高中数学第二章 数列22 第2课时.docx
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高中数学第二章数列22第2课时
第2课时 等差数列的性质
学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质简化计算.
知识点一 等差数列通项公式的变形及推广
①an=dn+(a1-d)(n∈N*),
②an=am+(n-m)d(m,n∈N*),
③d=
(m,n∈N*,且m≠n).
其中①的几何意义是点(n,an)均在直线y=dx+(a1-d)上.
②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式,不必求a1.
③即斜率公式k=
,可用来由等差数列任两项求公差.
知识点二 等差数列的性质
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.特别地,若m+n=2p,则am+an=2ap.
知识点三 由等差数列衍生的新数列
若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列,则有
数列
结论
{c+an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an+an+k}
公差为2d的等差数列(k为常数,k∈N*)
{pan+qbn}
公差为pd+qd′的等差数列(p,q为常数)
1.若数列{an}的通项公式an=kn+b,则{an}是公差为k的等差数列.( √ )
2.等差数列{an}中,必有a10=a1+a9.( × )
3.若数列a1,a2,a3,a4,…是等差数列,则数列a1,a3,a5,…也是等差数列.( √ )
4.若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6…都是公差为d的等差数列,则a1,a2,a3…是等差数列.( × )
题型一 an=am+(n-m)d的应用
例1 在等差数列{an}中,已知a2=5,a8=17,求数列的公差及通项公式.
解 因为a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.
又因为an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1,n∈N*.
反思感悟 灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担.
跟踪训练1 已知{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=.
★答案★ 8
解析 方法一 ∵{bn}为等差数列,∴可设其公差为d,
则d=
=
=2,
∴bn=b3+(n-3)d=2n-8.
∴b8=2×8-8=8.
方法二 由
=
=d,
得b8=
×5+b3
=2×5+(-2)=8.
题型二 等差数列性质的应用
例2 已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.
解 方法一 因为a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,
所以a4=5.
又因为a2a4a6=45,所以a2a6=9,
所以(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9,
解得d=±2.
若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N*;
若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N*.
方法二 设等差数列的公差为d,
则由a1+a4+a7=15,得
a1+a1+3d+a1+6d=15,
即a1+3d=5.①
由a2a4a6=45,
得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45,
将①代入上式,得
(5-2d)×5×(5+2d)=45,
即(5-2d)(5+2d)=9,②
联立①②解得a1=-1,d=2或a1=11,d=-2,
即an=-1+2(n-1)=2n-3,n∈N*;
或an=11-2(n-1)=-2n+13,n∈N*.
引申探究
1.在例2中,不难验证a1+a4+a7=a2+a4+a6,那么,在等差数列{an}中,若m+n+p=q+r+s,m,n,p,q,r,s∈N*,是否有am+an+ap=aq+ar+as?
解 设公差为d,则am=a1+(m-1)d,
an=a1+(n-1)d,
ap=a1+(p-1)d,
aq=a1+(q-1)d,
ar=a1+(r-1)d,
as=a1+(s-1)d,
∴am+an+ap=3a1+(m+n+p-3)d,
aq+ar+as=3a1+(q+r+s-3)d,
∵m+n+p=q+r+s,
∴am+an+ap=aq+ar+as.
2.在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=.
★答案★ 20
解析 ∵a3+a8=10,∴a3+a3+a8+a8=20.
∵3+3+8+8=5+5+5+7,
∴a3+a3+a8+a8=a5+a5+a5+a7,
即3a5+a7=2(a3+a8)=20.
反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法:
一是灵活运用等差数列{an}的性质;二是利用通项公式,转化为等差数列的首项与公差的求解,属于通用方法;或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
跟踪训练2 在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,求a3+a6+a9的值.
解 方法一 ∵(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d,
(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,
∴a1+a4+a7,a2+a5+a8,a3+a6+a9成等差数列.
∴a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)
=2×33-39=27.
方法二 ∵a1+a4+a7=a1+(a1+3d)+(a1+6d)
=3a1+9d=39,
∴a1+3d=13,①
∵a2+a5+a8=(a1+d)+(a1+4d)+(a1+7d)
=3a1+12d=33.
∴a1+4d=11,②
联立①②解得
∴a3+a6+a9=(a1+2d)+(a1+5d)+(a1+8d)
=3a1+15d=3×19+15×(-2)=27.
题型三 等差数列的设法与求解
例3 已知三个数成单调递增等差数列,它们的和等于18,它们的平方和等于116,求这三个数.
解 设这三个数分别为a-d,a,a+d,且d>0.
由题意可得
解得
或
∵d>0,∴a=6,d=2.
∴这个数列是4,6,8.
反思感悟 设等差数列的三个技巧
(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:
…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d.
(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为:
…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.
(3)等差数列的通项可设为an=pn+q.
跟踪训练3 三个数成等差数列,这三个数的和为6,三个数之积为-24,求这三个数.
解 设这三个数分别为a-d,a,a+d.
由题意可得
解得
或
∴所求三个数为-2,2,6或6,2,-2.
数列问题如何选择运算方法
典例 等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,求a10.
解 方法一 设{an}的公差为d.
则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2(a1+14d)
=4a1+36d=4(a1+9d)
=4a10=40,
∴a10=10.
方法二 ∵a3+a7+2a15=a3+a7+a15+a15=a10+a10+a10+a10=40,
∴a10=10.
[素养评析] 等差数列中的计算大致有两条路:
一是都化为基本量(a1,d,n)然后解方程(组);二是借助等差数列性质简化计算.前者是通用方法,但计算量大,后者不一定每个题都能用,能用上会使计算简单些,所以建议学习者立足通法,注意观察各项序号特点,能巧则巧,但不要刻意追求巧法.
