2由勾股定理建立函数解析式专项.docx
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2由勾股定理建立函数解析式专项
二由勾股定理建立函数解析式专项
本专题的主要特征是两个点在运动的过程中,直接或间接地构造了直角三角线,因此可以利用勾股定理去建立函数关系式.勾股定理是初中数学的重要定理,在运用勾股定理写函数解析式的过程中,主要是找边的等量关系,要善于发现这种内在的关系,用代数式去表示这些边,达到解题的目的.由于是压轴题,有的先有铺垫,再写解析式;有的写好解析式后,再证明等腰三角形、相似三角形等,还有的再解一些与圆有关的体型.要认真领会,达到举一反三的目的.
1牢记勾股定理:
在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.
例题:
例题,扇形中∠AOB=45°,半径OB=2,矩形PQRS的顶点P、S在半径OA上,Q在半径OB上,R在弧AB上,连结OR.
(1)当∠AOR=30°时,求OP长
(2)设OP=x,OS=y,求y与x的函数关系式及定义域.
2在四边形的翻折与旋转中,往往会应用到勾股定理,由此产生些函数解析式的问题,要熟练掌握.
例题:
如图,正方形ABCD中,AB=6,有一块含45°角的三角板,把45°角的顶点放在D点,将三角板绕着点D旋转,使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F(点E与点A、B不重合)
(1)从几个不同的位置,分别测量AE、EF、FC的长,从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系?
并证明你所得到的结论
(2)设AE=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域
(3)试问△BEF的面积能否为8?
如果能,请求出EF的长;如果不能,请说明理由.
3在一些特殊的四边形中,如矩形、正方形,它们都是直角,菱形的对角线互相垂直,这些都有可能构造直角三角形,可以考虑用勾股定理写出函数的解析式.
例题:
如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,点P是射线BC上的一个动点,∠PAQ=60°,交射线CD于点Q,设点P到点B的距离为x,PQ=y
(1)求证:
三角形APQ是等边三角形
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
(3)如果PD⊥AQ,求BP的值
4作底边上的高,可以构造直角三角形,利用勾股定理写函数的解析式
例题:
如图,等边△ABC的边长为3,点P、Q分别是AB、BC上的动点(点P、Q与△ABC的顶点不重合),且AP=BQ,AQ、CP相交于点E.
(1)如设线段AP为x,线段CP为y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域
(2)当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时,求AP的长
(3)点P、Q分别在AB、BC上移动过程中,AQ和CP能否互相垂直?
如能,请指出P点的位置,请说明理由.
5在解圆的题目时,首选的辅助线是弦心距,它不仅可以运用垂径定理,而且构造了直角三角形,为用勾股定理写函数解析式创造了条件.
例题:
如图,⊙A和⊙B是外离的两圆,两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F,点P是线段AB上的一动点(点P不与E、F重合),PC切⊙A于点C,PD切⊙B于点D,已知⊙A的半径为2,⊙B的半径为1,AB=5.
(1)如设线段BP的长为x,线段CP的长为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域
(2)如果PC=PD,求PB的长
(3)如果PC=2PD,判断此时直线CP与⊙B的位置关系,证明你的结论
6强调圆的首选辅助线是弦心距,它不仅可以平分弦,而且构造了直角三角形,为解题创建新思路.
例题:
如图,在△ABC中,AB=15,AC=20,cotA=2,P是边AB上的一个动点,⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时,⊙P恰好与边AC相切;当点P与点B不重合,且⊙P与边AC相交于点M和点N时,设AP=x,MN=y.
(1)求⊙P的半径
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域
(3)当AP=6
时,试比较∠CPN与∠A的大小,并说明理由
阶梯题组训练
1如图,E是正方形ABCD的边AD上的动点,F是边BC延长线上的一点,且BF=EF,AB=12,设AE=x,BF=y.
(1)当△BEF是等边三角形时,求BF的长;
(2)求y与x之间的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)把△ABE沿着直线BE翻折,点A落在点A′处,试探索:
△A′BF能否为等腰三角形?
如果能,请求出AE的长;如果不能,请说明理由.
2如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D是边AC上不与点A、C重合的任意一点,DE⊥AB,垂足为点E,M是BD的中点.
(1)求证:
CM=EM;
(2)如果BC=
设AD=x,CM=y,求y与x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当点D在线段AC上移动时,∠MCE的大小是否发生变化?
如果不变,求出∠MCE的大小;如果发生变化,说明如何变化.
3ABCD中,对角线AC⊥AB,AB=15,AC=20,点P为射线BC上一动点,AP⊥PM(点M与点B分别在直线AP的两侧),且∠PAM=∠CAD,连结MD.
(1)
当点M在ABCD内时,如图,设BP=x,AP=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数定义域;
(2)请在备用图中画出符合题意的示意图,并探究:
图中是否存在与△AMD相似的三角形?
若存在,请写出并证明;若不存在,请说明理由;
(3)当△为等腰三角形时,求BP的长.
4抛物线经过A(2,0)、B(8,0)、C(0,
).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为P,把△APB翻折,使点Pl落在线段AB上(不与A、B重合),记作P′,折痕为EF,设AP′=x,PE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;
(3)当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时,能否使△EFP′的一边与x轴垂直?
若能,请求出此时点P′的坐标;若不能,请你说明理由.
5如图,矩形ABCD中,AD=7,AB=BE=2,点P是EC(包括E、C)上的动点,线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G,设BP=x,AG=y.
(1)四边形AFPG是说明图形?
请说明理由;
(2)求y与x的函数关系式;
(3)如果分别以线段GP、DC为直径作圆,且使两圆外切,求x的值.
6在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,AB=4,AD=5,CD=5.E为底边BC上一点,以点E为圆心,BE为半径画⊙E交直线DE于点F.
(1)如图,当点F在线段DE上时,设BE=x,DF=y,试建立y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)当以CD为直径的⊙O与⊙E相切时,求x的值;
(3)连结AF、BF,当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时,求x的值.
7如图,在正方形ABCD中,AB=1,弧AC是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧,点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作弧AC所在圆的切线,交DC于点F,G为切点.
(1)当∠DEF=45°时,求证点G为线段EF的中点;
(2)设AE=x,FC=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的解析式;
(3)将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF,如图2,当EF=
时,讨论△AD1D与△ED1F是否相似,如果相似,请加以证明;如果不相似,只要求写出结论,不要求写出理由.
(2003年上海第27题)
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