山东省淄博市届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案.docx
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山东省淄博市届高三上学期摸底考试数学试题Word版含答案
淄博市2016-2017学年度高三摸底考试
数学试题参考答案及评分说明2016.12
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,集合,则
A.B.C.D.
2.复数在复平面上对应的点的坐标
A.B.C.D.
3.下列说法正确的
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“”的否定是“”
C.命题“若,则”的否命题为“若,则”
D.“命题中至少有一个为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件
4.如图,网格小正方形的边长为,粗线画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为
A.B.C.D.
5.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的,依次输入的为,则输出的
A.B.C.D.
6.在中,角所对的边分别为,表示的面积,若,则角
A.B.C.D.
7.已知满足,且的最大值比最小值大6,则的值是
A.B.C.D.
8.(文科)下列函数中,周期为,且在上为减函数的是
A. B. C. D.
8.(理科)已知函数,且,则
A.或B.或C.或D.或
9.在边长为1的等边三角形中,点在边上,且满足,则
A.B.C.D.
10.(文科)已知函数(为自然对数的底数),则的大致图象是(C)
10.(理)设表示不大于实数的最大整数,函数,若有且仅有4个零点,则实数的取值范围为
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二.填空题:
本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.(文科)点为周长等于的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点,则劣弧的长度小于的概率为______.
11.(理科)若,则的值是.
12.已知,,则.
13.已知向量向量满足,则的取值范围是.
14.已知数组,分别记为,则.
15.设,当时,恒成立,则实数的取值范围是.
三、解答题:
本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本题满分12分)
在平面直角坐标系中,角的始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,其中.将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点,记,先将图象上各点纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的倍,再将所得的图象向左平移得到.
(Ⅰ)求函数的解析式及值域;
(Ⅱ)设的角所对的边分别为,若且为锐角,,,判断的形状.
解:
(Ⅰ)由三角函数定义得,………………2分
所以………4分
图象上各点纵坐标不变,横坐标伸长到原来的倍得到,再向左平移得到……………….5分
因为,所以,故……………….6分
(Ⅱ)由及为锐角,得………………………………….8分
由余弦定理,,得或……………………………10分
当时,是等腰三角形;当时,是直角三角形
所以为等腰三角形或直角三角形.……………………………………12分
17.(文科本题满分12分)
某高校选取名在校大学生进行专项技能测试,由测试成绩得到的频率分布直方图如图所示.其中测试成绩在内的人数之比为.
(Ⅰ)估算此次测试成绩的中位数和众数;
(Ⅱ)学校组织测试成绩在内的学生进行操作展示,每名学生随机抽取“项目”或“项目”中的一项进行展示,求恰好有两名学生抽到“项目”进行展示的概率.
解:
(Ⅰ)前三个小组的频率之和为,
所以要从第四个小组找中位数,第四小组的频率为
所以中位数应该在第四小组左起长度的处
所以这名在校大学生测试成绩的中位数为:
(分)……3分
由于落在的频率最高,所以众数为(分).…………4分
(Ⅱ)设测试成绩在内的人数为
则测试成绩在,内的人数分别为和
依题意得,
解得,所以测试成绩在的学生有人………………………6分
若用表示选取“项目”,用表示选取“项目”
这名学生选取操作的所有可能为:
,
共种
而恰好有两名学生抽到“项目”的有:
,共种……………………………10分
所以恰好有两名学生抽到“项目”进行展示的概率为.………12分
17.(理科本题满分12分)
已知数列的前项和为,且满足,,.
(Ⅰ)判断,,是否为等比数列的连续三项,并说明理由.
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
解:
(Ⅰ)由,所以数列是首项为,公差为的等差数列
所以.所以………………………2分
当时,
而适合,所以, ………4分
因为,,,所以
所以,,不是等比数列的连续三项.………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,, …………………8分
所以
……………………8分
得:
所以. ………………………………………12分
18.(本题满分12分)
响应国家提出的“大众创业,万众创新”的号召,小王同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元,每生产万件,需另投入流动成本为万元.在年产量不足万件时,(万元);在年产量不小于万件时,
(万元).每件产品售价为元.假设小王生产的商品当年全部售完.
(Ⅰ)写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式(注:
年利润=年销售收入-固定成本-流动成本);
(Ⅱ)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?
最大利润是多少?
解:
(Ⅰ)因为每件商品售价为元,则万件商品销售收入为万元.依题意得
当时,……………2分
当时,……………4分
所以………………………………5分
(Ⅱ)当时,
此时,当时,取得最大值(万元)…………………8分
当时
(当且仅当,即时,取等号)
即时,取得最大值万元………………………………11分
因为,所以当年产量为万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为万元.………………………………………………12分
19.(文科本题满分12分)
四棱锥中,平面平面,,,
点、分别是、的中点,
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面平面.
