人教版八年级数学上学期试题 第12章 全等三角形 单元练习B卷.docx
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人教版八年级数学上学期试题第12章全等三角形单元练习B卷
人教版八年级数学上学期试题:
第12章全等三角形
单元练习B卷
一.选择题(每题3分,共36分)
1.下列说法不正确的是( )
A.面积相等的两个三角形全等
B.全等三角形对应边上的中线相等
C.全等三角形的对应角的角平分线相等
D.全等三角形的对应边上的高相等
2.花花不慎将一块三角形的玻璃打碎成了如图所示的四块(图中所标①、②、③)、④),若要配块与原来大小一样的三角形玻璃,应该带( )
A.第①块B.第②块C.第③块D.第④块
3.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.
如图:
一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:
“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是( )
A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.以上均不正确
4.如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O点,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍无法判定△ABE≌△ACD的是( )
A.AD=AEB.∠B=∠CC.CD=BED.∠ADC=∠AEB
5.如图,△ABC≌△ADE,∠B=25°,∠E=105°,∠EAB=10°,则∠BAD为( )
A.50°B.60°C.80°D.120°
6.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,BE=BC,连接BD,若AC=8cm,则AD+DE等于( )
A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm
7.如图,在△ABC中,CD是∠C的外角平分线,P是CD上异于C的任意一点,设PB=m,PA=n,BC=a,AC=b,则(m+n)与(a+b)的大小关系是( )
A.m+n>a+bB.m+n<a+bC.m+n=a+bD.无法确定
8.如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O,若∠1=40°,则∠BDE为( )度.
A.30°B.40°C.60°D.70°
9.如图,已知△ABC的周长是16,MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB,过点M作BC的垂线交BC于点D,且MD=4,则△ABC的面积是( )
A.64B.48C.32D.42
10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:
S△ABC=1:
3.
A.1B.2C.3D.4
11.在△ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠ADB,AB=3,CD=5,则AC的长为( )
A.6B.7C.8D.9
12.已知△ABC≌△A'B'C,∠A=40°,∠CBA=60°,A'C交边AB于P(点P不与A、B重合).BO、CO分别平分∠CBA,∠BCP,若m°<∠BOC<n°,则n﹣m的值为( )
A.20B.40C.60D.100
二.填空题(每题4分,共16分)
13.如图,已知△ABC的周长是20,OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=2,△ABC的面积是 .
14.如图,△EFG≌△NMH,△EFG的周长为15cm,HN=5cm,EF=3cm,FH=1cm,则HG= .
15.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC上,且BE=BD,连接AE、DE、DC.若∠CAE=30°,则∠BDC= .
16.如图,Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,角平分线AE交CD于H,EF⊥AB于F,则下列结论中正确的是 .(填序号)
①AC=AF②CH=CE③∠ACD=∠B④CE=EB
三.解答题(共48分,共5题)
17.阅读材料并完成习题:
在数学中,我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题:
如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若AC=2cm,求四边形ABCD的面积.
解:
延长线段CB到E,使得BE=CD,连接AE,我们可以证明△BAE≌△DAC,根据全等三角形的性质得AE=AC=2,∠EAB=∠CAD,则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°,得S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=SABC+SABE=S△AEC,这样,四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积.
(1)根据上面的思路,我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm2.
(2)请你用上面学到的方法完成下面的习题.
如图2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,∠G=∠N=90°,求五边形FGHMN的面积.
18.如图,△ADC中,DB是高,点E是DB上一点,AB=DB,EB=CB,M,N分别是AE,CD上的点,且AM=DN.
(1)求证:
△ABE≌△DBC.
(2)探索BM和BN的关系,并证明你的结论.
19.如图,AB=AC,CD∥AB,点E是AC上一点,且∠ABE=∠CAD,延长BE交AD于点F.
(1)求证:
△ABE≌△CAD;
(2)如果∠ABC=65°,∠ABE=25°,求∠D的度数.
20.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,CD=AD,∠ADC=60°,对角线BD平分∠ABC交AC于点P.CE是∠ACB的角平分线,交BD于点O.
(1)请求出∠BAC的度数;
(2)试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系,并说明理由.
21.如图,BD,CE是△ABC的角平分线,BD,CE相交于点P,∠A=60°.
(1)求∠BPC的度数;
(2)作∠BPC的平分线交BC于F,求证:
PD=PE=PF.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、不正确.面积相等的两个三角形不一定全等,符合题意;
B、正确.全等三角形对应边上的中线相等,不符合题意;
C、正确.全等三角形的对应角的角平分线相等,不符合题意;
D、正确.全等三角形的对应边上的高相等,不符合题意.
