1999考研数一真题及解析.docx
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1999考研数一真题及解析
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分。
把正确答案填写在题中横线上。
)
11
(1)lim2-
X」lxxtanx丿
⑵dx0sin(x-t)dt二
⑶y”-4y=e2x的通解为y=
dx2
(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是
(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:
ABC二,P(A)二P(B)二P(C):
:
P(A一BC)=
216
则P(A)二
、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分。
每小题给出得四个选项中,只有一个是符合题目要求的,把所选项前的字母填在提后的括号内。
(1)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则()
(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数。
(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数。
(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数。
(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数。
1-cosx小
=—,x0
⑵设f(x)={six其中g(x)是有界函数,则f(x)在x=0处()
(A)极限不存在昨恳极限存在,但不连续
(C)连续,但不可导(D)可导
x,0兰X兰—OQ
⑶设f(x)=J
1
an:
_
1133
(A)2(B)-ye);®;
2,$&)=西+瓦ancosn兀x,其中
cc1*2n#
12_2x,_vx£1(5、
=2j0f(x)cosB^xdx,(n=0,1,2,…),则S|等于()
1一33
4
⑷设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则
(A)当m>n时,必有行列式AB^O(B)当m»n时,必有行列式AB|=O
(C)当n>m时,必有行列式AB^O(D)当n>m时,必有行列式AB|=0⑸设两个相互独立的随机变量G和丫分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),贝U
11
(A)P〈X丫_0.(B)P:
X+Y_1
AA
(C)P「X-Y乞0;=—.(D)PlX-Y乞「;=—.
22
三、(本题满分5分)
设y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(xy)和F(x,y,z)=0所确定的函数,其中
f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求dzo
dx
四、(本题满分5分)
求I=(exsiny-b(x+y)dx+(excosy-ax)dy,其中a,b为正常数,L为从点
A2a,0沿曲线y=2ax-x2到点O(0,0)的弧.
五、(本题满分6分)
设函数yxx-0二阶可导,且/x0,y0=1•过曲线y=yx上任意一点Px,y作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S,区间〔0,x上以y=yx为曲边的曲边梯形面积记为3,并设2S-S?
恒为1,求此曲线y=yx的方程.
六、(本题满分6分)
试证:
当x0时,x2-1lnx—x-1.
七、(本题满分6分)
为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口
见图,已知井深30m30m,抓斗自重400N缆绳每米重50N,抓斗抓
起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/
的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?
(说明:
①1N1m=1J;其中m,N,s,J分别表示
米,牛顿,秒,焦耳;②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不
计.)
设a*=『tannxdx,
001
(1)求v-an-an.2的值;n壬n旳a
⑵试证:
对任意的常数入>0,级数△收敛
nmn
十、(本题满分6分)
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mXn实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:
BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩rBipn.
十二、(本题满分8分)
设随机变量G与丫相互独立,下表列出了二维随机变量X,Y联合分布律及关于
G和关于丫的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.
y1
y2
y3
p{x=Xj}=Pj
G
设总体G的概率密度为
十三、(本题满分6分)
6x
其他
十-x),0:
:
x:
rf(x)-J
Xi,X2,…,Xn是取自总体G的简单随机样本•
(1)求B的矩估计量二
(2)求二的方差Dr.
1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.把正确答案填写在题中横线上.)
(1)【答案】1
3
【分析】利用x>0的等价变换和洛必达法则求函数极限.
【详解】
⑵【答案】sinx2
b
【分析】欲求一f®(x,t)dt,唯一的办法是作变换,使含有®(x,t)中的x“转移”
dxa
到「之外
【详解】令u二x-t,则d^-du,所以有
【详解】原方程对应齐次方程y-4y=0的特征方程为:
,-4=0,解得
「=2,匕--2,故y”-4y=0的通解为%=Cie^xC2e2x,
2x
由于非齐次项为f(x)二e2x,因此原方程的特解可设为'/二Axe2x,代入原方程可求得A=-,故所求通解为y=y1•y二Ge:
4
■E_A
⑷【详解】因为他_1-1...-1\
(对应元素相减)
令|、,E-A=■"1(%—n)=0,得,1=n(1重),,2=0((n-1)重),故矩阵A的n个特
征值是n和0((n-1)重)
(5)【答案】14
【详解】根据加法公式有
P(aUbUc)二P(A)P(B)P(C)-P(AC)-P(AB)-P(BC)P(ABC)
因为P(A)二P(B)=P(C),设P(A)二P(B)二P(C)=p
由于A,B,C两两相互独立,所以有
P(AB)=P(A)P(B)=pP=p2,
P(AC)=P(A)P(C)=pp=P2,
P(BC)=P(B)P(C)=pp=P2,
又由于ABC=、,因此有P(ABC)=P(.一)=0,
所以P(AUbUC)二P(A)P(B)P(C)_P(AC)_P(AB)_P(BC)P(ABC)
2222
=ppp「p-p-p0=3p「3p
又P(AUbJC)9,从而P(AUbUC)=3p_3p29,J则有3p_3p2=0
161616
33i
=p2-P0,解得P=_或p=_
16“44
111
因P(A)=P(B)=P(C)=p,故p=-,即P(A)=_
244
二、选择题
(1)【答案】(A)
【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性•
x
f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)=J0f(t)dt+C,于是
-xu9x
F(-x)二0f(t)dtC=0f(-u)d-uC.
