全等三角形证明题含答案版.docx
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全等三角形证明题含答案版
2、如图,
AB=AC.AD丄BC于点DAD=AE.AB平分ZDAE交DE于点F
•请你写出图中三对全等三角形•并选取其中一对加以
1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是
BC延长线上一点•连结AG,点E.F分别在AG
上.连接BE、DF・Z1=Z2•Z3=Z4・
(1)证明:
AABE^ADAF:
(2)若ZAGB=30°・求EF的长.
【解析】
(1)•••四边形ABCD是正方形,
/.AB=AD.
Z2=Z1
r,Z4=Z3 在ZkABE和ZkDAF中,, AAABE^ADAE (2)•••I川边形ABCD是正方形. /.Zl+Z4=90° VZ3=Z4, •••Z1+Z3=9O° .•-ZAFD=90° 在正方形ABCD中,AD〃BC,•••Z1=ZAGB=3O° 在RtAADF中,ZAFD=90°AD=2,•••AF=",DF=k (1)求证: RtAABpE^RtACBF: AAE=DF=L ⑵若ZCAE=30。 •求ZACF度数.•••EF=AF・AE=丁3-1 第22题图 【解析】 即ZACE=ZBCD, 'AC=BC 苍4ACE和厶BCD中,〈乙ACE=乙BCD・ CE=CD •••△ACE丝ABCD(SAS), /.AE=BD. 5、如图10•已知R血ABC三R込ADE, ZABC=ZADE=9O°, (1)VZABC=90c•••ZCBF=ZABE=90a 在RtAABE和RtACBF中 •••AE=CEAB=BC: .Rt△ABE竺Rl△ CBF(HL) (2)••・AB=BC,ZABC=90°AZCAB=Z ACB=45° VZBAE=ZCAB-ZCAE=45°-30°=15°・ 由 (1)知RtAABE^RtACBF.AZBCF= ZBAE=15° BC与DE相交于点F,连接CD、EB・ (1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举: (2)求证: CF=EF・ 【解析】 AZACF=ZBCF+ZACB=45°+15°=60° (1)4ADC三氐ABEACDFmbEBF (2)证法一连接C£ 4、已知: 如图•点C是线段AB的中点,CE=CD,ZACD= ZBCE, 题20图 【解折】 •••点C是线段AB的中点, •••AC=BC, VZACD二ZBCE, ••・Rt^ABC=Rt^ADE : .AC=AE ZACE=ZAEC 又•••Rt^ABC=Rt^ADE : .ZACB=ZAED •••ZACD+ZDCE=ZBCE+ZDCE, ZACE—ZACB=ZAEC-ZAED 即ZBCE=ZDEC : .CF=EF 证法二: •: RtZBC三RtbADE ■ •• AC=AE,AD=AB,ZCAB=ZEAD. ■ •• ZCAB-ZDAB=ZEAD-ZDAB ^ZCAD=ZEAB : .^ACD=^AEB(SAS) : .CD=EB、ZADC=ZABE 又•・•ZADE=ZABC ・•.ZCDF=ZEBF 又•・•ZDFC=ZBFE : .ZCDF=ZEBF(AAD) CF=EF 6、如图,点F是CD的中点,且4F丄CDBC= ED,/BCD=ZEDC・ (1)求证: AB^AE: (2)连接BE.请指出BE与AF、BE与CD分别 有怎样的关系? (只需写出结论,不必证明). 【解析】 (1)证明: 联结AC.AD •••点F是CD的中点•且AF丄CD・・・AC=AD •••ZACD=ZADC •••ZBCD=ZEDC •••ZACB=ZADE •••△ABC丝ZkAED : •AB=AE (2)BE丄AF.BE//CD.AF平分BE (2)如图2,若点E在AC的延长线上,AIVI丄BE于点卜仁交DB的延长线于点F.其它条件不变.则结论"OE=OFM还成立吗? 如果成立.请给出证明: 如果不成立.请说明理由. 