故选:
A.
2.解:
带②去可以利用“角边角”能配一块与原来大小一样的三角形玻璃.
故选:
B.
3.解:
(1)如图所示:
过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,
∵两把完全相同的长方形直尺,
∴PE=PF,
∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上),
故选:
A.
4.解:
∵AB=AC,∠BAE=∠CAD,
∴当添加AE=AD时,可根据“SAS”判断△ABE≌△ACD;
当添加∠B=∠C时,可根据“ASA”判断△ABE≌△ACD;
当添加∠AEB=∠ADC时,可根据“AAS”判断△ABE≌△ACD.
故选:
C.
5.解:
∵△ABC≌△ADE,
∴∠D=∠B=25°,
在△ADE中,∠DAE=180°﹣∠D﹣∠E=180°﹣25°﹣105°=50°,
∴∠BAD=∠EAD+∠BAE=50°+10°=60°.
故选:
B.
6.解:
∵DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
在Rt△BCD和Rt△BED中,
,
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),
∴CD=DE,
∴AD+DE=AD+CD=AC,
∵AC=8cm,
∴AD+DE=AC=8cm.
故选:
C.
7.解:
在BC的延长线上取点E,使CE=AC,连接EP,
∵CD是∠BCA的外角平分线,
∴∠ACD=∠ECD,
在△ACP和△CEP中,
,
∴△ACP≌△CEP(SAS),
∴PE=PA,
在△PBE中,PB+PE>CB+CE,
∵PB=m,PE=n,CB=a,AC=b,
∴m+n>a+b.
故选:
A.
8.解:
∵AE和BD相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE.
在△AOD和△BOE中,
∠A=∠B,
∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,
,
∴△AEC≌△BED(ASA).
∴EC=ED,∠C=∠BDE.
在△EDC中,
∵EC=ED,∠1=40°,
∴∠C=∠EDC=70°,
∴∠BDE=∠C=70°.
故选:
D.
9.解:
连接AM,过M作ME⊥AB于E,MF⊥AC于F,
∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB,MD⊥BC,MD=4,
∴ME=MD=4,MF=MD=4,
∵△ABC的周长是16,
∴AB+BC+AC=16,
∴△ABC的面积S=S△AMC+S△BCM+S△ABM
=
=
×AC×4+
+
=2(AC+BC+AB)
=2×16=32,
故选:
C.
10.解:
①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.
故①正确;
②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2=
∠CAB=30°,
∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上.
故③
正确;
④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,
∴CD=
AD,
∴BC=CD+BD=
AD+AD=
AD,S△DAC=
AC•CD=
AC•AD.
∴S△ABC=
AC•BC=
AC•
AD=
AC•AD,
∴S△DAC:
S△ABC=
AC•AD:
AC•AD=1:
3.
故④正确.
综上所述,正确的结论是:
①②③④,共有4个.
故选:
D.
11.解:
在AC上截取AE=AB,连接DE,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
在△ABD和△AED中,
,
∴△ABD≌△AED(SAS),
∴∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE,BD=DE,又∠B=2∠ADB,
∴∠AED=2∠ADB,
而∠BDE=∠ADB+∠ADE=2∠ADB,
∴∠BDE=∠AED,
∴∠CED=∠EDC,
∴CD=CE,
∴AC=AE+CE=AB+CD=3+5=8.
故选:
C.
12.解:
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠PCB,
∴∠OBC=
∠ABC,∠OCB=
∠PCB,
∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣
(∠ABC+∠PCB),
=180°﹣
(180°﹣∠BPC),
=90°+
∠BPC=90°+
(∠A+∠ACP),
=110°+
∠ACP,
∵∠A=40°,∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠CBA=180°﹣40°﹣60°=80°,
∵P点在AB边上且不与A、B重合,
∴0°<∠ACP<80°,
∴0°<2∠BOC﹣220°<80°,
∴110°<∠BOC<150°,
∴m=110,n=150.
∴n﹣m=40.
故选:
B.
二.填空题(共4小题)
13.解:
如图,连接OA,过O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB,
∴OE=OF=OD=2,
∵△ABC的周长是20,OD⊥BC于D,且OD=2,
∴S△ABC=
×AB×OE+
×BC×OD+
×AC×OF
=
×(AB+BC+AC)×2
=
×20×2
=20,
故答案为:
20.
14.解:
∵△EFG≌△NMH,
∴MN=EF=3cm,FG=MH,△HMN的周长=△EFG的周长=15cm,
∴FG﹣HG=MH﹣HG,
即FH=GM=1cm,
∵△EFG的周长为15cm,
∴HM=15﹣5﹣3=7(cm),
∴HG=7﹣1=6(cm),
故答案为:
6cm.
