全排列中只有4个元素不在原来位置上,其余4个字母保持不同,相当于4
个字母的移位排列,其数目为:
1111
1!
2!
3!
4!
9.
故8个字母的全排列中只有4个元素不在原来
位置上的排列数为
19.解:
10位代表认识的人数有1、2、3、4、5、
6、7、8、9,共九种情况(抽屉),根据抽屉原理:
10个代表中至少有两位代表认识的人数相
20.解:
数值函数f={1,-3,32,-33,...}的生成函数
F(x)13x32x233x323
1(3x)(3x)2(3x)3
21.解:
特征方程为:
x2-5x+6=0
解得特征根为2,3.因此
h(n)=A2n+B3n为一般解,由边界条件得
AB0
2A3B1
解此线性方程组得唯一解
A=-1,B=1因此所求的解为
h(n)=3n-2n.
是
6.1.nn
k0k
7.2,0,*671,3,1
14.记移位排列数为D(n),则r定位排列数N(r)
=。
15.数值函数的推迟函数S
k(f)=。
二、单项选择题
1、数值函数f=(1,1,1,...)的生成函数F(x)=()A、(1+x)nB、1-xC、(1-x)-1D、
(1+x)-n
2、递推关系f(n)=4f(n-1)-4f(n-2)的特征方程有重根2,则()是它的一般解。
A、C12n-1+C22nB、(C1+C2n)2nC、
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