当f(x)为奇函数时,f(-u)=-f(u),从而有
xx
F(-x)二0f(u)duC二0f(t)dtC二F(x)
即F(G)为偶函数.故(A)为正确选项.
(B)、(C)、(D)可分别举反例如下:
f(x"2是偶函数,但其原函数F(x)E31不是奇函数,可排除(B);
211
f(x)=cos2x是周期函数,但其原函数F(x)=2x\sin2x不是周期函数,可排除(C);
f(x)=x在区间(」:
「:
)内是单调增函数,但其原函数F(x)n^x2在区间2
(y;•:
:
)内非单调增函数,可排除(D).
(2)【答案】(D)
【详解】由于可导必连续,连续则极限必存在,可以从函数可导性入手
x
因为f〈0)=lim―=lim―=li^^r=。
,
XTX-0XTxJxTxJx
”f(x)-f(0)xg(x)
f_(0)=limlimlimxg(x)=0,
x—07—x7—
从而,f(0)存在,且f(0)=0,故正确选项为(D).
(3)【答案】(C)
【详解】由题设知,应先将f(x)从[0,1)作偶延拓,使之成为区间[-1,1]上的偶函数,然后再作周期(周期2)延拓,进一步展开为傅里叶级数,
5111
S()=S(-2)=S()=S(:
)
2222
1
而x=—是f(x)的叫断点,按狄利克雷定理有,
21也-0)"(严)J13
S(\2223.
2224
⑷【答案】B
【详解】方法1:
A是mn矩阵,B是nm矩阵,则AB是m阶方阵,因
r(AB)乞minl.r(A),r(B)Iminm,n.
当m・n时,有r(AB)乞min[r(A),r(B)]空n:
:
m.((AB)x=0的系数矩阵的秩小于未
知数的个数),故有行列式AB|=0,故应选(B).
方法2:
B是nm矩阵,当mn时,则r(B)=n(系数矩阵的秩小于未知数的个数),
方程组Bx=0必有非零解,即存在心=0,使得Bx0=0,两边左乘A,得
AB«=0,即卩ABx=0有非零解,从而AB=0,故选(B).
方法3:
用排除法
⑸【答案】B
【详解】根据正态分布的性质:
服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从
正态分布.
因X和Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(1,1),所以
T;-XY~N(uu-1),T2-X一丫~N(U2,62)
其中u^E(XY),c2-D(XY),U2=E(X-Y),打二D(X-Y)
由期望的性质:
E(T)=E(X+丫)=EX+EY=0+1=1,
E(T2)=E(X-丫)=EX-EY=0-仁-1
由独立随机变量方差的性质:
D(T;^D(XY^DX•DY=1•仁2
D(丁)D(我YDX二DY1=2
所以T^XY~N(1,2),T2二X-Y~N(-1,2)
是从这两点出发)
i=X+Y~N(1,2)
匚2),则~N(0,1)
a
A选项:
P〈XYG'l.因T1
2
由标准化的定义:
若X~N(u,
2
P「XY9;=P
所以,X:
;"LN(0,1),将其标准化有
p{x+ywo}=p!
x★J1兰牛jx一吕]
I724i\I42V2J
(保证变换过程中概率不变,所以不等号的左边怎么变,右边也同样的变化)
又因为标准正态分布图像是关于y轴对称,所以
XY「1I1XY「1111,“
pX;1<0=丄,而PX;■<-1<-,所以A错.
[V2J2[4242]2
B选项:
P〈X•丫昇丄
2.
Ix亠Y—11—11fX亠Y—1|1
将其标准化有:
PX£-2=PX2乞0=^(根据标准正态分布的对
称性)故B正确.
C选项:
P'X-丫乞0;=1.2
方法1:
凑成闭合曲线,应用格林公式.