15.解:
延长AE交DC边于点F,如图:
∵∠ABC=90°,
∴∠CBD=90°,
在Rt△ABE与Rt△CBD中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△CBD(HL),
∴∠AEB=∠BDC,AB=BC,
∴∠BAC=∠ACB=45°,
∵∠AEB为△AEC的外角,∠CAE=30°,
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+30°=75°,
∴∠BDC=75°.
故答案为:
75°.
16.解:
①∵AE平分∠CAB,
∴∠CAE=∠BAE,
∵∠C=90°,EF⊥AB,
∴CE=FE,
∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL),
∴AC=AF,
∴①正确;
③∵CD是斜边AB上的高,∠ACB=90°,
∴∠CDB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠BCD+∠B=90°,
∴∠ACD=∠B,
∴③正确;
②∵∠CHE=∠CAE+ACD,∠CEA=∠BAE+∠B,∠ACD=∠B,
∴∠CHE=∠CEA,
∴CH=CE,
∴②正确;
④在Rt△BFE中,BE>EF,而EF=CE,
∴④错误;
故答案为:
①②③.
三.解答题(共5小题)
17.解:
(1)由题意可得,
AE=AC=2,∠EAC=90°,
则△EAC的面积是:
=2(cm2),
即四边形ABCD的面积为2cm2,
故答案为:
2;
(2)连接FH、FM,延长MN到O,截取NO=GH,
在△GFH和△NFO中,
,
∴△GFH≌△NFO(SAS),
∴FH=FO,
∵FG=FN=HM=GH+MN=2cm,GH=NO,
∴HM=OM,
在△HFM和△OFM中,
,
∴△HFM≌△OFM(SSS),
∵△OFM的面积是:
=2cm2,
∴△HFM的面积是2cm2,
∴四边形HFOM的面积是4cm2,
∴五边形FGHMN的面积是4cm2.
18.
(1)证明:
∵DB是高,
∴∠ABE=∠DBC=90°.
在△ABE和△DBC中,
,
∴△ABE≌△DBC.
(2)解:
BM=BN,MB⊥BN.
证明如下:
∵△ABE≌△DBC,
∴∠BAM=∠BDN.
在△ABM和△DBN中,
∴△ABM≌△DBN(SAS).
∴BM=BN,∠ABM=∠DBN.
∴∠DBN+∠DBM=∠ABM+∠DBM=∠ABD=90°.
∴MB⊥BN.
19.
(1)证明:
∵CD∥AB,
∴∠BAE=∠ACD,
∵∠ABE=∠CAD,AB=AC,
∴△ABE≌△CAD(ASA);
(2)解:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=65°,
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°,
又∵∠ABE=∠CAD=25°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=50°+25°=75°,
∵AB∥CD,
∴∠D=180°﹣∠BAD=180°﹣75°=105°.
20.
(1)解:
∵CD=AD,∠ADC=60°,
∴△ACD为等边三角形,
∵AB∥CD,
∴∠ACD=60°,
∴∠BAC=∠ACD=60°;
(2)证明:
:
在BC上截取BF=BE,
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBO=∠OBF,
∵OB=OB,
∴△BEO≌△BFO(SAS),
∴∠BOE=∠BOF,
∵∠BAC=60°,CE是∠ACB的角平分线,
∴∠OBC+∠OCB=60°,
∴∠POC=∠BOE=60°,
∴∠COF=60°,
∴∠COF=∠POC,
又∵OC=OC,∠OCP=∠OCF,
∴△CPO≌△CFO(ASA),
∴CP=CF,
∴BC=BF+CF=BE+CP.
21.解:
(1)∵∠A=60°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=120°.
∵BD,CE是△ABC的角平分线,
∴∠PBC=∠PBA=
∠ABC,∠PCB=∠PCA=
∠ACB.
∴∠PBC+∠PCB=
∠ABC+
∠ACB=
(∠ABC+∠ACB)=60°.
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°,
∴∠BPC=180°﹣60°=120°.
(2)证明:
∵∠BPC=120°,
∴∠BPE=∠CPD=180°﹣120°=60°.
∵PF平分∠BPC,
∴∠BPF=∠CPF=
∠BPC=60°,
∴∠BPE=∠CPD=∠BPF=∠CPF.
在△PBE和△PBF中,
∴△PBE≌△PBF(ASA).
∴PE=PF.
同理可证PD=PF.
∴PD=PE=PF.
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