1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于( )
A.3B.-6C.4D.-3
★答案★ B
解析 由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,
所以d=
=-6.
2.在等差数列{an}中,已知a4=2,a8=14,则a15等于( )
A.32B.-32C.35D.-35
★答案★ C
解析 由a8-a4=(8-4)d=4d=14-2=12,得d=3,
所以a15=a8+(15-8)d=14+7×3=35.
3.等差数列{an}中,a4+a5=15,a7=12,则a2等于( )
A.3B.-3
C.
D.-
★答案★ A
解析 由数列的性质,得a4+a5=a2+a7,
所以a2=15-12=3.
4.设公差为-2的等差数列{an},如果a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于( )
A.-182B.-78C.-148D.-82
★答案★ D
解析 a3+a6+a9+…+a99
=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)
=(a1+a4+…+a97)+2d×33
=50+2×(-2)×33
=-82.
5.在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N*,则am+n的值为.
★答案★ 0
解析 设等差数列的公差为d,
则d=
=
=-1,
从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0.
1.在等差数列{an}中,每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列.
2.在等差数列{an}中,首项a1与公差d是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可根据a1,d的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量.
一、选择题
1.已知数列{an}为等差数列,a3=6,a9=18,则公差d为( )
A.1B.3C.2D.4
★答案★ C
解析 因为数列{an}为等差数列,所以a9=a3+6d,即18=6+6d,所以d=2.
2.在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值等于( )
A.45B.75C.180D.300
★答案★ C
解析 ∵a3+a4+a5+a6+a7
=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450,∴a5=90.
∴a2+a8=2a5=180.
3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为( )
A.12B.8C.6D.4
★答案★ B
解析 由等差数列的性质,得
a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)
=2a8+2a8=4a8=32,
∴a8=8,又d≠0,∴m=8.
4.已知数列
是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9等于( )
A.12B.24C.16D.32
★答案★ A
解析 令bn=
,由题意可知b3=
=
,b15=
=2,则等差数列{bn}的公差d=
=
,则b9=b3+(9-3)d=
,所以a9=9b9=12,故选A.
5.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为( )
A.
B.±
C.-
D.-
★答案★ D
解析 由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π,
∴a7=
.
∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan
=tan
=-
.
6.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为( )
A.0B.1C.2D.1或2
★答案★ D
解析 ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,
∴Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.
∴二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.
7.(2018·河南省实验中学期末)已知{an}是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13的值为( )
A.105B.120C.90D.75
★答案★ A
解析 由a1+a2+a3=15,得a2=5,所以a1+a3=10.又a1a2a3=80,所以a1a3=16,所以a1=2,a3=8或a1=8,a3=2.又等差数列{an}的公差为正数,所以{an}是递增数列,所以a1=2,a3=8,所以等差数列{an}的公差d=a2-a1=5-2=3,所以a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=105.
8.等差数列{an}中,a3+a7-a10=-1,a11-a4=21.则a7等于( )
A.7B.10C.20D.30
★答案★ C
解析 ∵a3+a7-a10+a11-a4
=a3+a7+a11-(a10+a4)
=3a7-2a7=a7,
∴a7=21-1=20.
二、填空题
9.在等差数列{an}中,已知5是a3和a6的等差中项,则a1+a8=.
★答案★ 10
解析 由5是a3和a6的等差中项,可得a3+a6=2×5=10,则由等差数列的性质可得a1+a8=a3+a6=10.
10.若三个数成等差数列,它们的和为9,平方和为59,则这三个数的积为.
★答案★ -21
解析 设这三个数为a-d,a,a+d,
则
解得
或
∴这三个数为-1,3,7或7,3,-1.
∴这三个数的积为-21.
11.在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n+1列的数是__________.
★答案★ n2+n
解析 第n行的第一个数是n,第n行的数构成以n为公差的等差数列,其第n+1项为n+n·n=n2+n.所以数表中的第n行第n+1列的数是n2+n.
三、解答题
12.在等差数列{an}中,
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.
解 方法一
(1)直接化成a1和d的方程如下:
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,
即4(a1+12d)=48,
∴4a13=48,∴a13=12.
(2)直接化成a1和d的方程如下:
解得
或
∴d=3或-3.
方法二
(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,
得2(a2+a5)=34,即a2+a5=17,
解
得
或
∴d=
=
=3或d=
=
=-3.
13.在等差数列{an}中,
(1)若a2+a4+a6+a8+a10=80,求a7-
a8;
(2)已知a1+2a8+a15=96,求2a9-a10.
解
(1)a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,∴a6=16,
∴a7-
a8=
(2a7-a8)=
(a6+a8-a8)=
a6=8.
(2)∵a1+2a8+a15=4a8=96,∴a8=24.
∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.
14.若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3,则{an}的通项公式为.
★答案★ an=2n-
(n∈N*)
解析 由题意得an+1+an=4n-3,①
an+2+an+1=4n+1,②
②-①,得an+2-an=4.
∵{an}是等差数列,设公差为d,∴d=2.
∵a1+a2=1,∴a1+a1+d=1,∴a1=-
.
∴an=-
+(n-1)×2=2n-
(n∈N*).
15.已知两个等差数列{an}:
5,8,11,…与{bn}:
3,7,11,…,它们的项数均为100,则它们有多少个彼此具有相同数值的项?
解 因为an=3n+2(n∈N*),bk=4k-1(k∈N*),两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得,
所以n=
k-1.而n∈N*,k∈N*,
所以设k=3r(r∈N*),得n=4r-1.
由已知
且r∈N*,可得1≤r≤25.
所以共有25个相同数值的项.
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