添加从点0(0,0)沿y=0到点A2a,0的有向直
线段J,如图,则
Iexsiny-b(xy)dx亠〔excosy-axdy
L%
iiexsiny-b(xy)dx亠i.excosy-axdyL1
利用格林公式,前一积分
dxdy:
11(b_a)dxdya2(b_a)
D2
I严卫』dxdy
d:
x:
y『d''」2'‘
其中D为L1+L所围成的半圆域,后一积分选择x为参数,得L:
x=x
心)23
二h-122a2b——a3.
2
方法2:
将曲线积分分成两部分,其中一部分与路径无关,余下的积分利用曲线的
0乞x^2a,y=0
2a2
可直接积分I2(-bx)dx二-2a2b,故I
参数方程计算.
I=fjexsiny—b(x+y)dx+(excosy—ax)dy
=(exsinydx+excosydy-(b(x+y)dx+axdy
(0,0)
(2a,0)"
前一积分与路径无关,所以
Lexsinydxexcosydy=exsiny
对后一积分,取L的参数方程
_Lx=aacostIdx=-asintdt
彳,则彳,t从0到兀,得
y=asintdy-acostdt
(b(x+y)dx+axdy
2222332
=0(-absint-absintcost-absintacostacost)dt
_21213
--2ab—aba
22
21213二2:
:
.3
从而I=0-(-2ababa)2aba
22辽.丿2
五【详解】如图,曲线y=y(x)上点P(x,y)处的切线方程为丫-y(x)二y(x)(X-x)
所以切线与x轴的交点为x-Y,0
由于y'(x)0,y(0)=1,因此y(x)0(x0) f\ y x- x-一 1yj x [y(t)dt, 2y 2y' 1 于是S|y 2 又S2= 根据题设2S1-S2=1,即出L-『y(t)dt=1,两边对x求导并化简得yy”=(y') dp P-, dy dy dx 2y'、0 这是可降阶得二阶常微分方程,令p=y,则y丄虫二塑鱼 dxdydx 则上述方程可化为yp=p,分离变量得亚=业,解得p=Gy,即 dypy 从而有y=Ge'C2,根据y(0)=1,y'(0)=1,可得G=1,C2=0, 故所求曲线得方程为y=e: 六【详解】构造函数,利用函数的单调性, 2 证法1: 令f(x)二x2-1Inx-x-1.易知f (1)=0 可见,当XX"时,f(xj;当: : 时,f.由 因此,「⑴=2为f(X)的最小值,即当0: : x: : : : : 时,f(x)—f (1)=20, 所以f(x)为单调增函数.又因为f (1)=0,所以有 0■.x<1时f(x): : : 0;1: : x: : : : 时f(x)■0, 所以利用函数单调性可知,f (1)为f(x)的最小值,即f(x)—f (1)=0所以有x0时,x2-1Inx_x-1$. 证法2: 先对要证的不等式作适当变形,当x=1时,原不等式显然成立; —x-1 当—訥,原不等式等价于lnx一芦 X—1 令f(x)=lnx x+12 —12x2+1 则f(x)220x0 x(x+1)x(x+1) 又因为f (1)=0,利用函数单调性可知 f(x)0,即 f(x)<0,即Inx: : y;当1: : x: : : 时, x+1 综上所述,当x0时,x2-1Inx—x-12. 七【详解】建立坐标轴如图所示, 解法1: 将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功WW2W3,其中W是克服抓斗 自重所作的功;W? 是克服缆绳重力作的功;W3为提出污泥所作的功.由题意知 W=400N30m=12000J. 将抓斗由x处提升到xdx处,克服缆绳重力所作的功为 dW2=缆绳每米重X缆绳长X提升高度 =50(30-x)dx, 30 从而W2=(50(30-x)dx=22500J. 在时间间隔[t,tdt]内提升污泥需做功为 dW3=(原始污泥重-漏掉污泥重)提升高度(3dt) =(2000-20t)3dt 将污泥从井底提升至井口共需时间卫0巴=10$, 3m/s 10 所以%L3(2000-20t)dt=57000J. 因此,共需做功 W=WWW3(120002250057000)J二91500J 解法2: 将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W,当抓斗运动到x处时,作用 力f(x)包括抓斗的自重400N,缆绳的重力50(30-x)N,污泥的重力 x (200020)N, 3 肋20170 即f(x)=40050(30-x)2000-x=3900-x, 170 852 13900- xC lx=3900x-% 1 3丿 3 3 30 于是W=.0 3 30 30=117000-24500=91500J 八【分析】先写出切平面方程,然后求'(x,y,z),最后将曲面积分化成二重积分. 