证明:
(Ⅰ)【方法一】证明:
取的中点,连接和…………………1分
所以是的中位线,所以
又因为平面
所以平面……………2分
由知是的中点…3分
是的中位线,所以
又因为平面
所以平面………………………4分
又因为、平面,
且,
所以平面平面……………5分
又因为平面
所以平面…………………………6分
(Ⅰ)【方法二】证明:
取的中点,连接和,设于相交于点
∵,
∴………………………2分
∴,即
又∵
∴………………………4分
又∵平面
∴平面……………………6分
(Ⅱ)证明:
因为,
所以
所以…………………8分
由已知得底面是菱形,又
所以,且
所以……………………9分
又因为平面平面,
且平面平面
所以平面……………………10分
又因为平面
所以
又因为
所以平面…………………11分
又因为平面
所以平面平面……………………12分
19.(理科本题满分12分)
四棱锥中,平面平面,,
,点、分别是、
的中点,
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的大小.
解证:
(Ⅰ)取的中点,连接和……………1分
所以是的中位线,
又因为平面,
所以平面………………2分
由知是的中点
是的中位线,所以
又因为平面
所以平面………………3分
又因为、平面,
且,所以平面平面
又因为平面,
所以平面……………4分
(Ⅱ)【方法一】
取的中点,则
因为底面侧面,且底面侧面
所以底面
由已知得底面是菱形,又
所以,且
所以
如图所示,分别以、所在的直线为轴、轴,以经过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系……………………6分
因为,
所以,即
所以,即…………………8分
又,所以由,
可得,即
又
所以,,………………9分
设平面的法向量
则由,,
令,得,即……………………………………10分
设平面的法向量
则由,,
令,得,即………………………………11分
所以
所以二面角的大小为…………………………12分
【方法二】证明:
连接,与交于点,再连接
∵,
∴
∴…………………………6分
由已知得底面是菱形,
又
∵,∴
又∵
∴,………8分
∵,且
∴
又∵底面侧面,且底面侧面
∴侧面………………………10分
又∵侧面,∴
又∵,∴平面
∴平面平面,
即二面角为直二面角,其大小为.………………………12分
20.(文科本题满分13分)
已知数列是公差大于的等差数列,其前项和为,且满足,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设(为非零常数),若数列是等差数列,求的值;
(Ⅲ)设,的前和为,试比较与的大小.
解:
(Ⅰ)由,得,联立
则为一元二次方程的两根,
解得:
或(公差大于,舍去)
得,即……………………………………2分
所以数列的通项公式为:
………………………………3分
(Ⅱ)……………………………………4分
所以数列的通项公式为:
……………………………………5分
显然,,.
由于数列是等差数列,所以,
即,解得或(舍去)……………………………7分
当时,().
显然(常数),
即数列是等差数列………………………………………………………8分
(Ⅲ),时,成立,
当时,由
所以
所以
所以对任意,.…………………………………13分
20.(理科本题满分13分)
已知数列是公差大于的等差数列,其前项和为,且满足,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设(为非零常数),若数列是等差数列,求的值;
(Ⅲ)求证:
().
解:
(Ⅰ)由,得,联立
则为一元二次方程的两根,
解得:
或(公差大于,舍去)
得,即……………………………………2分
所以数列的通项公式为:
.………………………………3分
(Ⅱ)方法一:
……………………………………………4分
所以数列的通项公式为:
…………………………………5分
由于数列是等差数列,则:
为常数.
……………………………………7分
则当且仅当,解得……………………………8分
方法二:
……………………………………4分
所以数列的通项公式为:
……………………………………5分
显然,,.
由于数列是等差数列,所以,
即,解得或(舍去)……………………………7分
当时,().
显然(常数),
即数列是等差数列………………………………………………………………8分
(Ⅲ)显然时,成立………………………………………9分
当时,;……11分
所以对任意,………………………13分
21.(文科本题满分14分)设函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)若函数在其定义域内不单调,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设函数,若在上至少存在一点使成立,求实数的取值范围.
解:
(Ⅰ)当时,,得…………1分
所以,.又,所以曲线在点处的切线为.
…………………………3分
(Ⅱ)由已知,得在其定义域,且……4分
记.
解法一:
①若函数在上单调递增,则在上恒成立
即……………………………5分
所以,,
而,,故;………………6分
②若函数在上单调递减,则在上恒成立
即……………………………7分
所以,,
而,,故.………………………8分
综上,若函数在其定义域内不单调,则实数的取
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