又VAM丄BE,•••ZMEA+ZMAE= 90o=ZAFO+ZMAE aZmea=Zafo •••©△BOE仝RtAAOF ••・OE=OF TBODE,AC=AD (2)0E=0F成立 证明: •••四边形ABCD是正方形, •••zBOE=ZAOF=90°・OB=OA 又VAM丄BE,•••ZF+ZMBF= 90°=ZB+ZOBE 又VZMBF=ZOBE •・•等边三角形中,AB=AC,ZB=ZCAP=60° 又由条件得AP=BQ,•••SABQ仝 ACAP(sas) •••ZBAQ=ZACP AZF=ZE ARtABOE^RtAAOF •••OE=OF 乙CMQ=AACP+ZCAM=ZBAQ+ZCAM=ZBAC=60° 8、如图1,点PxQ分别是边长为4cm的等边AABC边 AB、BC上的动点,点P从顶点A•点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为lcEs. (1)连接AQ、CP交于点则在P、Q运动的过程中,ZCHQ变化吗? 若变化.则说明理由,若不变,则求出它的度数: (2)何时APBO是直角三角形? (3)如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB.BC上运动,直线AQ.CP交点为爪则ZCMQ变化吗? 若变化.则说明理由.若不变.则求出它的度数; (2)设时间为t,则AB=BQ=t.PB=4-t 当 ZPQB=90°时,ZB=60°,PB=2BQ儆==: 当 ZBPQ=90°时,•・•ZB=60°,/.BQ=2P0得2/=2(4—/)J=2 4 •••为第一秒或第2秒时.APBQ为直角三角形 3 图1 【解析】 (1)ZCMQ=60°不变。 (3)ZCM0=12O°不变。 •・•ZCMQ=ZPBC=3 9、如图: AACB-tjADCE是全等的两个直角三角形,其中ZACB=ZDCE=90\AC=hBC=2.点D、C、B在同一条直线上,点E在边AC上. (1)直线DE与AB有怎样的位宜关系? 请证明你的结论: (2)如图 (1)若ZkDCE沿普直线DB向右平移多少距离时,点E恰好落在边AB上.求平移距离DD•: (3)在ADCE沿若直线DB向右平移的过程中,使Adce与Aacb的公共部分是四边形.设平移过程中的平移距离为x,这个四边形的面枳为y,求y 「“r1丫9 •••S=—广+/+2=—t——+-2)4 •••0WrW2.・・当/=-时,s的值最大. 2 (3)存在. 设经过t秒时,NBr0M=2f则CN=3-仁 AM=4-2/ : .ZBCA=ZMAQ=45 ①若ZAQM=90,则PQ是等腰RiaMQA 底边上的舟 与x的函数关系式.并写出它的定义域. PQ是底边M4的中线 A ②若ZQMA=90. (1) 重合 : .QM=QP=MA 【解析】 解: (1)点M (2)经过/秒时,NB=t■ OM=2t则 CN=3—t、AM=4—2/ •*•/=1 •••点M的坐标为(2,0) 10.如图.A,F£B四点共线.AC丄CE•BD丄DF、AE=BF、AC=BD。 求证: MCF=SBDE. ••・ZBC4=ZMAQ=45。 AQN=CN=3_t PQ=1+t •••S△矶詁AM・P0=g(4—20(1+0 =一尸+/+2 【解析】 •・・AC丄CE,BD丄DF ・•・ZACE=ZBDF=90 在RtMCE与RtSBDF中 [AE=BF ••[AC=BD : .RtAACE=RtSBDF(HL) ••・Z4=ZB •・・AE=BF ・•・AE-EF=BF—EF,即AF=BE 在、ACF与HBDE中 AF=BE AC=BD ・•・4\CF三ABDE(SAS) 11、如图,D是A4BC的边BC上的点•且CD=AB・ ZADB=ZBAD.AE是的中线。 求证: 延长AE至点使EF=AE,连接DF在MBE与HFDE中 AC=2AEO AE=FE ••…ZAEB=ZFED BE=DE ・•・MBE=SFDE(SAS) •・・ZADF=ZADB+ZEDF ZADC=ZBAD+ZB 又.・ZADB=ZBAD ••・ZADF=ZADC •・•AB=DF■AB=CD ••・DF=DC 在MDF与AADC中 AD=AD ・・・ DF=DC ••・MDF=MDC(S\S) ••・AF=AC 又.・AF=2AE ・・・AC=2AEO 12、已知: AC平分ZBAD,CE丄AB,ZB+ZD=180°, 求证: AE二AD+BE ・•・ZB=ZEDF 【解析】 在AE上取F,使EF=EB・连接CF TCE丄AB AZCEB=ZCEF=90c VEB=EF,CE=CE, AACEB^ACEF AZB=ZCFE VZB+ZD=180°,ZCFE+ZCFA=180° AZD=ZCFA VAC平分ZBAD •••ZDAC=ZFAC VAC=AC AAADC^AAFC(SAS) AAD=AF •••AE=AF+FE=AD+BE
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