【详解】点P(x,y,z),S,S在点P处的法向量为n-'x,y,2zf,设(X,Y,Z)为二上 任意一点,贝U二的方程为 x x(X-x)y(Y-y)2z(Z-z)=0,化简得-X 2 由点到平面的公式,0(0,0,0)到兀的距离 P(x,y,z)」Ax恸讪- 22 -yz2 44 2 2Z2 —x+—y+zz 22 A2甘 从而H—z—dS=! ^J—+z S: (x,y,z)s4 用投影法计算此第一类曲面积分,将S投影到xOy平面, 其投影域为 D=;(x,y)|x2y2乞2; '22\ 2J2丿: z_ 由曲面方程知z—1 -: z_ -x 22 0+壬 (x,泸D,于是 21- 2丿 -y y2 2 idcr= 邂竝2 12兀宅刁 d匚极坐标川°(4-r2)rdr= I1工21— 九【详解】⑴因为一anan.204tannx(1tanx)dxo4tan 1 n .Z 因此dS=;1•工 \3丿 故有[[—ZdS= S? (x,y,z)s,44 122 二4-x-y 4D 1 3■: 又由部分和数列 n 11 有lim: =1, ru^c ”001 因此an■an2T. n4n (2)先估计an的值,因为 1 ai'ai2 I 1-: tanx-t ;tan^dtanx二 £-1- 』(i1) i1 xsecxdx n- 1 tndt 0 n(n1) an=-o4 1丄 01t2 1 n'(n1) 由于「10,所以七收敛, tannxdx,令t二tanx, 贝Udt=sec2xdx, dt 2 所以an (tndt=丄, 0n1 1 L ■-1 00a 从而v电也收敛. n吕n 十【详解】根据题设,A有一个特征值0,属于0的一个特征向量为: •=(-1,-1,1几 根据特征值和特征向量的概念,有A〉='0=- 把A=—1代入AA^|AE中,得AA*=AE=-E,则aA«=—(.把 A*: ='o>代入,于是 -1 b 常数'o乘以矩阵0 -a 也即’o fa 5 M-c c 3 -a -a -5二b T(;cc)— =打A-,即七=^LoA! _a+1+c |“丨丄 ,二打一5—b+3 -1二--1 +‘+cI 勺,(需用1+"c)「F2°(-5-b+3)|=-1 -a J」 矩阵相等,贝U矩阵的对应兀 [\(—a+1+c)=1 •°(-5-b3)=1 I I1(T■c—a)二-1 素都相同,可得」川 (1) (2) 因|A=T^O,A的特征值九式0,A*的特征值/=迥式0,故弘式0 由 (1),(3)两式得 ■0(-a1c)=-0(-1c-a), 两边同除’0,得-a7•c--(-1-c-a) 整理得a=c,代入⑴中,得’0=1.再把’0=1代入⑵中得b=-3 =3(a_1)_2a=a_3=_1 故a二c=2,因此a=2,b--3,c=2,,0=1. 十一【详解】 “必要性”.设BtAB为正定矩阵,则由定义知,对任意的实n维列向量X=0,有xt(BtAB)x>0,即(BxJA(Bx): >0,于是,Bx式0,即对任意的实n维列向量x式0,都有Bx=0.(若Bx=0,贝UA(Bx)二A0=0矛盾).因此,Bx=0只有零解,故有rB=n(Bx=0有唯一零解的充要条件是rB=n). “充分性”.因A为m阶实对称矩阵,则AT=A,故BTA3TBATETBAb,根据实对称矩阵的定义知BtAB也为实对称矩阵.若rB=n,则线性方程组Bx=0只有零解,从而对任意的实n维列向量x=0,有Bx=0.又A为正定矩阵,所以对于Bx式0有(BxTA(Bx)=xT(BTAB)xa0,故BTAB为正定矩阵(对任意的实n维列向量x=0,有xTBTABx0). 十二【详解】离散型随机变量边缘分布律的定义: Pi严p{x=n}=^p{x=x,Y=yj}=5: Pij,i=1,2,lil jj Pj=P7Y=yj,'p=Xi,Y=yjf'Pj,j=1,2,l|l ii (通俗点说就是在求关于X的边缘分布时,就把对应X的所有y都加起来,同理求关 于丫的边缘分布时,就把对应y的所有x都加起来) 故P? 丫=y ii P「丫二yj二P「X=花,丫二%? P「X=x2,丫二yj AA 而由表知P=y X=x2,Y=y 68 111 P=x -PIX=x2,Y=yi? 6824 又根据X和Y相互独立,则有: P〈X=心丫=yj;=P〈X=x巾〈Y
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